代数与几何的发展 数学家
解析几何系指借助笛卡尔坐标系，由笛卡尔、费马等数学家创立并发展。它用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
笛卡尔
作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。
格罗滕迪克
A.Grothendieck
（一）
Alexandre Grothendieck，1928年3月28日出生于德国柏林的一个犹太人家庭。他的父亲在二战时被纳粹杀害。战争结束后，Grothendieck去法国学习数学，先后师从Bourbaki学派的分析大师Dieudonne和著名的泛函分析大师Laurent Schwartz,20几岁时Grothendieck就成为当时研究很热的拓扑向量空间理论的权威了。但是1957开始，Grothendieck的研究主要转向了代数几何和同调代数，1959年他成为了刚成立的巴黎高等科学研究所的主席。他的工作把Leray,Serre等人的代数几何的同调方法和层论发展到了一个崭新的高度。他创立的Scheme理论奠定了现代代数几何的基础。由于他的许多开创性的工作，使得代数几何这个古老的数学分支焕发出了新的活力，最终导致Deligne完全证明了Weil猜测，这被认为是20世纪纯粹数学最重大的成就之一。由于Grothendieck的领导，那段时期巴黎高等研究所是公认的世界代数几何研究中心，他也为此获得了1966年国际数学最高奖Fields奖。可能由于他年少时的战时经历，Grothendieck是一个激进的和平主义者，他
可以为了战争而放弃自己从事的数学研究。越战期间，他在河内的森林里为当地的学者讲授范畴论。1970年，只有42岁，正值研究顶峰的他彻底放弃了数学，也离开了巴黎高等研究所。后来在法国的Montpellier大学教书，直到60岁退休。他还说过要去欧洲西南部的比利牛斯山做个隐居的佛教徒。1988年正值他60大寿时，Grothendieck出人意料的谢绝了瑞典皇家科学院的向他颁发的Crafoord奖和25万美元的奖金。理由是他认为应该把这些钱花在年轻有为的数学家身上。尽管Grothendieck已经远离学术圈很久了，但他依然是公认的现代最伟大和最有影响力的数学家之一。他创立的现代代数几何博大精深的理论体系所带来的巨大变革，在几乎所有的核心数学分支中都能感受到。
翻开任何一本现代代数几何教材或专著，都会频繁的看到如Groth. topology Groth. cohomology，Groth. ring 等名词。每当这时，我都会想Grothendieck，
这位最令我们钦佩的大数学家，也许他此刻正默默无闻的生活在欧洲哪个很小的城镇里，但他留给人类的巨大财富无疑将永载史册！
（二）
“对于这些“纯粹”数学家来说,物质世界仅仅是幻象,只有精神世界才是永恒的。他们只需要一支铅笔、几张白纸,就可以凭着自己聪明的头脑, 在纯粹数
学的象牙塔中雕镂出一个辉煌的天地。” 六十年代是一个颇不安分的年代。这个时候的青年学生崇拜的偶像是毛泽东和切 格瓦拉。他们会戴着红袖箍,抬着格瓦拉的像,走上街头同荷枪实弹的军警对垒。这个时候的大学教授,似乎由于和学生接触比较多的缘故,也不太听话。 比如美国数学家、1966年Fields奖得主S Smale就曾多次公开抨击美苏的霸权主义政策。因为这,他受到了CIA的“关照”。而1966年莫斯科国际数学家大会期间,克格勃干脆把他“请”到了一辆小汽车里呆了一段时间。不过和Grothendieck比起来,Smale的所作所为倒还不算太出格。
Bourbaki是三十年代时由一批法国青年数学家建立的学派。它的首批成员都毕业于高等师范学校(Ecole Normale Supérieure)，包括A.Weil、H.Cartan、J.Dieudonné、C.Chevalley、J.Delsarte等人。Grothendieck加入这个学派的时候,正值它的全盛时期。当时的Bourbaki学派除了老一辈的大师外,还有L.Schwartz、J.-P.Serre这样才华横溢的青年。在这里,Grothendieck接触到了数学的前沿,进而成长为新一代数学家中的佼佼者。Grothendieck起初研究泛函分析,他深刻地改变了这门学科的面貌。Dieudonné称Grothendieck的工作和S.Banach的工作一样,在泛函分析中留下了最强的印记。不过,Grothendieck最重要的工作还是代数几何。代数几何研究的是代数方程(组)的解所表示的图形。从R Descartes发明解析几何算起,这门学科已经有将近四百年的历史了。二十世纪三十年代,O.Zariski和B.L.van der Waerden把交换代数引进了代数几何。四十年代中期,Weil将代数几何彻底地建立在抽象代数的基础上,并提出了著名的Weil猜想。后来的小平邦彦(Kodaira)、F.Hirzebruch、J.-P.Serre等人也曾在这门学科中作出重大突破。五六十年代,Grothendieck对代数几何进行了彻底的革命,发表了十几本巨著, 建立了一套宏大而完整的“概型理论”。Grothendieck的工作堪称代数几何的颠峰,他的著作被誉为“Grothendieck圣经”。Grothendieck的理论就发挥了价值。在概型理论的基础上,数学家们取得了一个又一个令人瞠目的成就: Grothendieck第一次给出了著名的Riemann-Roch定理的代数证明。
