3. 已知{an}中,a1=2,a(n+1)=2an/an+3,求通项公式 详细过程
作者&投稿：庞匡 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
数列｛a(n)+3^n｝的第n项是an+3^n
那么第n+1项应该为a(n+1)+3^(n+1)
而不是a(n+1)+3^n
∴【a(n+1)+3^n=2[a(n)+3^n]
[a(n+i)+3^n]/(a(n)+3^n]=2
可得出｛a(n)+3^n｝是首项为4，公比为2的等比数列】
是错的
数列｛a(n)+3^n｝的第n项是an+3^n
那么第n+1项应该为a(n+1)+3^(n+1)
而不是a(n+1)+3^n
∴【a(n+1)+3^n=2[a(n)+3^n]
[a(n+i)+3^n]/(a(n)+3^n]=2
可得出｛a(n)+3^n｝是首项为4，公比为2的等比数列】
是错的
正解：
∵a(n+1)=2an+3^n,
∴a(n+1)- 3^(n+1)=2(an-3^n)
∴[a(n+1)-3^(n+1)]/(an-3^n)=2
∴｛a(n)-3^n｝是首项为-2，公比为2的等比数列
∴an-3^n=-2*2^(n-1)=-2^n
∴an=3^n-2^n
a(n+1)=2an+1.
> a(n+1)+1=2an+1+1
> a(n+1)+1=2(an+1)
> [a(n+1)+1]/an+1=2
a1=3，a1+1=4不为0，故{an+1}是个等比数列,记为An，首项A1=a1+1=4，公比为q=2，
An=A1xq(n-1）=4x2（n-1）=2x2x2（n-1)=2(n+1)。
所以an+1=2（n+1）即an=2（n+1)-1
本人现在大二，英语专业，两年没碰数学，如果有误请谅解
a(n+1)=2an/(an +3)
1/a(n+1)=(an +3)/(2an)=(3/2)(1/an) +1/2
1/a(n+1) +1 =(3/2)(1/an) +3/2
[1/a(n+1) +1]/(1/an +1)=3/2，为定值。
1/a1 +1=1/2 +1=3/2
数列{1/an +1}是以3/2为首项，3/2为公比的等比数列。
1/an +1=(3/2)(3/2)^(n-1)=(3/2)ⁿ
1/an =(3/2)ⁿ -1=(3ⁿ -2ⁿ)/2ⁿ
an=2ⁿ/(3ⁿ-2ⁿ)
n=1时，a1=2/(3-2)=2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(3ⁿ-2ⁿ)。
a(n+1)=2an/an+3
两边取倒数得
1/a(n+1)=(an+3)/2an
1/a(n+1)=1/2 + 3/2 * 1/an
1/a(n+1) + 1=3/2*(1/an + 1)
即{1/an + 1}是首项为3/2,公比为3/2的等比数列
故1/an + 1=(3/2)^n
故an=1/[(3/2)^n-1]
首先这要做一个转化，把这个未知问题转化为已知问题。两边取倒数，就可以拆分分式：
1/a[n+1]=(a[n]+3)/(2a[n])也就是1/a[n+1]=3/2 (1/a[n])+1/2。再令b[n]=1/a[n]就是
b[n+1]=3/2b[n]+1/2。
所以问题归结于一次型递推关系：a[n+1]=ka[n]+b这种数列如何求通项。
这种数列求通项方法很多，比如平移法，设有一个λ，满足b[n+1]+λ=3/2(b[n+1]+λ)，也就是寻找一种能把b[n]变成等比数列的平移。解出1/2 λ=1/2，λ=1
所以{b[n]+1}是等比数列，公比为3/2，通项b[n]+1=(b[1]+1)q^(n-1)=(3/2)^n
所以b[n]=(3/2)^n-1
a[n]=1/[(3/2)^n-1]
差不多就是这样，当然上面求b[n]的通项不止这一种方法。
毋肥龙牡： 由题:设a(n+1)+x=(根号2-1)*(an+x) 结合a1=2,a(n+1)= (根号2-1)*(an+2),n∈1,2,3,...解得:x= -根号2 所以{an-根号2}是等比数列.an=根号2 * (根号2-1)^n+根号2 令t=(根号2-1)^(4n-1) a4n-3=根号2*t/(根号2-1)^2+根号2 a4n-3=...
