求证幂函数上任意点的切线与幂函数本身交点唯一？

幂函数的图象在原点的切线怎么求，有几种情况~

先根据已知条件幂函数的图象经过点,求出幂函数的解析式,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求出切线的方程. 解:设幂函数(为常数).幂函数的图象经过点,,解得,.,,即切线的斜率为.它在点处的切线方程为,即.故选. 充分理解导数的几何意义和幂函数的定义是解题的关键.

如下：
给定过一点(x₀,y₀)和幂函数y=xⁿ有唯一交点，直线一定是幂函数的切线。
设切点的横坐标为x₁（纵坐标为x₁ⁿ），则切线的斜率=f'(x)=nx₁^(ⁿ-¹)。
∵给定过一点和切点都在切线上，斜率=(x₁ⁿ-y₀)/(x₁-x₀)，
∴可以建立方程：(x₁ⁿ-y₀)/(x₁-x₀)=nx₁^(ⁿ-¹)→(n-1)x₁ⁿ-nx₀·x₁^(ⁿ-¹)+y₀=0（其中n,x₀,y₀均为已知数）。
解关于x₁的方程即可得到切点的横坐标，代入幂函数，即可得到切点的纵坐标。

介绍
幂函数是基本初等函数之一。
一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。

n应当是正偶数吧.
证明:
图像上一点不妨记为(a,a^n), 切线斜率即该点处导数na^(n-1).
可写出切线方程y=na^(n-1) (x-a)+a^n=na^(n-1) x-(n-1)a^n.
其与幂函数交点横坐标x满足方程x^n-na^(n-1) x+(n-1)a^n=0.
显然x=a是方程的解, 下面证明这是唯一解.
记方程左端为f(x), 求导得f‘(x)=nx^(n-1)-na^(n-1), 并易知f'(a)=0.
n为正偶数故n-1为正奇数, 可知对x<a, 有f'(x)<0, 而对x>a, 有f'(x)>0.
因此a是f(x)的唯一最小值点, 对x不等于a有f(x)>f(a)=0.
于是f(x)=0只有唯一解x=a, 即(a,a^n)是唯一的交点.
证毕.

以上大致是高中数学范围内的证法.
如果高数学了微分中值定理可以证的简单一点.
证明: (反证法) 反设x=a处切线L与幂函数交于横坐标为b的另一点.
由Lagrange中值定理, 在a,b间(不含端点)存在c使c处切线斜率等于L的斜率.
即x=a与x=c处导数相等(c不等于a), 与导函数nx^(n-1)严格单调增矛盾.
故交点只能有一个. 证毕.

函数的二阶导函数表示函数的凹凸性
只要知道某个函数在其定义域内凹凸性一致就能证明：任意点的切线与函数本身交点唯一

y"=(x^n)''=n(n-1)x^n-2
n（n-1)>=0
n是任意偶数 x^n-2>=0

所以y">=0

函数应该是下凸的
任意点的切线与函数本身交点唯一
证毕

希望能帮到你~~

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城西区15989292346： 求证幂函数上任意点的切线与幂函数本身交点唯一?幂函数是y=x^n n是任意偶数 - ？
阮殃甲芬：[答案] n应当是正偶数吧. 证明: 图像上一点不妨记为(a,a^n),切线斜率即该点处导数na^(n-1). 可写出切线方程y=na^(n-1) (x-a)+a^n=na^(n-1) x-(n-1)a^n. 其与幂函数交点横坐标x满足方程x^n-na^(n-1) x+(n-1)a^n=0. 显然x=a是方程的解,下面证明这是唯一...

城西区15989292346： 幂函数的图象在原点的切线怎么求,有几种情况 - ？
阮殃甲芬： 先根据已知条件幂函数的图象经过点,求出幂函数的解析式,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求出切线的方程. 解:设幂函数(为常数).幂函数的图象经过点,,解得,.,,即切线的斜率为.它在点处的切线方程为,即.故选. 充分理解导数的几何意义和幂函数的定义是解题的关键.