它还导致了如下事件：
1973年,P.Deligne证明了Weil猜想（获1978菲尔兹奖）;
1983年,G.Faltings证明了Mordell猜想（获1986菲尔兹奖）;
1995年,A.Wiles证明了谷山-志村(Taniyama-Shimura)猜想,进而解决了有三百五十多年历史的费尔马大定理(Fermat's Last Theorem)（获1996菲尔兹特别奖） 。
这些成就代表着当代数学的最高水平,足以光彪千古。
20世纪的代数几何学涌现了许多天才和菲尔兹奖，但是上帝只有一个，就是Grothendieck。他的系列专著EGA是公认的代数几何圣经。
Grothendieck是一个彻底的无政府主义者及和平主义者。他经常向那些来找他请教数学问题的人作他的那一套政治宣传。六十年代,他被聘为法国高等科学研
究所(Institut des Hautes Etudes Scientifiques)的教授,但当他发现这个机构是由NATO(北大西洋公约组织)出资支持的时候,便毅然辞职回乡务农去了。1970年
的国际数学家大会上,苏联盲人数学家L Pontrjagin作关于“微分对策”的报告, 其中谈到了用导弹追踪飞机的问题。Grothendieck愤然走上台夺下话筒,抗议他在
数学会议上提到军事。 G Hardy曾说过:“真正的数学对战争毫无影响,……是一门‘无害而清白’的职业”。或许Grothendieck就是因为这个原因才选择了数学。但是Grothendieck逐渐失望地发现数学往往被用在军事上,象他所研究的代数几何就被用来编制密码,而且数学研究大多直接或间接得到军方支持。这显然与他的理想背道而驰。于是在1970年,他便永久地离开了他所喜爱的数学事业,转向了裁军活动和经营农场。到80年代,他干脆消失在这个肮脏的世界上,只有他的少数朋友知道他的住址,但这些朋友们都守口如瓶。至今,Grothendieck依然不知所终。隐逸之士古已有之,但如Grothendieck这般,不恋荣华,功成身退,则亘古罕有。
代数几何到底研究什么呢？简单的说，就是研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的零点及其上的三大结构：代数结构，拓扑结构和序结构。此三大结构系Bourbaki学派提出，用来统摄结构数学，数学中凡是具有结构特征的板块，均由这三大母结构及其混合构成。对于1元n次方程的解，我们有很好的结果，即代数学基本定理：在复数域C内，任意1元n次方程一定有n个零点（重复了几次算几重）。但是，若把情况改变一下，由1元变成 n元，复数域变成任意基域K，现要讨论由m个n元方程构成的方程组在K内的公共零点的情况，容易发现，情况要比1元时复杂得多，此时，用窗同的方法已无济于事，必须创造新的方法，融入新的思想。正是这样的内在的发展要求，使得代数几何在20世纪发生了一场革命，即库恩意义上的范式的彻底改变。其中蕴涵的新的数学思想，不仅革新了代数几何本身，而且也革新了整个数学界的思考方式，给经典的数学家们在思想上带来了深深的震撼！
Dieudonne把代数几何学的历史分为七个时期：前史（prehistory，Ca.400BC-1630A.D），探索阶段（Exploration，1630-1795），射影几何的黄金时代（1795-1850），Riemann和双有理几何的时代（1850- 1866），发展和混乱时期（1866-1920），涌现新结构和新思想的时期（1920-1950），最后的一个阶段，也就是代数几何史上最辉煌的时期，层（sheaf）和概形（Scheme）的时代（1950-）。代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线，即由多项式P（x，y）=0定义的轨迹，比如最简单的代数曲线——直线和圆，古希腊时代就已经在研究圆锥曲线和一些简单的三次，四次代数曲线了。承前述可以看出，研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示，所以，真正意义上的研究还得从Descartes和Fermat创立几何图形的坐标表示开?#####灯穑��庖丫�?7世纪的事情了。解析几何学对于代数曲线和曲面已经有相当完整的结果了，从Newton开始已着手对三次代数曲线进行分类，得出72类，从这时起，分类问题便成为代数几何中的知道性问题了，这些问题成为大量研究工作的推动力。但是，反过来，正是由于对三次的或四次的代数曲线进行的分类过于繁复，从而推动了解析几何学向代数几何学的过度，也就是在更加粗糙的水平上进行分类和进行一般的理论研究。18世纪，AG（代表代数几何，以下类同）的基本问题是代数曲线和曲面的相交问题，相当于代数方程组中的消元问题，这个时期得到的基本成果是Bezout定理：设X，Y是P^2中两支不同的曲线，次数分别为d和e，令X#Y={P_1, P_2,......P_s},则Sigama[j is from 1 to s] i(X,Y;P_j)=de。随着19世纪射影几何学的兴起，开始用射影几何方法来研究代数曲线，其中引进了无穷远点及虚点和用齐次多项式及射影坐标P （X_0,X_1,X_2)=0来表示代数曲线，并且允许出现复坐标，1834年，德国数学家普吕克尔得出关于平面曲线的普吕克尔公式，这个公式把平面代数曲线的代数特征和几何特征联系起来了，如次数和拐点数等，特别是由此证明了一般三次代数曲线皆有9个拐点，1839年，他还发现四次曲线有28条二重切线，其中至多8条是实的。上面就是前三个阶段代数几何学的一个概貌。
