已知X＋Y＝100，求X²＋Y²最小值是多少？

已知X＋Y＝100，求X²＋Y²最小值是多少？~

在直角坐标系中，作出直线X+y=100,此直线与X，Y轴分别交于点A（100,0）,点B（0,100）
x^2+y^2表示直线X+y=100上的点到原点的距离的平方
AB的中点（50，50）到原点距离最小，所以距离的平方也最小
X^2+y^2=50^2+50^2=5000

x³+y³
=x³+x²y-x²y-xy²+xy²+y³
=x²(x+y)-xy(x+y)+y²(x+y)
=(x+y)(x²-xy+y²)
＝100
因为x+y=10
所以10(x²-xy+y²)=100
(x²-xy+y²)=10
等式
1
(x+y)²=100=x²+y²+2xy
等式2
等式1*2
=2x²-2xy+2y²=20
等式3
等式2＋等式3
120＝3（x²+y²）
x²+y²＝40
参考资料：确定答案正确

解由x^2+y^2≥2xy
则2(x^2+y^2)≥x^2+y^2+2xy
则2(x^2+y^2)≥(x+y)^2
则2(x^2+y^2)≥100^2=10000
即x^2+y^2≥5000
则X²＋Y²最小值是5000.

X²＋Y²=（X+Y）*（X+Y）-2XY
=10000-2XY
=10000-2X（100-X）
=10000-200X+2X*Ⅹ
=10000+2（X*X-100X+2500-2500）
=10000+2（X-50）（X-50）-5000
=5000+2（X-50）*（X-50）
当X=50时，X²＋Y²最小值是5000。

最小值为5000

四种解法：
1、X²＋Y²=（X+Y）*（X+Y）-2XY
=10000-2XY
=10000-2X（100-X）
=10000-200X+2X*Ⅹ
=10000+2（X*X-100X+2500-2500）
=10000+2（X-50）（X-50）-5000
=5000+2（X-50）*（X-50）
当X=50时，X²＋Y²最小值是5000；
2、解由x^2+y^2≥2xy
则2(x^2+y^2)≥x^2+y^2+2xy
则2(x^2+y^2)≥(x+y)^2
则2(x^2+y^2)≥100^2=10000
即x^2+y^2≥5000
则X²＋Y²最小值是5000；
3、X²＋Y²=x^2+(100-x）^2，整理得F(x)=2X^2-200X+10000，这是一个开口向上的抛物线，用抛物线顶点坐标公式求出最小值，得F(x)min=5000；
4、X＋Y＝100为一条直线，R^2=X²＋Y²是一个以原点为圆心的圆，当圆与X＋Y＝100直线相切时取得最小值R=50√2，此时R^2=5000，为最小值。

答案为5000
法一：由均值不等式x²+y²≥2xy,两边同时加上x²+y²得2（x²+y²）≥x²+y²+2xy,进而可得x²+y²≥(x+y)²/2＝5000
法二：x+y＝100实际上是直线x+y＝100,而所求x²+y²的是直角坐标系中该直线上的点（x,y）到原点（0，0）的距离的平方,你可以画图求，也可以使用点到直线的距离公式（高中知识）求得距离dmin＝(0+0+100)/2½＝50×2½，则dmin²＝50²×2＝5000
这只是这道题的两种解法，当然还有其他方法，你可以自己探索。打字不易，望采纳，谢谢！

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岱岳区15178435592： 已知x+y=2,xy=7求x²y+xy²的值 - ？
直诸华芬：[答案] x²y+xy² =xy(x+y) =2*7 =14

岱岳区15178435592： 已知x=根号3+1,y=根号3 - 1,求x² - y²分之x² - 2xy+y² 的值 - ？
直诸华芬：[答案] x+y=√3+1+√3-1=2√3 x-y=√3+1-√3+1=2 ﹙x²-2xy+y²﹚/﹙x²-y²﹚ =﹙x-y﹚/﹙x+y﹚ =2/2√3 =√3/3.

岱岳区15178435592： 已知x² - y²=100,x+y= - 25,求代数式(x²+y²/2) - xy - ？
直诸华芬：[答案] x²-y²=100,x+y=-25, x²-y²=(x+y)*(x-y) 所以 x-y=-4 (x²+y²/2)-xy=((x-y)*(x-y))/2=8

岱岳区15178435592： 已知x+y=3,xy=1,求:(1)x²+y²(2)(x - y)²的值 - ？
直诸华芬：[答案] (1)x²+y²=(x+y)²-2xy =9-2 =7 (2)(x-Y)²=x²-2xy+y² =7-2xy =7-2 =5

岱岳区15178435592： 已知x=√5+√3,y=√5 - √3,求x²+3xy+y²的值 - ？
直诸华芬：[答案] 答: x=√5+√3,y=√5-√3 所以: xy=(√5+√3)(√5-√3)=5-3=2 x+y=2√5 所以: x^2+3xy+y^2 =(x+y)^2+xy =(2√5)^2+2 =20+2 =22 所以:x^2+3xy+y^2=22

岱岳区15178435592： 已知x,y满足y²=2x+6y - x² - 10,求代数式xy/x+y的值 - ？
直诸华芬：[答案] y²=2x+6y-x²-10, 即(y-3)^2+(x-1)^2=0 所以y-3=0 x-1=0 所以y=3 x=1 则xy/(x+y)=3/4

岱岳区15178435592： 求解一道数学课~已知X+Y=1,求½X²+Xy+½y²的值. - ？
直诸华芬：[答案] ½X²+Xy+½y² =1/2(x²+2xy+y²) =1/2(x+y)² =1/2*1² =1/2

岱岳区15178435592： 已知x+y= - 5,xy=3,则x²+y²的值是19.为啥~还有一道.差不多的若x+y=3,xy=1,求x²+y²的值 - ？
直诸华芬：[答案] 若x+y=-5,xy=3 则x²+y² =x²+y²+2xy-2xy =(x+y)²-2xy =(-5)²-2*3 =19 同理:若x+y=3,xy=1, 则x²+y²=(x+y)²-2xy=3²-2*1=7

岱岳区15178435592： 已知xy=8,满足x²y - Xy² - x+y=56,求x²+y²的值. - ？
直诸华芬：[答案] x²y-Xy²-x+y=56 xy(x-y)-(x-y)=56 (x-y)(xy-1)=56 因为 xy=8 所以 x-y=56/(xy-1)=56÷7=8 x²+y²=(x-y)²+2xy=8²+2*8=80

岱岳区15178435592： 已知1≤x≤10,且xy²=100,求(lgx)
? ？
直诸华芬： 因为: xy^2=100 两边取对数得到: lg(xy^2)=lg100=2 lgx 2lgy=2 所以: lgy=1-(1/2)lgx. f(x)=(lgx)^2 (lgy)^2 =(lgx)^2 [1-(1/2)lgx]^2 =(5/4)(lgx)^2-lgx 1 设lgx=t,则有0f(x)=(5/4)t^2-t 1 对称轴t=2/5,在区间[0,1]范围内,所以: f(x)在t=2/5处取得最小值,此时x=10^(2/5),y=10^(4/5); f(x)在t=1处取得最大值,此时x=10,y=10^(1/2).