高数题~~~
如图所示:
直线l:x=3-t,y=-1+2t,z=5+8t,
即(x-3)/(-1)=(y+1)/2=(z-5)/8,其方向向量a=(-1,2,8)
过l作垂直于平面z=0[其法向量b=(0,0,1)]的平面M,设平面M的法向量m=(1,p,q),
则am=-1+2p+8q=0,bm=q=0,∴p=1/2,
∴l在平面z=0的投影方程是x-3+(1/2)(y+1)=0,z=0,
即2x+y-5=0,z=0.
注:这也可以由参数方程消去t得到。
剩下部分留给您练习,可以吗?
这题可以先把垂线方程求出来,再按线向式求面。但是我高中知识丢太多了,懒得去查了。下面就本题给个技巧一点的解法。
图中ABCDD1C1B1A1是单位立方体。A1坐标(1,-1,1)。DC1所在直线即为你题目里划线的那条直线。根据几何知识,三角形A1DC1是个正三角形,故A1到DC1垂线的垂足是线段DC1的中点(即面DCC1D1的面心(0,-0.5,0.5),记为O),而面Z=0就是面ABCD,下面的过程就是分别通过A1和O向面ABCD做垂线来确定所求的面(俩条垂线分别为A1A和O到DC中点(0,-0.5,0)的连线),最后给出这个面(因为我面的表示知识忘记了可能是错的,你可以自己算一下):0.5x+y=-0.5
郭敦顒回答:
原题是:设一平面垂直于z=0,并通过坐标点A(1,-1,1)到直线L:y-z+1=0,x=0的垂线,垂足是B,求此平面方程。
这一平面设为M:ax+by +cz=D
这一平面M垂直于z=0,即平面M⊥平面(x,y)。
直线L:y-z+1=0,x=0,在平面(y,z)上,
y=z-1,z=0时,y=-1,得坐标点C(0,-1,0);y=0时,z=1,
得坐标点D(0,0,1)
在平面OCD上即平面(y,z)上取坐标点E(0,-1,1),则ODEC为正方形,
连AE,则AE⊥DE,点B为CD中点,连EB,则EB⊥CD,EB⊥平面ACD,
∴EB⊥AB,AB⊥CD,∴点B坐标为B(0,-0.5,0.5),∵y=-1/2,z=1/2。
Z L Y
D(0,0,1)
E A(1,-1,1)
B X
O
G
F()
C(0,-1,0)
平面M通过垂线AB,求M的平面方程: ax+by +cz=D
∵平面M垂直于z=0,即平面M⊥平面(x,y),
∴平面M通过点A在平面(y,z)上的垂足F,其坐标为F(1,-1,0),
又平面M通过点B在平面(y,z)上的垂足G,其坐标为G(0,-0.5,0),
点F(1,-1,0) 代入平面方程M得, a-b=D (1)
点G(0-0.5,0) 代入平面方程M得,0-0.5b+0 =D (2)
点A(1,-1,1)代入平面方程M得, a-b+ c=D (3)
点B(0,-0.5,0.5)代入平面方程M得,0-0.5b+0.5 c =D (4)
解上联立方程,由(1)与(3)得, c=0,
由(2)得b=-2D (5)
由(5)与 (1)得a=-D, a=2b
将a=-D,b=-2D ,c=0,代入M的平面方程ax+by +cz=D得,
平面M:x+2y=-1,M∥z轴。
此即为所求平面方程。
解:
设(1,-1,1)到已知直线的垂线的垂足为(x0,y0,z0)
由于已知直线的方向向量为(0,1,1)
则
x0=0
y0-z0+1=0
((x0-1,y0+1,z0-1),(0,1,1))=0
=>x0=0,y0=-1/2,z0=1/2.
故所求平面为垂直于xy平面,且经过点(0,-1/2,1/2)和点(1,-1,1)的平面
设平面方程为ax+by+c=0将上述两点代入方程,
解得:a=c,b=2c,c≠0
则cx+2cy+c=0=>x+2y+1=0即为所求
设平面法向量为(A,B,C),由于所求平面垂直于z=0,故C=0,
所以设平面方程为A(x-1)+B(y+1)=0,
下求垂足坐标(0,y,z)
首先写出直线的标准方程:x/0=y/1=(z-1)/1
故直线的方向向量为(0,1,1),它应垂直于(1,-1-y,1-z)
故y+z=0,又垂足在直线上,所以满足y-z+1=0
于是y=-1/2,z=1/2
所以将垂足代入所求平面方程中,得B=2A.
于是x-1+2(y+1)=0即为平面方程
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