Riemann是对现代数学影响最大的数学家之一（之一甚至可以去掉），其中就包括对代数几何的深刻影响，Dieudonne\’甚至称Riemann这个时期的函数论研究是整个代数几何历史中最重要的一步，Riemann是通过研究Abel函数论涉足代数几何的。他在研究复变函数时，提出了 Riemann Surface的概念 ，把Abel函数论和Riemann Surface的工作综合起来，Riemann把代数曲线作为Riemann Surface上的函数论来研究，并且引进第一个birational maps 的不变量——Genus，只有在代数几何里才有 birational equivalence，这就使得代数几何比微分几何或者拓扑更加的rigid 从而开辟了代数几何的新篇章。通过genus，Riemann 有提出了Moduli的概念，现在这个东西可是大热门，并且和他的学生Roch得出了代数几何学中的一条中心定理——Riemann-Roch定理，此定理是说：设X为亏格g的曲线，D为X上的除子则有：L（D）—L（D—K）=degD+1—g，K是一典则除子，以后对此定理的每一次推广都是代数几何中的一大进步，非常深刻的Atiyah-Singer指标定理是推广Riemann-Roch定理的颠峰，Atiyah-Singer指标定理横跨代数几何，拓扑，分析，偏微分方程，多复变等好几个核心数学领域，并且在物理学中Yang-Mills场论中得到了重要的应用，但是，指标定理的根基还是在代数几何里面。
1866年，Riemann因病去世，此时他才40岁，以Riemann的成绩来观之，足可见Riemann是何等的伟大！斯人已逝，数学上一个辉煌的时代也随之结束了。Riemann的成就被后来各种流派所继承，而作出比较重要的工作的是克勒布什（Clebsch），而他的学生 M.Noether（就是那个伟大的E。Noether的父亲）则用代数几何的观点来看待Riemann Surface，几何化的思想和强烈，而几乎同时，Dedkind和Weber开辟了以理想为基础代数方向，Kronecker则开辟了以除子为基础的算术方向。这三个方向最后在Grothendieck那里会聚在一起，构成一个大一统的气势恢弘的抽象代数几何体系。
从19世纪80年代末起，意大利的代数几何学派继承了M。Noether的几何思想，开始了代数曲面的研究，学派的主要代表人物是Castelnuovo，Enriques和Severi，他们主要是进行代数曲面的分类工作，与此同时法国数学家如Poincar和Picard却在用超越的方法研究代数曲面。承前可以看出，Riemann 以后的人都是在尽力继承和推广Riemann 的工作，可以说Riemann 的主要思想是所有人的基础，而Riemann光于曲面的最重要的思想都与复分析油光，所以，古典代数几何的一个大框架还是三维复射影空间CPn中的代数曲线和曲面。
随着数学的发展，人们对高维空间的需要越来越明显，所以，代数几何中对高维代数簇的研究已不可避免，而且意大利几何学派的代数几何不够严密，急需牢靠的理论基础来支撑其只管的思想，意大利几何学派在分类代数曲面上已经走到了尽头，而在同时期，数学的另外一个分之，代数数论却涌现出了许多新的思想，出现迅猛发展的势态。（经典）代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的代数和算术性质的，而高维代数簇是基本域K上代数方程组的解，比如一维代数簇就是K上的代数曲线，考虑代数簇上的整数点，这就成了数论问题，又根据德国F。Klein的Erlanger 纲领，几何学是研究某些数学对象在某个群作用不变量的理论，如果要寻找代数几何中的作用群的话，那么就代数簇之间的双有理变化群，所以，代数几何学的抽象化已经成了它继续向前发展的巨大动力和迫切需要。对其抽象化的工具也正在夜以继日的被锻造，抽象代数学之母E。Noether及其学派发展了一整套强大的抽象工具，E。Noether的学生Van。Der。Waerden首先把抽象代数学引进代数几何里，接下来的一位重要人物是Zariski，他先是从师于意大利代数几何学派的Castelnuovo，但是对此学派工作的不严密性耿耿于怀，从而促使他立意改造古典的代数几何，先是在Lefchetz的影响下用拓扑工具处理代数几何问题，但成效不大，后来了解到E。Noether及其学派的工作，大为振奋，遂集中精力运用代数方法重新改写古典的代数几何，《代数曲面》一书的完成标志着代数几何的抽象化真正开始了，也标志着代数几何研究进入了Zariski时代，从这时起，代数几何里开始人才辈出，并且法国的Bourbaki学派在以后代数几何学发展的光辉岁月里扮演了一个主要角色，Bourbaki学派的主要代表人物之一Weil用更加抽象的观点写了一部《代数几何基础》，Weil的本意是想用有限域上的代数几何学来解决代数数论的问题，却不料搞出了个Weil猜想（不是Deligne证明的那个Weil conjecture），为了证明这个猜想就特意写了这部抽象的书，从此，代数几何又进入了Bourbaki时代。后来Serre评价那部书时说：这本三百页的巨著很难懂，而在20年后又被Grothendieck的更加难懂的《代数几何原理》所代替“这个《代数几何原理》就是江湖上传说的EGA。 Weil在书中充分使用了E。Noether及其学派发展的交换代数理论和语言，提出了代数几何里的一些重要概念，是代数几何学发展中的一个里程碑。
