如何评价数学家 John Milnor 的成就？
苏步青（1902年9月23日—2003年3月17日），浙江温州平阳人，祖籍福建省泉州市，中国科学院院士，中国著名的数学家、教育家，中国微分几何学派创始人，被誉为“东方国度上灿烂的数学明星”、“东方第一几何学家”、“数学之王”。
1927年毕业于日本东北帝国大学数学系，1931年获该校理学博士学位，1948年当选为中央研究院院士，1955年被选聘为中国科学院学部委员，1959年加入中国共产党，1978年后任复旦大学校长、数学研究所所长，复旦大学名誉校长、教授。
从1927年起在国内外发表数学论文160余篇，出版了10多部专著，他创立了国际公认的浙江大学微分几何学学派；他对“K展空间”几何学和射影曲线的研究。
苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果，在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就
庞加莱猜想
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为
了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家
的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞
加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭
的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己
已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德（Whitehead）对这
个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，
在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。
50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（
Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是
1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。
在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的
“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经
为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得
毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一
个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位
数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐
忍不言。
这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓
扑学这门学科。
一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究
的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。
1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解
决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸
和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自
己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。
10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基
础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中
之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。
人们在期待一个新的工具的出现。
“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了
。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。
可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？
工具有了
里查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多
年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜
。
1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这
种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福
大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我
说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于
是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”
Ricci流，以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何
结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐
立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹
怀东。
第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间，几乎所有的媒体都
在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大
多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然
也是大隐隐于市的模样。
1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过
来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时
，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多
非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施
皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深
思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？
在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它
们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993
年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那
一刻，就要到来了。
1，把一条绳子打上很多结，再将首尾连接在一起，在什么情况下我们不剪断绳子就可以解开所有的结把绳子变成一个圆？1949年，普林斯顿大学一节微分几何课上，Tucker 教授为了激发孩子们的兴趣提出了这个问题，同时介绍了两年前波兰数学家Borsuk的猜想：考察打好结的绳子的弯曲程度，将每个点的曲率在整个绳子上积分起来，如果小于等于4π，那么所有的结都可以打开。Tucker没想到的是，几天后，它课上的一个18岁的学生像交作业一样将一份完整地证明交给了他。On the Total Curvature of Knots on JSTOR2，大学期间这个智商溢出的孩子并没有被数学所满足，还对很多智力项目也都很感兴趣，比如围棋还有一个叫 Nash 的游戏。认识了游戏的发明人之后，二人成了好朋友，并发表了关于游戏理论（博弈论）的一系列文章。最近发现，Nash的成名作好短，加上参考文献还不到一页。1954年，23岁的Milnor 带着横跨几个方向的近十篇文章结束了博士生涯，成为了普林斯顿的助理教授，开始了一次次颠覆所有拓扑学家价值观的旅程。4，成名作：三观尽失的怪球。1956年数学史上里程碑的构造由25岁的Milnor给出，六页半的文章足以让他有资格拿到世界上所有的数学奖项。事实上也确实如此，目前他是仅有的四位包揽 Fields, Wolf,Abel 大满贯选手之一。1962年，31岁的Milnor拿到了Fields: "Proved that a 7-dimensional sphere can have several differential structures; this led to the creation of the field of differential topology."5，由Wolf奖委员会发行的获奖者文集中，收录了Milnor的四篇文章，第一篇当然是怪球，第二篇是1958年可除代数只有实，复，四元，八元 四种的新证明，其中引用了吴文俊先生的五篇文章，并在文中写道：“鉴于吴的文章为中文，我们将所用定理的证明在附录中给出”。6，第二次颠覆：Hauptvermutung 的反例。Hauptvermutung 为德语，直译为 主要猜想，直指组合拓扑的根本，即同一拓扑空间的三角剖分是否唯一？更数学一点，即是否任一两个三角剖分都有相同的加细？1961年，30岁的Milnor 直接了当地构造了一个反例。和怪球一样，这次颠覆也终结了无数人的研究计划但又为更多的人开启了新的方向。Triangulation and the Hauptvermutung7，再一次颠覆：能否从鼓的声音中判断鼓的形状？这个问题很有影响力，Kac 凭借这个问题就拿下了两项大奖：我们耳朵听到的声音是由频率决定的，而频率则是鼓面的Laplace算子的特征值。所以问题化为：如果两个空间Laplace算子的谱相同，这两个空间是否相同？但问题转瞬间就变成了一个目前还有很多人研究的方向：如果谱相同，什么条件下空间相同。这是因为 “Almost immediately,” Milnor 一言不合就抛出了两个谱相同但空间不同的16维环面的例子。8，再再一次颠覆：同胚的光滑流形居然可以有不同构的切丛。。。再颠覆我们就审美疲劳了。(评论中有人指出这条和4 是一回事。确实是的。)9, 庞加莱猜想是他从接触数学开始一生最大的追求，能在有生之年看到猜想被Perelman解决，不知道他是什么心情。10，一般来说高智商的学霸是很难理解学渣在学习中的挣扎的，所以很多天才的教授讲课写书都一塌糊涂。但Milnor 又是个反例，他有一个天赋，可以将一团乱麻的复杂的前沿研究解释的非常简单。“Usually when Milnor explains, it is easier.” Milnor 写书的水平是古往今来数学界一绝，微分拓扑，示性类，h协边，Morse理论。。。这些当时莫测高深的前沿在Milnor写好书后就成了研究生课程。他是唯一一个包揽了美国数学会发给优秀数学著作的Leroy P Steele Prize的人，这是Serge Lang都达不到的成就。11，我是在读了数学家McDuff的书之后才知道他居然是Milnor的老婆，她当年为了追Milnor放弃了自己学校的终身职位去做非终身的助理教授只为了离他更近。
米尔诺出生于美国泽西州奥兰治。在普林斯顿大学就读本科期间，他就在1949年和1950年参加了普特南数学竞赛（en:William Lowell Putnam Mathematical Competition），并证明了Fary–Milnor定理。之后，他在进入普林斯顿大学的研究生院，并完成了论文《Isotopy of Links》。获得博士学位后，他继续在普林斯顿工作。
1962年，米尔诺因他在微分拓扑领域的工作获得菲尔兹奖。之后，他又获得了美国国家科学奖章（1967年）、Leroy P Steele Prize（1982年，2004年，2011年）、沃尔夫奖（1989年）。他还著有许多出色的书籍。这些书通俗，简洁而又严谨。
2011年，他因其“在拓扑，几何和代数的开拓性发现”（“pioneering discoveries in topology, geometry and algebra.”）获得了阿贝尔奖。作为回应，他告诉《科学家》杂志，“这感觉非常好”(“It feels very good”)，并说“早上6点的电话总是让人感到意外。”（“One is always surprised by a call at 6 o'clock in the morning.”）
约翰·米尔诺（英语：John Milnor，1931年2月21日－），美国数学家。他的主要贡献在于微分拓扑、K-理论和动力系统及其著作。他曾获得1962年度菲尔兹奖、1989年度沃尔夫奖及2011年度阿贝尔奖。John milnor在单复变动力系统方面也有许多重要的普及性工作，比如标准的参考教材 Dynamics in one complex variable. 系统地介绍了该领域的基础，对于二次多项式的内容，milnor写了许多notes向大家推广，重要的比如用orbit portraits 介绍关于mandeblot 集的结构，还有介绍yocooz 著名的利用puzzle来研究julia集局部连通性的文章。关于三次多项式也一些文章，近几年还有两篇前沿性的研究结果，主要研究有理函数的参数空间上的双曲分支。
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