A是正规矩阵，证明A的2范数等于A的谱半径？

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A的2范数等于A的谱半径。

详细解释：

首先，我们要明确几个概念。正规矩阵是指与其共轭转置矩阵相乘可交换的矩阵，即A*A^H=A^H*A，其中A^H表示A的共轭转置矩阵。谱半径是指矩阵所有特征值的模最大值。而2范数，对于矩阵来说，是矩阵所有奇异值的最大值。

对于正规矩阵，它有一个非常重要的性质，那就是它可以通过酉变换对角化。这意味着存在一个酉矩阵U，使得U^H*A*U是对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值。

由于A是正规矩阵，它的奇异值就是其特征值的模。因此，A的2范数，即其最大奇异值，就等于其最大特征值的模，也就是谱半径。

综上所述，对于正规矩阵A，其2范数和谱半径是相等的。

例子：考虑一个2x2的正规矩阵A，它的特征值是λ1和λ2，那么A的谱半径就是max(|λ1|,|λ2|)。同时，由于A是正规矩阵，它的奇异值也是|λ1|和|λ2|，因此，A的2范数也是max(|λ1|,|λ2|)。这可以作为一个直接的证据来证明A的2范数等于A的谱半径。

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武汉市13391706181： 若矩阵A是正规阵,证明:A的二范数 等于 A的谱半径. - ？
海须止泻：[答案] 这个比较简单,给出两种证明过程: 命题:A是正规阵,必然存在酉阵Q满足:Q' * A * Q = D,D为对角阵且每个对角元为A的特征值. 1.A的二范数 A的最大奇异值 max(sqrt(eig(A' * A))) max(sqrt(eig(D' * D))) D的模最大对角元 A的谱半径,证毕! 2.记D ...

武汉市13391706181： 证明矩阵相等矩阵A:要证明A^2=A,可否仅证明|A^2|=|A| - ？
海须止泻：[答案] 首先,A可平方,所以A一定是方阵. 如果A可逆,则两边同时乘以A逆得A为单位矩阵; 否则如果A不可逆,此时|A|=0,而|A^2|=|A|^2=0, 如果仅证明|A^2|=|A| ,可推出:所以不可逆的 矩阵都有A^2=A,而这显然是错误的. 例如: A为主对角线为1,2,0...

武汉市13391706181： A为任意矩阵,证明:若A的二范数等于A的frobenius范数,则r(A)<=1 - ？
海须止泻： 结论里的1/||a||<=r显然是错的 比如 a= 1 0 0 1/3 r=1/3 ||a||取成p-范数 这样1/||a||=1=||a||当然|r|<=||a||这一半总是对的,取r对应的特征向量x,那么|r|*||x||=||rx||=||ax||<=||a||*||x||,即得结论. 另一半要改成1/||a^{-1}||<=|r|才对,因为|1/r|<=||a^{-1}||

武汉市13391706181： 对称矩阵A=wwT,如何证明A的2范数等于w的2范数的平方? - ？
海须止泻： 首先,A是rank one矩阵,所以A只有一个非零特征值,其他特征值均为零.不难看出:Aw = wwTw = wTww = λw,即A的一个非零特征值就是wTw.矩阵A的二范数等于AAT的最大特征值开根号:AAT = (wwT)(wwT) = (wTw)(wwT) 所以,AAT的最大特征值就是(wTw)与wwT(即A)的最大特征值的乘积 于是||A||_2 = 根号下(wTwwTw) = wTw ||w||_2 = wTw 命题得证

武汉市13391706181： A是正规矩阵,且A2=A,证明A是Hermite矩阵 ？
海须止泻： 用A^H表示复矩阵A的转置共轭. 因为A是正规矩阵, 所以A^HA=AA^H. 因为A^2=A, 所以A必定酉相似于一个对角矩阵, 其主对角线上只有1和0. 换言之, 存在酉矩阵P, ...

武汉市13391706181： 如何证明单位矩阵A 的范数>=1, ||A||>=1 - ？
海须止泻： 除非是相容范数,不然不能保证 对于相容范数而言,注意||A||=||A*A||<=||A||^2即可

武汉市13391706181： 试证:如果A是幂等矩阵,即A^2=A,则秩(A)+秩(A - E)=n - ？
海须止泻： 你好,我简单证明了一下.思路:证明n <= r(A) + r(A-E) <= n即可.证明:由于A^2 = A = AE, 所以 A(A-E) = 0 故r(A(A-E)) = r(0) = 0 由矩阵秩的性质:r(A)+r(A-E) -n<= r(A(A-E)) = 0 ,故 r(A) + r(A-E) <= n (1) r(A) = r(-A), r(A) + r(A-E) = r(-A) + r(A-E)>= r((-A) + (A-E))= r(-E) = n,故r(A) + r(A-E) >=n (2) 由(1),(2)得 r(A) + r(A-E) = n 毕业好多年了,又回味了一下,希望对你有帮助~~

武汉市13391706181： 设矩阵A是正规矩阵,且满足A的三次方=2A的两次方 证明:A的两次方=2A - ？
海须止泻：[答案] 一个矩阵是正规矩阵的充要条件是它可以酉对角化 令A=UDU^T代入已知得到UD^3U^T=2UD^2U^T,所以D^3=2D^2 所以对任意特征值d,d^3=2d^2,这个条件可以推出d^2=2d,所以D^2=2D,所以A^2=2A

武汉市13391706181： A是正规矩阵,且特征值的模为1,证明A是酉矩阵 - ？
海须止泻：[答案] 设A的特征值为λ1,λ2,...,λn,若A是正规矩阵,则存在酉矩阵U,使得 A=U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U,其中diag(λ1,λ2,...,λn)是对角线为λ1,λ2,...,λn的对角矩阵.又特征值的模为1,设λ1,λ2,...,λn的共轭分别为λ`1,λ`2,...,λ`n,故有 λ1λ`1=λ2λ`2=...=λnλ`n=1,且...

武汉市13391706181： 数值分析中如果A是对称阵,A的谱半径=A的算子范数是2的怎么证明啊 - ？
海须止泻：[答案] A对称,存在正交阵Q,使得Q^TAQ=D是对角阵,不妨设D的第一个对角元是模最大的特征值.对任意的单位向量x,存在单位向量y,使得x=Qy,于是||Ax||^2=||QDQ^Tx||^2=||QDy||^2=||Dy||^2=d1^2y1^2+d2^2y2^2+...+dn^2y^n