所幸的是，书写出来后，先前那个猜想也被Weil证明了，这个事件意义重大预示了以后的Bourbaki精神为了抽象而抽象，而是有着具体的问题背景的，以此为出发点的抽象才是有意义的抽象，才有成效性，才能用来解决更加困难的问题。代数几何沿着Weil的道路进行着它的抽象化征程，其间，Kodaira用调和积分理论将Riemann-Roch定理由曲线推广到曲面，德国数学家Hirzebruch不久又用sheaf的语言和拓扑成果把它推广到高维复流形上，J-P.Serre在sheaf的基础上定义了一般的代数簇，使得代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间，从而在代数几何里引入了日后起重要作用的上同调理论，不过，Serre在代数几何里最重要的贡献，我觉得是吸引Grothendick到代数几何里来。自从Grothendick介入代数几何后，代数几何的面貌完全改观，尽管在代数几何里王者辈出，但是，大家心目中的教皇只有一个，那就是伟大的Grothendick。 Grothendick是法国数学家，Bourbaki成员，1928年生于德国柏林，由于第二次世界大战，致使他没有受到正规的大学阶段的数学训练。 1953年以前主要致力于泛函分析，创造了核空间，拓扑张量积等概念，这些概念现在在泛函分析里十分基本和重要，一系列深刻的泛函分析工作就足以使他跻身于数学界的巨人行列，但是，他的影响更为深远的工作是后来在代数几何上划时代的贡献，代数几何学经过Van。Der。Waerden，Zariski， Weil和Serre等人的推广，代数簇已经完全抽象化了，但是，代数簇最彻底的推广则是Grothendick在20世纪50年代末做出的，这就是他的抽象概型理论和强有力的上同调理论。仿射概型（Affine Schemes）是一个局部戴环空间（X，Ox），而且它同构于（作为局部戴环空间）某个环的谱。概型是局部戴环空间，在它中每点有一个开邻域U使得拓扑空间U和限制层Ox|U是一个Affine Schemes，X叫做概型（X，Ox）的承载拓扑空间，Ox叫做它的结构层。例如，若K是域，Spec K则是一个Affine Schemes，它的拓扑空间由一点组成，它的结构层由域K组成。Grothendick为了给它的这座大厦打下坚实的基础，和他的老师 Dieudonne合作写了一部四卷本的巨著，总共有7本书，这就是前面Serre提到过的”更加难懂的《代数几何原理》“，(《Ele\’ments de Ge\’ome\’trie Alge\’brique 》简称EGA，道上的朋友只要听到EGA，就知道你要说什么了)，这是世界上概型和上同调最权威的参考文献，Dieudonne评价说：” Clearly, the theory of schemes includes ,by definition, all of commutative algebra as well as all of the theory of the varieties of Serre。“Scheme把代数几何和代数数域的算术统一到一个共同的语言之下，使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中的大量概念和思想以及技巧。
开始的时候，人们对Grothendick这套庞大的抽象体系究竟有什么用感到非常的茫然，但是，在Deligne使用Grothendick的理论证明了高维Weil猜想后（这是Weil的另外一个猜想，是有限域上高维代数簇的Riemann猜想的模拟），情形就发生了剧烈的变化，到了70年代末，这套概型语言和上同调机制已经被许多同行所熟悉和掌握，并已成为研究现代代数几何学与数论（主要是指算术几何）的通用语言和基本工具。1983年 Faltings证明Mordell猜想也使用了这套机制，由此可见Grothendick所建立的这套概型理论是多么的重要。1973年Deligne 证明的高维Weil猜想是特征P（有限域上）的算术几何的巨大进步，10年后Faltings所证明的Modell猜想则是特征0（整体域上）的算术几何的巨大突破，这里又一次说明了能解决具体问题的抽象才是好的抽象，才是有意义的，为抽象而抽象的工作最终将被人们遗弃。Grothendick的另一个目标是致力于发展各种上同调理论，如L—adic上同调和etale上同调，以致最后他走向了”终极上同调不变量“，即动机理论（motive theory），使得所有其他的上同调理论都是它的一种表示或者化身（即它的具体化），这个理论随着1970年 Grothendick的”金盆洗手“，也成了一个美丽的Grothendick之梦。不过，已经由它产生了大量好的数学，如1970年Deligne和 R.Langlands猜想motives和自守表示之间的精确关系，A.Wiles的FLT的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维 motievs的特殊情况，这个猜想使得motives和现在著名的Langlands纲领联系起来了，而且2002年菲奖得主Voevodsky的工作也与motives油光，Grothendick的梦想或许有一天又会成为一个伟大的理论。
