求问下 xy''-y'=0的通解
作者&投稿:强蚀 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
解:∵xy'-y-y²=0 ==>xdy/dx=y(y+1)
==>dy/[y(y+1)]=dx/x
==>[1/y-1/(y+1)]dy=dx/x
==>ln│y│-ln│y+1│=ln│x│+ln│C│ (C≠0是积分常数)
==>y/(y+1)=Cx
∴原微分方程的通解是y/(y+1)=Cx (C≠0是积分常数)。
解:令z=1/y²,则y'=-y³z'/2
代入原方程,化简得 xz'-2z+2x=0.........(1)
再令x=e^t,则xz'=dz/dt
代入方程(1),化简得 dz/dt-2z=-2e^t..........(2)
∵方程(2)是一阶线性微分方程
于是,由一阶线性微分方程的通解公式,可得方程(2)的通解是
z=2e^t+Ce^(2t) (C是任意常数)
∴方程(1)的通解是 z=2x+Cx²
故原方程的通解是 (2x+Cx²)y²=1。
(xy''-y')/x^2=0
(y'/x)'=0
y'/x=C1
y'=C1x
y=C1x^2/2+C2
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