GMaps拓扑数据结构

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A.数据结构

三角剖分要求能够表达TIN中各几何元素之间完整的几何信息与拓扑关系，并且允许对其进行查询和修改。结点(node)、边(edge)和三角单元(triangle)是最基本的几何元素，对基本几何元素的下列操作是必不可少的：

(1)已知一个点，查找与该点所关联的三角单元；

(2)已知一个边，查找该边的左三角单元和右三角单元；

(3)已知一个三角单元，查找邻接的三角单元；

(4)增加或删除三角单元、边或结点等。

要实现上述操作，数据结构的选择对算法的实现效率具有重要影响(Øyvind，2000；孟宪海等，2005)。数据结构应当方便、快捷地实现几何元素的上述查询或增删操作。为了查询或操作方便，必须建立各几何元素间的拓扑关系，且引入其他辅助操作。在数据结构设计时，除了需要考虑时间的因素外，还要考虑空间的因素，即模型所占计算机内存的大小，但往往这两方面是此消彼长的。要想各个几何元素之间查询迅速，必然要建立各元素之间的广泛联系，这样就会增加存储空间的占用量，反过来则会增加计算机运行时间，而半边数据结构很好地权衡了空间和时间的问题。

半边数据结构以边为核心，但为了方便表达拓扑关系，它将一条边表示成拓扑意义上方向相反的两条“半边”，图3.1a所示是一个由6个三角单元组成三角剖分的半边表示方法。

图3.1 半边数据结构

由图3.1a可以看出，若三角单元按逆时针方向排序，任何一条半边都有其前驱半边(PreHalfEdge)、后继半边(NextHalfEdge)和兄弟半边(TwinHalfEdge)(若为边界边，则为空)。孟宪海等(2005)在研究三角剖分数据结构时，已从传统上常用的翼边(winged-edge)数据结构改进为半边数据结构，但仍然存在数据冗余，这里则进行了进一步精简。半边采用类似矢量的概念来说明，仅用一个起点和一个方向来表示(图3.1b)，起始点称之为源点(sourceNode)，记录了该点的几何位置，终点则不显示记录，而是通过它的下一条半边的起始点获得。

为了保证半边所包含信息的完备性，除了保留源点指针外，还保留其后继半边指针(事实上，也可以保留前驱指针，但习惯上三角单元采用逆时针表示，故保留后继指针)和兄弟半边指针，三个指针可以实现三角单元几何信息与拓扑关系的完备性。

采用面向对象的程序设计方法，自然会考虑将三角剖分过程中需要的几何实体描述为类：Node(点)、HalfEdge(半边)、Triangle(三角形)。Node类是最基本的类，包含的是空间位置的几何信息；HalfEdge是整个数据结构的核心，三个首尾相接的HalfEdge则可构成Triangle(图3.1b)。Node和HalfEdge的数据结构表示如下：

classs Node{

private：

double：m_x，m_y，m_z；

int index；

…

}；

classs HalfEdge{

private：

Node *SourceNode；

HalfEdge*TwinHalfEdge；

HalfEdge*NextHalfEdgeInFace；

…

}；

B.GMaps理论基础

GMaps是GoCAD软件系统所采用的拓扑数据模型，有着深厚的数学、计算几何及拓扑学等理论基础(Bertrandetal.，1994；Dehlinger et al.，2004a，b)。抛开这些复杂的理论，可以从计算机专业基础课程《数据结构》中的图论(graph)来理解(殷人昆等，1999；Øyvind et al.，2006)，并加以改进和扩展。图是由顶点集合及顶点间的关系集组合的一种数据结构：

数字地下空间与工程三维地质建模及应用研究

其中，V= {x|x∈ 某个数据对象}是顶点的有穷非空集合；E= {(x，y)|x，y∈V}是顶点之间关系的有穷集合，这里则是边的集合。

基于半边数据结构的特殊设计，最终目的是为了实现结点、边和三角单元的相互访问，快速而有效地获得三角剖分所需要的必要信息。GMaps采用一种拓扑单元，称之为dart，是由一个三元组构成，即d=(V_i，E_j，T_k)，这里V_i为半边E_j一个结点，V_i和E_j是三角形T_k的一个结点和与该结点相连的半边。用一个dart可以完整地表达一个三角形单元，如图3.2a所示。从几何角度，表达一个三角单元，可以通过首尾相连的三条边来表示，也可以通过三个不共线的点来表示，这里则通过拓扑单元d来表示。简单地讲，d可以用数据结构中的半边来表示，V_i作为半边E_j的源点(图3.2a)，为了由拓扑单元d得到几何上的三角单元T_k，要么通过一定方法得到另外两个点V_i+1和V_i+2，要么得到另外两条半边E_j+1和E_j+2。为此，可以定义特定的函数实现这样的功能。

这里定义三个拓扑映射函数：α₀，α₁，α₂，如图3.2b所示，其含义分别如下：

图3.2 拓扑三角单元(a)及拓扑变换(b)

α₀(d)：实现d的源点V_i到其所在半边E_j的另一端点V_i+1的映射，这里称V_i+1为V_i的目标点；

α₁(d)：实现d的半边E_j到与其共享同一源点且同一单元的另外一条半边E_j+2的映射；

α₂(d)：实现d的半边E_j到与其共享同一源点的相邻兄弟半边的映射。这样，可以由当前拓扑单元转向下一个单元。

也就是说，α₀(d)、α₁(d)、α₂(d)分别映射拓扑单元d的结点、边和三角形，而拓扑单元的其他性质保持不变。如果边E_j所在的三元组d=(V_i，E_j，T_k)位于边界上，那么α₂(d)=d，因此，结点、边和三角形都保持不变。这样，三角剖分结果就可以用一个GMaps来完全表示，即G(D，α₀，α₁，α₂)。这里，D是d的集合。可以看出此式与式(3.1)无论在形式上还是所要表达的功能上都比较接近。

C.GMaps拓扑变换

定义了α₀(d)、α₁(d)、α₂(d)三个映射函数，就可以通过对拓扑单元d(可以简单地理解为包含了拓扑信息的一条半边)的复合变换来实现预定的目标。在nGMaps中，定义了对拓扑单元d的n重复合操作(Simon et al.，2006)，来实现n维空间对象的空间剖分，即α_i(α_j(…α_k(d)…))，简化为

)。这里不需要如此复杂的表达，平面三角剖分过程中只需要做n=2即可。这样，由α₀、α₁、α₂可以衍生出对应的三个拓扑变换(图3.3)：

图3.3 复合变换

应用

反复迭代，能够遍历共享一个公共点的所有边和三角形，称之为0-Orbit(图3.3a)；

应用

反复迭代，能够访问共享一条边的两个三角形，称之为1-Orbit(图3.3b)；

应用

反复迭代，能够遍历三角形中所有的结点和边，称之为2-Orbit(图3.3c)；

上述迭代过程的终止条件是

。

i-Orbit(i=0，1，2)具有其相应的应用之处：

0-Orbit：得到共享某一结点的所有三角单元所构成的闭合区域，在采用凸耳消元法(ear elimination，EE)(Devillers，1999)进行点删除时可以用到。

1-Orbit：实现由当前三角单元向邻近单元的转换，若待插入点不在当前三角单元内，则需要转入相邻三角单元继续进行判断。

2-Orbit：实现由三角拓扑单元到三角几何信息的转换，得到三角单元的几何信息后，在Delaunay逐点插入法剖分中可以用来判断待插入点是否为某一个三角单元内。

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