Grothendick在代数几何学方面的贡献大致可分为10 个部分：1连续与离散的对偶性；2，Riemann-Roch-Grothendick理论（主要是K理论与相交理论的关系）；3，Scheme theory；4，拓扑斯（Topis theory）；5，L—adic上同调和etale上同调；6，motives与motives的Galois Group（包括Grothendick的圈范畴），7，晶体与晶状上同调，de Rahm系数，Hodge系数理论；8新的同伦代数，Topis的上同调；9，稳和拓扑；10，非交换的代数几何学，加罗瓦—泰什缪勒理论。这些思想被总结在EGA，SGA和FGA以及其他大量的手稿中，EGA和SGA现在已经成为代数几何中的圣经了，EGA，SGA和FGA加起来大约有7500页。 Grothendick的博大精深的理论还远远没有弄清楚，但是却已经产生了非常深刻的数学成果。代数几何学与其他许多学科都有着密切的联系，如拓扑学，微分几何，复几何，分析，代数，数论等，并且在现代理论物理中也有重要的应用，被Atiyah称为 21世纪的三大数学理论的算术几何更是与代数几何息息相关，抽象代数几何学必将在21世纪得到更进一步的发展，继续成为21世纪的主流数学领域。我国研究代数几何的人比较少，水平也比较低。代数几何学的震撼人心的魅力将会吸引一批有天才的人，去投身21世纪的数学辉煌时代的缔造工作！
下面是我搜集到的一点资料，供参考，如不充实请见谅。
1.对数形结合贡献最大的就是笛卡儿。他最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。
解析几何的诞生
文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学。利学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法”。
在《几何学》卷一中，他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。
笛卡儿把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。
在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用(x,y)惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。
《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学阶段。
在卷三中，笛卡儿指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡儿符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数(他称为假根)等于符号不变的次数。笛卡儿还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。
正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”
2.朱世杰的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。
通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。
3.中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果．华罗庚同志是当代自学成才的科学巨匠，是萤声中外的数学家。他是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论等很多方面研究的创始人与开拓者。他的著名学术论文《典型域上的多元复变数函数论》，由于应用了前人没有用过的方法，在数学领域内做了开拓性的工作，于一九五七年荣获我国科学一等奖。他的研究成果被国际数学界命名为“华氏定理”、“布劳威尔--加当--华定理”、“华--王(元)方法”。
◆数学方面
笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。
三、解析几何的诞生
文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学。利学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法”。
在《几何学》卷一中，他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。
笛卡儿把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。
在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用(x,y)惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。
《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学阶段。
在卷三中，笛卡儿指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡儿符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数(他称为假根)等于符号不变的次数。笛卡儿还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。
