已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-2,0),B(0,1)两点，且对称轴是y轴

已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D~

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．∴9a+3b+c＝0a+b+c＝0c＝?3，解得a＝?1b＝4c＝?3，∴抛物线的解析式：y=-x2+4x-3，由y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．（2）存在；设直线BC的解析式为：y=kx+b，则3k+b＝0b＝?3，解得k＝1b＝?3，∴直线BC的解析式为y=x-3，设P（x，-x2+4x-3），则E（x，x-3），∴PE=（-x2+4x-3）-（x-3）=-x2+3x=-（x-32）2+94，∴当x=32时，PF有最大值为94．∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为94．（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），∴可求得直线AD的解析式为：y=x-1；直线BC的解析式为：y=x-3．∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．∵AF∥y轴，∴F（1，-2），∴AF=2．①当0≤t≤2时，如答图1-1所示．此时四边形AFF′A′为平行四边形．设A′F′与x轴交于点K，则AK=22AA′=22t．∴S=S?AFF′A′=AF?AK=2×22t=2t；②当2＜t≤22时，如答图1-2所示．设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．∴S=S?PC′F′A′-S△A′DQ=2×1-12（t-2）2=-12t2+2t+1；③当22＜t≤3<span dealflag="1" class="MathZyb" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;w

（1）如图1，连接ME，记OM=x，EO=y，∵N （-6，0），|x1-x2|=8，∴NO=6，AB=8，∴EM=AM=MB=4．∵∠ENO=90°-∠NEO=∠MEO，∠NOE=∠EOM=90°，∴△NEO∽△EM0，∴NOOE＝EOOM，∴6y＝yx，即y2=6x，在Rt△EOM中，∵EO2+OM2=EM2，∴y2+x2=42=16，∴x2+6x-16=0，∴x=2，或x=-8（负值舍去），∴OM=2，∴A（-2，0），B（6，0）．代入A、B、C三点坐标，解得抛物线为y=16x2-23x-2，∴顶点D（2，-83）．（2）如图2，连接AD，BD，作∠PAB=∠DAB交MD于Q，交抛物线于P，显然Q与D关于x轴对称，即Q（2，83），设过A（-2，0），Q（2，83）的直线为y=kx+b，代入坐标，解得直线AQ：y=23x+43，设P（x，y），则满足y＝16x2?23x?2y＝23x+43，解得 <

（1）有抛物线的对称轴为y轴可得：b=0，再把A（-2，0）、B（0，1）两点坐标分别代入函数的解析式求出a、c即可；
（2）因为P在抛物线上，所以设点P坐标为（p，-
14p2+1）如图，过点P作PH⊥l，垂足为H，根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的大小关系可判断直线l与⊙P的位置关系；
（3）图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F．连接EG并延长交DP的延长线于点K，易证得△EQG≌△KPG，由（2）知抛物线y=-
14x2+1上任意一点到原点O的距离等于该点到直线l：y=2的距离，即EQ=OQ，DP=OP，所以只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小，进而求出点G到直线l距离的最小值．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，
∴b=0，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，0）、B（0，1）两点，
∴c=1，a=-14，
∴所求抛物线的解析式为y=-14x2+1；

（2）设点P坐标为（p，-14p2+1），
如图，过点P作PH⊥l，垂足为H，
∵PH=2-（-14p2+1）=14p2+1，
OP=p2+(-
14p2+1)2=-14p2+1，
∴OP=PH，
∴直线l与以点P为圆心，PO长为半径的圆相切；

（3）如图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F．连接EG并延长交DP的延长线于点K，
∵G是PQ的中点，
∴易证得△EQG≌△KPG，
∴EQ=PK，
由（2）知抛物线y=-14x2+1上任意一点到原点O的距离等于该点到直线l：y=2的距离，
即EQ=OQ，DP=OP，
∴FG=12DK=12（DP+PK）=12（DP+EQ）=12（OP+OQ），
∴只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小，
∵PQ=9，
∴GF≥4.5，即点G到直线l距离的最小值是4.5．

　　解：（1）∵对称轴是y轴 ∴b=0 ∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-2,0),B(0,1)两点
　　 ∴得方程组:4a+c=0 ∴a=-1/4 ∴抛物线解析式:y=(-1/4)x²+1
　　 c=1 c=1
　　

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