变限积分求导公式是什么?
f(x)=∫(a,x)xf(t)dt,此定理是变限积分的最重要的性质,掌握此定理需要注意两点:第一,下限为常数,上限为参变量x(不是含x的其他表达式);第二,被积函数f(x)中只含积分变量t,不含参变量x。积分变限函数是一类重要的函数,它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中.事实上,积分变限函数是产生新函数的重要工具,尤其是它能表示非初等函数,同时能将积分学问题转化为微分学问题。
类型1、下限为常数,上限为函数类型
第一步:对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去,再对上限函数进行求导。
第二步:对下面的函数进行求导,只需将“X”替换为“t”再进求导即可。
类型2、下限为函数,上限为常数类型
第一步:基本类型如下图,需要添加“负号”将下限的函数转换到上限,再按第一种类型进行求导即可。
第二步:题例如下,添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。
类型3、上下限均为函数类型
第一步:这种情况需要将其分为两个定积分来求导,因为原函数是连续可导的,所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。
第二步:然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。
第三步:接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。
第四步:对于这种题,可以直接套公式,也可以自己推导。
总结
对于变限积分求导,通常将其转换为变上限积分求导,求导时,将上限的变量代入到被积函数中去,再对变量求导即可。
扩展资料
众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量,函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量,得到的就是函数的微分;它近似等于函数的实际增量(这里主要是针对一元函数而言)。
而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。
实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x)。
因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。
用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c
F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt
F(x) = x∫(a,x) f(t) dt
F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]
= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)],下限a的导数是0,所以整体都会变为0
= (1/x)F(x) + xf(x)
求导注意事项:
(1)区间a可为-∞,b可为+∞;
(2)此定理是变限积分的最重要的性质,掌握此定理需要注意两点:第一,下限为常数,上限为参变量x(不是含x的其他表达式);第二,被积函数f(x)中只含积分变量t,不含参变量x。
原函数存在定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
上限为a(x),下限为b(x)y=(a(x),b(x))∫f(t)dt已知f(x)原函数是F(x),F'(x)=f(x)(观察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括号里跟着代入就行了)所以y=(a(x),b(x))∫f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]两边求导y'=(F[a(x)])'-(F[b(x)])'=F'[a(x)]a'(x)-F'[b(x)]b'(x)
扩展资料:
如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,这就是积分变限函数。
积分变限函数是一类重要的函数,它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中.事实上,积分变限函数是产生新函数的重要工具,尤其是它能表示非初等函数,同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外,在许多场合都有重要的应用。
连续性
【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积,则积分变上限函数在[a,b]上连续。
导数定理
【定理二】如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数在[a,b]上具有导数,并且导数为:
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,X0为[a,b]内任一点,则变动上积限积分满足:
注:
(1)区间a可为-∞,b可为+∞;
(2)此定理是变限积分的最重要的性质,掌握此定理需要注意两点:第一,下限为常数,上限为参变量x(不是含x的其他表达式);第二,被积函数f(x)中只含积分变量t,不含参变量x。
原函数存在定理
若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
上限为a(x),下限为b(x)
y=(a(x),b(x))∫f(t)dt
已知f(x)原函数是F(x),F'(x)=f(x)
(观察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括号里跟着代入就行了)
所以
y=(a(x),b(x))∫f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]
两边求导
y'=(F[a(x)])'-(F[b(x)])'=F'[a(x)]a'(x)-F'[b(x)]b'(x)
请见下图
变限积分求导公式是什么
如果f(x)dx=F(x),那么(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a),( (x), (x)) f (t) dt=根据复变函数的导数法则,g (x)=( (x),(x))F(t)dt=F [(x)](x)-F [(x)](x)=F[(x)[[0,x] f(t)dt]=f(x),即变差积分上限对变差上限的导数等于将变差上限带入被积函数。积分变...
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二重积分的变限积分怎么求导?
用变限积分求导公式,由于0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx实际上是y的函数,不妨令成f(y),根据变限积分求导公式,0到t²上积分f(y)dy的导数是2tf(t²)。于是第一行二重积分对t求导得到的式子含因式2t,由于f(y)是0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx,f(t)实际...
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变上限积分求导
当积分上限为被积函数的自变量时,变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值,就是说积分这一点的增量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小,求导求出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值。 自变量增量区间为某个函数时,此函数也需要进行求导方可平衡。 变上限积分求导公式:即∫...
变上限积分求导是怎样做的
那么对这个变上限积分函数求导, 就用g(x)代替f(t)中的t,再乘以g(x)对x求导,即g'(x) 所以导数为f[g(x)]*g'(x)这里的意思就是 积分下限为a,下限是g(x)那么对这个变上限积分函数求导 就用g(x)代替f(t)中的t 再乘以g(x)对x求导,即g'(x)所以导数为f[g(x)] *g'(x)...
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