求解大学线性代数证明题与解答题

求大学线性代数试卷，大一的（有答案详解）~

武汉理工大学考试试题纸（A卷）
课程名称 线 性 代 数 专业班级 全校07级本科
题号一二三四五六七八九十总分
题分151532141410100
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、设 ，则 ＝____________。
2、设 ，且 ，则 ＝____________。
3、已知 ， 是三元齐次线性方程组 的两个不同的解，且 ，则该方程
组的通解为____________。
4、已知向量组 ， ， ， ，则
＝____________。
5、设三阶方阵 与对角阵 相似，则 ＝ 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、设 是n维列向量，且 ，则 ＝（ ）。
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D)
2、设 ， ， ，则 ＝（ ）。
(A) 1 (B) 2 (C) 1/2 (D) 4
3、设 是向量空间 的一个基，则下列仍是 的一个基的是（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
4、二次型 是正定二次型，则 应满足（ ）。
(A) (B) (C) (D)
5、设A为 阶方阵， 为 的伴随矩阵，且 ，则 的秩为（ ）。
(A) (B) (C) 1 (D) 0

三、计算题(每小题8分，共32分)
1、已知 是行列式 的元素 的代数余子式，计算 ；
2、设 ， ，求矩阵 ，使其满足 ；
3、设 为n阶方阵，且 ，计算 ；
4、设 ， ， ， ，求： 、 为
何值时， 能由 线性表示，且表示唯一，并求出表示式。
四、(14分) 已知线性方程组

（1）求：a为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解；
（2）在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。
五、（14分） 已知实二次型 ，
（1）写出 的矩阵 ；
（2）求 的秩；
（3）求正交变换 （必须写出正交变换矩阵P），把 化为标准形。
六、证明题（共10分）
1、（6分） 设 是齐次线性方程组 的一个基础解系，证明： ， ， ， 也是该方程组的一个基础解系；
2、（4分） 设 为 阶方阵，且 ， ，证明： 。


武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 （ A 卷）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、 ； 2、 ； 3、k( ),k R； 4、3； 5、 3.
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、C 2、A 3、B 4、D 5 、D
三、解答题（每小题8分，共32分）
1、 ………………………………………………………………（3分）
………………………………………………………………（8分）
2、 由 得 ……………………………………………………………（2分）
因 ～
～ ………………………………………………（6分）
所以 X= ………………………………………………………………（8分）
3、 因 ， ……………………………………………………………（2分）
所以 …………………………………………………………（4分）
= = …………………………………………………………（6分）
= = ………………………………………………………………（8分）
4、记 ，设 . ……………………………………… （2分）
解法一： ～
～ ………………… …………………（4分）
故当 且 时，方程组有唯一解，即 能由 线性表示，且表示式唯一； ………（6分）
此时， ～ ， . ………………… …………………（8分）
解法二： ………………… …………………（2分）
故当 且 时，方程组（1）有唯一解，即 能由 线性表示，且表示式唯一；……（4分）
此时， ～
～ ～ ………… …………………（4分）
………… ……………………………………（8分）

四（14分）、
系数矩阵为 ，增广矩阵为 ，
（1）解法一 B ～ ～ … …………………（4分）
当 且 时， ，方程组有唯一解；
当 时，B ～ ， ，方程组无解；
当 时，B ～ ， ，方程组有无穷多个解。 ………………（7分）
解法二 … ………… … …………………（4分）
当 且 时， , ，方程组有唯一解；
当 时， ～ ， ，方程组无解；
当 时， ～ ， ，方程组有无穷多个解。 … …………… ……………… ………………（7分）
(2) 在方程组有无穷多个解时，得同解方程组 ，取 ，得原方程组一特解 ； ………………………………………………………………（9分）
在 中取 ，得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为 ， ； ………………………………………………（12分）
所以原方程组的通解为 ， 为任意常数。 …………………………………（14分）
注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。
五（14分）、（1） 的矩阵 ； …………………………………………………………………（2分）（2）因 ， ,所以 的秩为2； …………………………………………（3分）
（3）由 ，得A的特征值为 ， 。 ……………（6分）

