（2008?山西）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．

如图,已知CD是三角形ABC中AB边上的高,以CD为直径的圆O分别交CA,CB于点E,F,点G~

解：
∵CD是⊙O的直径
∴∠CED=90°
则∠AED=90°
∵G是AD的中点
∴EG=1/2AD =2
则AD=4
∵CD是△ABC的高，即CD⊥AB
∴AB是⊙O的切线
∴AD^2=AE×AC（切割线定理）
AE=AC-CE=AC-1.8
4^2=（AC-1.8）AC
AC=5
根据勾股定理CD^2=AC^2-AD^2=25-16=9
BC^2=CD^2+BD^2=9+4=13
BC=√13
sin∠DCB=BD/BC=2/√13=2√13/13

　　欧几里得几何中，任一个三角形伴随有一个奈格尔点（Nagel）。平面内一个三角形 ABC 具有边长 a = |BC|， b = |CA|，和 c = |AB|，设 TA， TB，和 TC 分别是三旁切圆和三条边的切点。直线 ATA，BTB， CTC 共点 交于三角形 ABC 的奈格尔点 N。奈格尔点以十九世纪德国数学家 Christian Heinrich von Nagel命名，他在1836年提到这个点。 　　另外一种方法构造 TA，从点 A 出发沿着三角形 ABC 的边走到半周长位置，类似的得到 TB 和 TC。因为这个构造，奈格尔点有时也被称为平分周长点（或译界心）。 　　和其余特殊点的关系 　　奈格尔点是热尔岗点的等距共轭点。奈格尔点、内心和重心三点共线。内心是中点三角形的奈格尔点（匿名1896年），等价地说奈格尔点是反补三角形的重心。

证明：（证法一）连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°，
∵G是AD的中点，
∴EG=

1

2

AD=DG，
∴∠1=∠2；
∵OE=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
故GE是⊙O的切线；

（证法二）连接OE，OG，
∵AG=GD，CO=OD，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OE，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠3．
又OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG，
∴∠OEG=∠ODG=90°，
∴GE是⊙O的切线．

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渝水区18437256796： (2008?山西)如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA,CB于点E,F,点G是AD的中点. - ？
包金齐素： 证明:(证法一)连接OE,DE,∵CD是⊙O的直径,∴∠AED=∠CED=90°,∵G是AD的中点,∴EG=1 2 AD=DG,∴∠1=∠2;∵OE=OD,∴∠3=∠4,∴∠1+∠3=∠2+∠4,∴∠OEG=∠ODG=90°,故GE是⊙O的切线;(证法二)连接OE,OG,∵AG=GD,CO=OD,∴OG∥AC,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵OC=OE,∴∠2=∠4,∴∠1=∠3. 又OE=OD,OG=OG,∴△OEG≌△ODG,∴∠OEG=∠ODG=90°,∴GE是⊙O的切线.

渝水区18437256796： 已知:如图,CD是Rt三角形ABC斜边的高,AB=5,BC=4,求:S三角形ABC - ？
包金齐素：[答案] 根据勾股定理: AB^2-BC^2=AC^2 AB=5,BC=4 求得:AC=3 S三角形ABC=AC*BC/2=3*4/2=6

渝水区18437256796： 如图,已知AB为圆o的直径,CD是弦,AB垂直于CD于E,OF垂直于AC于F,BE=OF(1)求证:OF平行于BC(2)求证:△AFO全等于△CEB(3)若EB=5cm,CD=... - ？
包金齐素：[答案]

渝水区18437256796： 已知,如图在三角形ABC中,CD是AB中线,且,角ACD=30度,CD垂直于BC.求:2BC=AC - ？
包金齐素：[答案] 过B作BM⊥AC交AC延长线于M,过D作DN⊥AC交AC于N D是AB中点 DN=BM/2,AN=MN 过D作DP//MN,交BM于P ∠DNC=∠MBC=30° 设BC=x MC=x/2 BM=x√3/2 DN=BM/2=x√3/4 NC==DN*√3=3x/4 AC=AN+NC=2NC+CM=6x/4+x/2=2x

渝水区18437256796： 如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,且直线CD经过∠BCA的内部,点E,F在射线CD上,已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)如图1,若∠BCA=90°,... - ？
包金齐素：[答案] (1)EF=BE-AF成立,理由为: 在△BCE中,∠BEC=90°,∴∠CBE+∠BCE=90°, ∵∠BCA=90°,∴∠ACF+∠BCE=90°, ∴∠CBE=∠ACF, 又BC=CA,∠BEC=∠CFA=90°, ∴△BCE≌△CAF(AAS), ∴BE=CF,CE=AF, 又∵EF=CF-CE, ∴EF=BE-AF...

渝水区18437256796： (2008•江西模拟)如图,已知AB、CD是⊙O的直径,DF∥AB交⊙O于点F,BE∥DC交⊙O于点E.(1)求证:BE=DF;(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要... - ？
包金齐素：[答案] (1)证明:∵DF∥AB,BE∥DC, ∴∠EBA=∠COA=∠CDF.(2分) ∴ ECA= CAF, ∴ BE= DF, ∴BE=DF; (2)图中相等的劣弧有: DF= BE, EC= FA= AC= BD, DA= BC, BF= DE等.

渝水区18437256796： 如图所示,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC.(1)求证:∠ACO=∠BCD;(2)若EB=8cm,CD=24cm,求⊙O的直径. - ？
包金齐素：[答案] (1)证明:连接OC, ∵AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于E, ∴CE=ED, CB= DB.(2分) ∴∠BCD=∠BAC.(3分) ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. ∴∠ACO=∠BCD.(5分) (2)设⊙O的半径为Rcm,则OE=OB-EB=(R-8)cm, CE= 1 2CD= 1 2*24=12...

渝水区18437256796： 如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC=DF(2)若AE=a,EF=b,BF=C,求证:tan∠EAC和tan∠EAD是方程ax2 - bx+c=0... - ？
包金齐素：[答案] 第一步 是连接CD中点M 则OM垂直于CD,然后根据垂直关系,得出AOME和BOMF是长方形,得出EM=FM 进而 M是中点,得出EC=DF 第二步,tan∠EAC=EC/EA tan∠EAD=ED/EA 设方程的两个根为x1 x2 则x1+x2=b/a x1*x2=c/a 而两个正切相加...

渝水区18437256796： 如图所示是一段楼梯,已知AC=5m,CD=7m,楼梯宽BD=5m,一只蚂蚁要从A点爬到B点,求蚂蚁爬行的最短路程. - ？
包金齐素：[答案] 如图所示, ∵AC=5m,CD=7m,BD=5m, ∴AB= BD2+(AC+CD)2= 52+(5+7)2=13(cm). 答:蚂蚁爬行的最短路程是13cm.

渝水区18437256796： 如图,已知圆O的弦CD垂直于直径AB,垂足是点E,连接CO并延长交AD于点F,若AB=4,求当CF⊥AD时,OE的长为___. - ？
包金齐素：[答案] 连接AC、BC, ∵AB=4, ∴OA=OC=2, ∵AB是 O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵CF⊥AD,AB⊥CD, ∴∠AFO=∠CEO=90°, ∵∠COE=∠AOF, ∴∠BAD=∠DCF, ∵∠BAD=∠BCD, ∴∠BCD=∠DCF, ∵CF⊥AD, ∴AF=DF, ∴CF是AD的中垂线, ∴AC=...