正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”
四、笛卡儿对后世的影响及对其的评价
笛卡儿在哲学上是二元论者，并把上帝看作造物主。但笛卡儿在自然科学范围内却是一个机械论者，这在当时是有进步意义的。
笛卡儿是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。
笛卡儿的方法论对于后来物理学的发展有重要的影响。他在古代演绎方法的基础上创立了一种以数学为基础的演绎法：以唯理论为根据，从自明的直观公理出发，运用数学的逻辑演绎，推出结论。这种方法和培根所提倡的实验归纳法结合起来,经过惠更斯和牛顿等人的综合运用，成为物理学特别是理论物理学的重要方法。作为他的普遍方法的一个最成功的例子，是笛卡儿运用代数的方法的来解决几何问题，确立了坐标几何学即解析几何学的基础。
笛卡儿的方法论中还有两点值得注意。第一，他善于运用直观“模型”来说明物理现象。例如利用“网球”模型说明光的折射；用“盲人的手杖”来形象地比喻光信息沿物质作瞬时传输；用盛水的玻璃球来模拟并成功地解释了虹霓现象等。第二，他提倡运用假设和假说的方法，如宇宙结构论中的旋涡说。此外他还提出“普遍怀疑”原则。这一原则在当时的历史条件下对于反对教会统治、反对崇尚权威、提倡理性、提倡科学起过很大作用 。
笛卡儿堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
章章治必： 笛卡尔,笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学.在笛卡儿时代,代数还是一个比较新的学科,几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位.笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究,于1637年,在创立了坐标系后,成功地...
城步苗族自治县15330227552： 代数几何讲什么的,谁来介绍一下历史发展 - ？
章章治必： 用代数的方法研究几何的思想,在继出现解析几何之后,又发展为几何学的另一个分支,这就是代数几何.代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面. 代数几何学的兴起,主要是源于求解一般的多项式方程组,开展...
城步苗族自治县15330227552： 解析几何的创始人是谁?？
章章治必： 法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔(1596—1650),他的著作,无论是数学、自然科学,还是哲学,都开创了这些学科的崭新时代.《几何学》是他公开发表的唯一数学著作,虽则只有117页,但它标志着代数与几何的第一次完美结合,...
城步苗族自治县15330227552： 中外几何发展史 - ？
章章治必： 中国几何发展史 自明朝后期(十六世纪)欧几里得＂几何原本＂中文译本一部分出版之前,中国的几何早已在独立发展着.应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就,其中蕴藏了丰富的几何知识.中国的几何有悠久的历史...
城步苗族自治县15330227552： 数学家诺特的主要事迹 - ？
章章治必：[答案] 诺特的数学思想直接影响了30年代以后代数学乃至代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展.她的早期工作主要研究代数不变式及微分不变式.1920~1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”.1916年后,她接触R.戴德金等人的工作,开始由古典代...
城步苗族自治县15330227552： 代数之父是谁? - ？
章章治必： 数之父-丢番图 丢番图对於丢番图的生平事迹,人们知道得很少.但在一本《希腊诗文选》[The Greek anthology]【这是公元500年前后的遗物,大部份为语法学家梅特罗多勒斯[Metrodorus]所辑,其中有46首和代数问题有关的短诗[epigram].亚...
城步苗族自治县15330227552： 数学家亨利·庞加莱 - ？
章章治必： 亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)是法国数学家,1854年4月29日生于南锡,1912年7月17日卒于巴黎.庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域.他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家,是对于数学...
城步苗族自治县15330227552： 古希腊人是如何发明了几何学? - ？
章章治必： 四千年前,埃及的尼罗河每年洪水泛滥,总是把两岸的土地淹没,水退后,使土地的界线不分明.当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界,每年总要进行土地测量,因此,积累了许多测量土地方面的知识.从而产生了几何学...
