勾股定理的历史和应用
在国外,尤其在西方,勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理.这是由于,他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580-公元前500).
实际上,在更早期的人类活动中,人们就已经认识到这一定理的某些特例.除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外,据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角.但是,这一传说引起过许多数学史家的怀疑.比如,美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出:“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理.我们知道他们有拉绳人(测量员),但所传他们在绳上打结,把全长分成长度为3、4、5的三段,然后用来形成直角三角形之说,则从未在任何文件上得到证实.”不过,考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书,据专家们考证,其中一块上面刻有如下问题:“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,请问其下端离开墙角有多远?”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子;专家们还发现,在另一块版板上面刻着一个奇特的数表,表中共刻有四列十五行数字,这是一个勾股数表:最右边一列为从1到15的序号,而左边三列则分别是股、勾、弦的数值,一共记载着15组勾股数.这说明,勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库.
无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理,我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质,显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富.值得一提的是:在发现这一共同性质后的收获却是不完全相同的.下面以“毕达哥拉斯定理”和“勾股定理”为例,做一简单介绍:
一、毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯是一个古希腊人的名字.生于公元前6世纪的毕达哥拉斯,早年曾游历埃及、巴比伦(另一种说法是到过印度)等地,后来移居意大利半岛南部的克罗托内,并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体毕达哥拉斯学派,这个学派非常重视数学,企图用数来解释一切.他们宣称,数是宇宙万物的本原,研究数学的目的并不在于实用,而是为了探索自然的奥秘.他们对数学看法的一个重大贡献是有意识地承认并强调:数学上的东西如数和图形是思维的抽象,同实际事物或实际形象是截然不同的.有些原始文明社会中的人(如埃及人和巴比伦人)也知道把数脱离实物来思考,但他们对这种思考的抽象性质所达到的自觉认识程度,与毕达哥拉斯学派相比,是有相当差距的.而且在希腊人之前,几何思想是离不开实物的.例如,埃及人认为,直线就是拉紧的绳或田地的一条边;而矩形则是田地的边界.毕达哥拉斯学派还有一个特点,就是将算术和几何紧密联系起来.
正因为如此,毕达哥拉斯学派在他们的探索中,发现了既属于算术又属于几何的用三个整数表示直角三角形边长的公式:若2n+1,2n2+2n分别是两直角边,则斜边是2n2+2n+1(不过这法则并不能把所有的整勾股数组表示出来).也正是由于上述原因,这个学派通过对整勾股数的寻找和研究,发现了所谓的“不可通约量”例如,等腰直角三角形斜边与一直角边之比即正方形对角线与其一边之比不能用整数之比表达.为此,他们把那些能用整数之比表达的比称做“可公度比”,意即相比两量可用公共度量单位量尽,而把不能这样表达的比称做“不可公度比”.像我们今日写成:1的比便是不可公度比.至于与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的.这个证明指出:若设等腰直角三角形斜边能与一直角边公度,那么,同一个数将既是奇数又是偶数.证明过程如下:设等腰直角三角形斜边与一直角边之比为:,并设这个比已表达成最小整数之比.根据毕达哥拉斯定理2=2+2,有2=22.由于22为偶数即x2为偶数,所以必然也是偶数,因为任一奇数的平方必是奇数(任一奇数可表示为2n+1,于是(2n+1)2=4n2+4n+1,这仍是一个奇数.但是比:是既约的,因此,必然不是偶数而是奇数,既然是偶数,故可设=2.于是2=42=22.因此,2=22,这样,2是个偶数,于是也是偶数,但是同时又是个奇数,这就产生了矛盾.
关于对毕达哥拉斯定理的证明,现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得(公元前300年左右)所著的《几何原本》第一卷中的命题47:“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”.实际上,毕达哥拉斯学派关心得更多的是数学问题本身的研究;以毕达哥拉斯学派为代表的古希腊数学是以空间形式为主要研究对象,以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式.而毕达哥拉斯定理的发现(关于可公度比与不可公度比的研究、讨论),实际上导致了无理数的发现,尽管毕达哥拉斯学派不愿意接受这样的数,并因此造成了数学史上所谓的第一次数学危机,但是毕达哥拉斯学派的探索仍然是功不可没的.