阿勒泰地区13616621682： 在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an/(an+1),求数列{an}通项公式.第2问:求证: n i=1Σ ai(ai--1)扫码下载搜索答疑一搜即得 - ？
毋肥龙牡：[答案] 1) a(n+1)=2an/(an+1) 1/a(n+1)=1/2(1+1/an) 1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1) 所以 {1/an-1}是 首项为 -1/2,公比为 1/2 的等比数列, 故 1/an-1=-(1/2)^n 所以 an=1/[1-(1/2)^n]=2^n/(2^n-1) 2) ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2) 由于 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/...
阿勒泰地区13616621682： 已知数列an中,a1=2,a(n+1)=2an+2*3的n次方,求an的通项公式 - ？
毋肥龙牡：[答案] 使用待定系数法,设a(n+1)+λ*3^(n+1)=2(an+λ*3^n) 即a(n+1)=2an-λ*3^n 得λ=-2 所以{an-2*3^n}是等比数列,公比为2 而a1-2*3=-4 所以an-2*3^n=-4*2^(n-1)=-2*2^n an=2(3^n-2^n)
阿勒泰地区13616621682： 在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=3an+n(n>=1),则数列的通项an=? - ？
毋肥龙牡： a1=2,设a(n+1)=3an+n(n>=1) 则a(n+1)+x(n+1+a)=3[an+x(n+a)] a(n+1)=3an+2xn+2ax-x 那么 , 2x=1,2ax-x=0,a=1/2 所以a(n+1)+1/2(n+1+1/2)=3[an+1/2(n+1/2)] [a(n+1)+1/2(n+3/2)]/[an+1/2(n+1/2)=3 即{an+1/2(n+1/2)}为等比数列,公比为3 首项为a1+1/2*(1+1/2)=2+3/4=11/4 an+1/2(n+1/2)=11/4*3^(n-1) an=11/4*3^(n-1)-n/2-1/4
阿勒泰地区13616621682： 已知数列an中,a1=2,an=an - 1+1/n(n+1) (n>=2)求an - ？
毋肥龙牡： 已知:数列an中,a1=2,an=a(n-1)+(1/n(n+1)),(n≥2);求an.解:由意意可知:an-a(n-1)=(1/n)-(1/(n+1)),则 a2-a1=(1/2)-(1/3) a3-a2=(1/3)-(1/4) a4-a3=(1/4)-(1/5) ··· a(n-1)-a(n-2)=(1/(n-1))-(1/n) an-a(n-1)=(1/n)-(1/(n+1)) 左右相加,得:an-a1=(1/2)-(1/(n+1)) 将a1=2代入上式,化简得:an=(5n+3)/(2n+2)
阿勒泰地区13616621682： 在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=3^n*a^n,求an. - ？
毋肥龙牡： a(n+1)=3^n*a^n,a1=2=3^1*a^1 a=2/3 an=3^(n-1)*(2/3)^(n-1)
阿勒泰地区13616621682： 已知数列{an}中的a1=2,a(n+1)=an/3,证明这个数列是等比数列,并写出它的通项公式. - ？
毋肥龙牡： 解: 因为a(n+1)=an/3 所以a(n+1)/an=1/3 所以{an}是以q=1/3,a1=1的等比数列 根据公式an=a1*q^(n-1) 则an=(1/3)^(n-1)
阿勒泰地区13616621682： 已知数列an中 a1=2 an=a(n - 1)+2n(n>1)求其通项公式an - ？
毋肥龙牡： 解:an-a(n-1)=2n 所以 a2-a1=4 a3-a2=6 a4-a3=8...an-a(n-1)=2n 叠加得 an-a1=4+6+8+...+2n=(n-1)(4+2n)/2=(n-1)(n+2)=n²+n-2 所以an=n²+n-2+a1=n²+n-2+2=n²+n
阿勒泰地区13616621682： 在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于 - ？
毋肥龙牡： a2+a3=2a1+3d=2x2+3d=13 解得d=3 则a4+a5+a6=3a1+12d=3x2+12x3=6+36=42想法是不错,可是你概念理解存在偏差若m+n=p+q 则有Am+An=Ap+Aq那么请注意,这里是两项对应两项的等价交换如果按你的式子 a4+a5+a6=3(a2+a3)则拆出来就变成 3项 对应 6项 ,这是不符合规则的所以你的算法是错误~~呵呵,以后理解概念要理解清楚,不过你这种新想法还是值得提倡的,数学就是要多动脑筋,但不可以一根筋~~~保持这种探究精神吧~
阿勒泰地区13616621682： 已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,...),a1,a2,a3成公比不 - ？
毋肥龙牡：[答案] a2=2+c,a3=(2+c)+2c=2+3c a1*a3=a2^2 2(2+3c)=(2+c)^2 c^2-2c=0 c=0,c=2 当c=0时,公比为1 当c=2时,公比为2