城西区15989292346： 幂函数的图象在原点的切线怎么求,有几种情况? - ？
阮殃甲芬： 幂函数可写为y=x^a y'=ax^(a-1) y'|(x=0)=0 切线方程为 y-0=0*(x-0) 即y=0 x轴

城西区15989292346： 怎么求对数函数,指数函数,幂函数的切线方程 - ？
阮殃甲芬： 求过曲线上一点(x0, y0)的切线方程都是一样的方法, 因为过此点的切线的斜率为y'(x0),由点斜式即可立即得切线方程:y=y'(x0)(x-x0)+y0, 其中y0=y(x0) 1)对数函数y=log a (x), y'=1/(lnxlna), 切线为y=(x-x0)/(lnx0lna)+loga(x0) 2)指数函数y=a^x, y'=a^x lna, 切线为y=a^x0 lna (x-x0)+ a^x0 3)幂函数 y=x^n, y'=nx^(n-1), 切线为y=nx0^(n-1)(x-x0)+x0^n

城西区15989292346： 怎样求幂函数上点的切线斜率 - ？
阮殃甲芬： 对幂函数进行求导,然后把相应点的坐标代入导数表达式即可. 例如:幂函数y=x³ 在点(2,8)处切线的斜率 求导:y'=3x² 把x=2代入导数表达式,得 y'(2)=3*2²=12

城西区15989292346： 急!请问求幂函数和给定过一点或给定斜率的一次函数的唯一交点的方法. - ？
阮殃甲芬： 给定过一点(x₀,y₀) 和幂函数y=xⁿ有唯一交点,直线一定是幂函数的切线 由导数的几何意义,如设切点的横坐标为x₁(纵坐标为x₁ⁿ),则切线的斜率=f'(x)=nx₁^(ⁿ-¹) ∵给定过一点和切点都在切线上 斜率=(x₁ⁿ-y₀)/(x₁-x₀) ∴...

城西区15989292346： 若幂函数f(x)的图象经过点A(2,4),则它在A点处的切线方程为______. - ？
阮殃甲芬：[答案] 设幂函数的方程为f(x)=xα,因为f(x)图象经过点P(2,4), 即f(2)=2α=4,即α=2,所以幂函数方程为f(x)=x2, 幂函数的导数为f′(x)=2x,所以切线斜率k=f′(2)=4. 所以切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 故答案为:4x-y-4=0

城西区15989292346： 若幂函数经过点(a,b),则它在该点的切线的方程式什么,求详细过程,谢谢 - ？
阮殃甲芬： 解:设幂函数为:y=x的m次方,y′=m(x的(m-1)次方) 则 经过点(a,b)的切线的斜率=m(a的(m-1)次方) 它在该点的切线的方程是:y-b=[m(a的(m-1)次方](x-a)

城西区15989292346： 若幂函数f(x)的图象经过点A( 1 4 , 1 2 ),则曲线y=f(x)在A点处的切线方程是___. - ？
阮殃甲芬：[答案] 设幂函数f(x)=xα, ∵幂函数f(x)的图象经过点A( 1 4, 1 2), ∴f( 1 4)=( 1 4)α= 1 2,即( 1 2)2α= 1 2, 则2α=1,则α= 1 2,即f(x)=x 1 2, 则f′(x)= 1 2• 1 x, 则f′( 1 4)= 1 2• 1 14= 1 2*2=1, 则曲线y=f(x)在A点处的切线方程y- 1 2=x- 1 4, 即4x-4y+1=0, ...

城西区15989292346： 已知函数(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行,求 的值;(2)求证函数 在 上为单调增函数;(3)设 , ,且 ,求证: . - ？
阮殃甲芬：[答案] 已知函数 (1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行,求 的值;(2)求证函数 在 上为单调增函数;(3)设 , ,且 ,求证: . (1) ; (2)详见解析; (3)详见解析 试题分析:(1) 先求导,...