二、我国的勾股定理
在我国,至今可查的有关勾股定理的最早记载,是大约公元前1世纪前后成书的《周髀算经》,其中有一段公元前1千多年前的对话:“昔者周公问于商高曰:窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度,夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度.请问数安从出?商高曰:数之法,出于圆方.圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一.故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五.”
《周髀算经》中还有“陈子测日”的记载:根据勾股定理,周子可以测出日高及日远.例如,当求得了日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后,计算日远的方法是:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股自乘,并开方而除之,得邪至日者.”
《周髀算经》是我国流传至今的一部最早的数学著作.书中主要讲述了学习数学的方法以及用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等.在唐代,《周髀算经》与其他九部陆续出现在我国汉唐两代千余年间的数学著作一起,被国子监算学馆定为课本,后世通称这十本书为《算经十书》.《算经十书》较全面地反映了自先秦至唐初我国的数学成就.其中许多书中都涉及到了勾股定理的内容,尤其《九章算术》(《算经十书》之一)第九章“勾股”专门讲解有关直角三角形的理论,所讨论的主要内容就是勾股定理及其应用.该章共有设问24题,提出22术.其中第6题是有名的“引葭赴岸”:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.”这是一个流传甚广的题目,类似题目一再在其他书中出现,例如成书于5世纪中叶的《张邱建算经》(《算经十书》之一)、朱世杰所著的《四元玉鉴》(1303年)等.
我们的先辈们还根据勾股定理发明了一种由互相垂直的勾尺和股尺构成的测量工具矩.如,《周髀算经》中记载了商高对用矩之道的论述:“平矩以正绳,偃矩以望高,复矩以测深,卧矩以知远.”又如,我国魏晋间杰出的数学家刘徽在他的名著《海岛算经》(《算经十书》之一)中共列出了9个有代表性的可用矩解决的测望问题,其中第4个问题是:“今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺,从勾端望谷底,入下股九尺一寸,又设重矩于上,其矩间相去三丈,更从勾端望谷底,入上股八尺五寸,问谷深几何.”
我国最早的关于勾股定理的证明,目前人们认为是汉代赵爽对《周髀算经》的注释.
我国古代的数学与古希腊的数学不大一样.实际上,我国数学的主要研究对象不是空间形式,而是数量关系;其理论形式不是逻辑演绎体系,而是以题解为中心的算法体系.与古希腊数学采取层层论证的思维方式不同,我国古代数学家的思维方式是以直觉思维为主,又以类比为发现和推论结果的主要手段.
对于勾股定理,我国古代的数学家没有把主要精力放在仅仅给出严格的逻辑推理证明上,也没有在不可通约量究竟是什么性质的数上面做文章,而是立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究.通过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性质定理有关的命题,他们推出了一种组合比率算法勾股术.勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念,把相似直角三角形的性质作为基本性质,使相似直角三角形之间的相似比率构成了勾股的核心.勾股术用比率表达相似勾股对应边成比例的原理,勾股整数和勾股两容(容圆、容方)问题的求解;建立了勾股测量的理论基础.后来,刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论,并明确提出了“不失本率原理”,又把这个原理与比例算法结合起来,去论证各种各样的勾股测量原理,从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础.
有的专家还提出:勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位,千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学.
商高定理
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.
关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
毕达哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
在国外,相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”,埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。
赵爽与勾股定理
赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。事实上,“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说:“在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”
伽菲尔德与勾股定理
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
应用就是求题,直角三角形知道2长边求第3边长
一、商高定理:
勾股定理在中国最早是由名叫商高的人发现的,所以在中国,最早也称为商 高定理商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时 期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同 周公的一段对话。商高说: “…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。 ”商高那段话 的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为 3(短边)和 4(长边)时, 径隅(就是弦)则为 5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五” 。 这就是著名的勾股定理.
勾股定律的来历,历史及相关资料
在中国清朝末年,数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。2、远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,...
勾股定理历史背景,中国古代与国际上的有关资料
1、公元前十一世纪,周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。2、公元三世纪,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年,数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。二、外国:1、远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应...
勾股定理历史背景,中国古代与国际上的有关资料
在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重...
