利用常数变易法求方程y'-by=ax的通解

高等数学 用常数变易法求通解 求详细过程~

先解齐次方程 dy/dx = 2y/(x+1)， 分离变量得 dy/y = 2dx/(x+1)
则 lny = 2ln(x+1)+lnC, y = C(x+1)^2.
非齐次方程的解可设为 y = C(x)(x+1)^2
代入非齐次方程得 C'(x)(x+1)^2 + 2C(x)(x+1) - 2C(x)(x+1) = (x+1)^(5/2)
即 C'(x) = (x+1)^(1/2), C(x) = (2/3)(x+1)^(3/2) + C1
于是非齐次方程的通解是 y = (x+1)^2[(2/3)(x+1)^(3/2) + C1]

解：∵(y^2-6x)dy/dx+2y=0
∴2ydx/dy=6x-y^2.........(1)
∵方程(1)齐次方程是2ydx/dy=6x
==>dx/x=3dy/y
==>ln│x│=3ln│y│+ln│C│ (C是常数)
==>x=Cy^3
∴齐次方程2ydx/dy=6x的通解是x=Cy^3
于是，根据常数变易法，设方程(1)的解为x=C(y)y^3 (C(y)是关于y的函数)
代入方程(1)，化简得
2C‘(y)y^4=-y^2
==>C‘(y)=-1/(2y^2)
==>C(y)=C-1/(2y) (C是常数)
==>x=Cy^3-y^2/2
即方程(1)的通解是x=Cy^3-y^2/2
故原方程的通解是x=Cy^3-y^2/2。

解：（常数变易法）
（1）当b=0时，显然方程y'-by=ax的通解是y=ax^2/2+C (C是常数)；
（2）当b≠0时，
∵齐次方程y'-by=0的通解是 y=Ce^(bx) (C是常数)
∴设方程y'-by=ax的解为 y=C(x)e^(bx) (C(x)是关于x的函数)
则 y‘=C'(x)e^(bx)+bC(x)e^(bx)，代入y'-by=ax化简得
C'(x)e^(bx)=ax
==>C'(x)=axe^(-bx)
==>C(x)=a∫xe^(-bx)dx=C+a(1-bx)e^(-bx)/b^2 (C是常数)
==>y=C(x)e^(bx)=Ce^(bx)+a(1-bx)/b^2
故方程y'-by=ax的通解是y=Ce^(bx)+a(1-bx)/b^2。

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九原区19294015223： 用常数变易法求微分方程y' - y=ex的通解? - ？
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九原区19294015223： 求 微分方程y'+2y=3x的通解 用常数变易法 - ？
政典舒胆：[答案] 取对应齐次方程 y'+2y=0 得解 y=Ae^(-2x) 常数变易 y=A(x)e^(-2x) 代入原式 A'(x)e^(-2x)-2A(x)e^(-2x)+2A(x)e^(-2x)=3x 化简 A'(x)=3xe^(2x) 积分 A(x)=3 e^(2 x) (-1/4 + x/2)+C 代入 y=[ 3 e^(2 x) (-1/4 + x/2) +C ] e^(-2x) =Ce^(-2x)+ 3x/2-3/4

九原区19294015223： 什么是一阶线性微分方程?并写出 ？
政典舒胆： 一、一阶线性微分方程的定义 定义:形如 的方程,称为一阶线性微分方程,其中p,q均为X 的连续函数. 注: 1.之所以称为线性,是指未知函数y及其导数y′都是一次的....

九原区19294015223： 高等数学.常数变易法求常系数非齐次线性微分方程的解 - ？
政典舒胆： y''+y=e^x+cosx,① y''+y=0的通解是y=c1cosx+c2sinx, y=(1/2)e^x+(1/2)xsinx是①的特解, ∴y=c1cosx+c2sinx+(1/2)(e^x+xsinx)是①的通解.

九原区19294015223： 请教一下常数变易法在求一阶线性微分方程时,怎么使用常数变易法?一 ？
政典舒胆： 你的方程不对,应该是dy/dx+P(x)y=Q(x)(1).这是一个一阶线性微分方程.当Q(x)不等于零时,它是非齐次的;当Q(x)=0时,它是齐次的.而且Q(x)=0时,这是一个变量可分离方程,即dy/y=-P(x)dx,两边分别积分,可以得到齐次微分方程的解y=c*exp(-Sp(x)dx)(2)(其中,S为积分符号).而后把解中的常数c换成变量u(x),将y=u(x)*exp(-Sp(x)dx)代入方程(1),最后解出u(x)具体的表达式即可.所谓“常数变易法”,我的理解就是把解(2)中的常数c换做变量u(x),“易”在古文中就是“换,交换”的意思.这是我的理解,希望可以帮到你.

九原区19294015223： 线性微分方程组中,假设求出了通解,用常数变易法求特解的本质是什么?为什么这样有效. - ？
政典舒胆： 若是Y关于t的函数,从其数学本质上讲是利用解的叠加原理,通过把系数矩阵设成一个关于t的变量矩阵,寻求一个满足初始条件的t来求得通解的系数矩阵. 从线性代数的角度讲可以直观的理解:通解的求解过程其实质是求得了一组不带初始条件的基底,这个基底下的所有向量组都是原方程的解,如果把解比喻成坐标系的话,我们的通解就得到了这个坐标系的坐标轴,任取任意的坐标得到的值都是原方程的解,但是如果加一个初始条件,我们就能确定出来一组确切的坐标求得同时满足这个初始条件和方程组的解,常数变易法就是这个求解坐标的过程,我们设坐标也是关于t的某种方程形式,一步一步带回初始条件与原方程确定出来这个方程中的t求得坐标,坐标乘回坐标轴就得到了特解.

九原区19294015223： 求微分方程的通解:yycosx=e^ - sinx一阶微分方程 ？
政典舒胆： 这题是一阶线性微分方程,用常数变易法求解: 对应的线性齐次微分方程:y'+ycosx=0,用分离变量法求出其通解:y=ce^(-sinx) 用常数变易法,代入原方程,得到:c'=1,从而得:c(x)=x+c 所以原方程的通解为:y=(x+c)e^(-sinx).

九原区19294015223： xy'+y=sin x 如何用常数变异法求微分方程? - ？
政典舒胆： y'+1/x*y=sinx/x…① 方程①中等式的右边不是常见的形式,所以用常数变易法求 方程①对应的齐次方程为y'+1/x*y=0,它的通解为y=C/x 『 dy/dx=-1/x*y ∫dy/y=∫-dx/x lny=-lnx+C1 y=C/x(C=e^C1) 』 设方程①的特解形式为y*=(Acosx+Bsinx)/x y*'=[(...

九原区19294015223： 常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程 - ？
政典舒胆： 去百度文库,查看完整内容>内容来自用户:suyanteng欲得到非齐次线性微分方程的通解,我们首先求出对应的齐次方程的通解,然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解,把它们相加,就是非齐次方程的通解. 同济...