勾股定理的历史
随着时间的推移,勾股定理逐渐被广泛传播并在数学领域得到应用。在中国,勾股定理早在西汉时期就有了记载,被称为“勾三股四弦五”。而在欧洲,它的传播则起源于希腊,并在文艺复兴时期得到进一步发展。勾股定理作为数学中的重要定理,经历了古代巴比伦和印度对类似概念的探索,毕达哥拉斯的系统化表述以及...
我国古代对勾股定理的认识和应用比西方早多少年?
一、勾股定理的探索之旅勾股定理,就像一把数学的钥匙,它揭示了直角三角形的秘密。在实际运用中,无论是直角三角形的边长计算,还是余弦定理的基础,它都发挥着关键作用。这个定理的精髓在于直角三角形的两个直角边(勾a和股b)平方和等于斜边(弦c)的平方,即 + = 。二、古人的智慧结晶 中国历史...
勾股定理的历史以及应用???
商高定理 商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长...
勾股定理历史背景
1、在公元前1000多年,商高答周公曰:”故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。“因此,勾股定理在中国又称”商高定理“;2、在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日...
勾股定理背景历史和证明方法(多多益善)
""此数"指的是"勾三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。毕达哥拉斯定理 Pythagoras’ theorem 在国外,相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”,埃及称它...
勾股定理的由来、性质及另一个名字
其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(3^2+4^2=5^2)。
勾股定理的历史和应用
一、商高定理:勾股定理在中国最早是由名叫商高的人发现的,所以在中国,最早也称为商 高定理商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时 期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同 周公的一段对话。商高说: “…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。 ”商高...
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宝塔区18014086927: 勾股定理的历史 - ?
骑菊盐酸:[答案] 勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究,希腊著名数学家毕达哥拉斯(前...
宝塔区18014086927: 勾股定理实际意义与作用 - ?
骑菊盐酸:[答案] 勾股定理应用非常广泛.我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载:"禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也."这段话的意思是说:大禹为了治理洪水,使不决...
宝塔区18014086927: 勾股定理在生活中的应用 - ?
骑菊盐酸:[答案] 勾股定理源于生活,贴近现实.它不但揭示了直角三角形三边之间的数量关系,把数与形结合起来,而且可以解决许多与实际生活紧密联系的问题.现举例说明.一、测量问题例1老师要求同学们测量学校旗杆的高度.小明发现旗杆顶端的绳子垂到地面后...
宝塔区18014086927: 现实生活中勾股定理的应用? - ?
骑菊盐酸:[答案] 勾股定理在数学的发展中起着重要的作用,它可以解决许多日常生活中的应用问题,在现实世界中有着广泛的应用.通过以下几个实例说明勾股定理就在我们的身边,数学与实际生活是紧密相连,融于一体的.例1 (2006年甘肃定西)一架长5米的梯子 ,...
宝塔区18014086927: 勾股定理有什么用处 - ?
骑菊盐酸:[答案] 生活中的普通人除了考试,勾股定理的用处几乎没有. 不过工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造,就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时,多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应...
宝塔区18014086927: 勾股定理在生活中的应用请大家讲讲勾股定理在实际生活中的应用,越多越好,甚至古人用勾股定理有什么应用都可以说,绝对用分重谢! - ?
骑菊盐酸:[答案] 勾股定理. 生活中的普通人除了考试,勾股定理的用处几乎没有. 不过工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造,就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时,多数可以用勾股定理 物理上也...
宝塔区18014086927: 勾股定理的生活应用字越多越好 - ?
骑菊盐酸:[答案] 工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造,就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时,多数可以用勾股定理 物理上也有广泛应用,例如求几个力,或者物体的合速度,运动方向…… 古...
宝塔区18014086927: 勾股定理的发现和发展史 - ?
骑菊盐酸: 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话: 周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数...
宝塔区18014086927: 关于勾股定理的由来,验证,应用.以及有什么重要作用...~? - ?
骑菊盐酸: 三角学里有一个很重要的定理,我国称它为勾股定理,又叫商高定理.因为《周髀算经》提到,商高说过"勾三股四弦五"的话. 实际上,它是我国古代劳动人民通过长期测量经验发现的.他们发现:当直角三角形短的直角边(勾)是3,长...