当 时，解方程 ，由 = ～ ，得基础解系 ；
当 时，解方程 ，由 = ～ ，得基础解系 ；
把 单位化，得 ， …………………………………………（12分）
则有正交阵 和正交变换 ，把 化为标准形
. ………………………………………………………………………（14分）
注：此题基础解系有很多种表示形式，故正交阵 有多种形式，改卷时需注意。
六、证明题
1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知 ， ， ， 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）
则有 , , ,

， 因 所以 K 可逆，
或 ～ ， 所以 K 可逆，从而 .
又因为 是 的一个基础解系，故它们线性无关， ，于是 ，解向量组 线性无关，故是该方程组的一个基础解系。 ………………………………………………（6分）
证法二：由其次线性方程组解的性质知 ， ， ， 都是 的解； ……………………………………………………………（2分）
设 ，则有
，
因为 是 的一个基础解系，它们线性无关，故有

其系数行列式为 , 方程组有唯一零解 ，所以解向量组 线性无关，故是该方程组的一个基础解系。………………………………………………（6分）
2、证法一： 因为 ,所以 ， ……………………………………………………………（1分）
则有 ，
故有 。 ………………………………………………………………………………（4分）
证法二： ，因此
。 ………………………………………………………………………………（3分）
又因为 ，所以有 。 ………………………………………………………………（4分）

由于r(A*)=1，所以A*的各行各列成比例，所以存在两个只有一的列B与C，使得A*=BC^T，记k=(C^T)B，则(A*)^2=B(C^T)B(C^T)=Bk(C^T)=kB(C^T)=kA*。

一.
因为 a1,a2 是AX=0 的解
所以 a1+a2, 2a1-a2 也是 AX=0 的解.
因为 (a1+a2, 2a1-a2) = (a1,a2) K
K =
1 2
1 -1
|K| = -3 ≠ 0
故K可逆
所以 r(a1+a2, 2a1-a2) = r(a1,a2) = 2
所以 a1+a2, 2a1-a2 也是 AX=0 的基础解系.

二. 解: A =
1 -2 2
-2 -2 4
2 4 -2

|A-λE| =
1-λ -2 2
-2 -2-λ 4
2 4 -2-λ
=c2+c3
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
2 2-λ -2-λ
=r3-r2
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
4 0 -6-λ
=(2-λ)*
1-λ 2
4 -6-λ
= -(λ + 7)(λ - 2)^2
A的特征值为 -7, 2, 2

(A+7E)X=0 的基础解系为: a1=(1,2,-2)'
(A-2E)X=0 的正交的基础解系为: a2=(2,-1,0)',a3=(1,2,5/2)' --已正交
单位化得
c1=(1/3,2/3,-2/3)'
c2=(2/√5,-1/√5,0)'
c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'

令T=(c1,c2,c3). 则T是正交矩阵, 满足 T^-1AT = diag(-7,2,2)

证明：（1）新得到的两个向量都是方程组的解：
A（α1+α2）=Aα1+Aα2=0
A（2α1-α2）=2Aα1-Aα2=0
（2）新得到的两个向量线性无关：
设k、m满足
k（α1+α2）+m（2α1-α2）=0
所以（k+2m）α1+（k-m）α2=0
所以k+2m=k-m=0
解得k=m=0

解答：求得特征值为-7、2、2
对应特征向量为（1,2，-2）'、（0,1,1）',(4,1,-1)'

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乌拉特中旗17040571362： 一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A - E)=n - ？
明莎天复：[答案] 这是一个很简单的线代证明了! 因为A^2=A,所以A(A-E)=0 则有: R(A)+R(A-E)小于等于n 又因为(A-E)+(-A)=-E 则有: R(-A)+R(A-E)大于等于n 由于R(-A)=R(A) 所以R(A)+R(A-E)大于等于n 由夹逼定理可知: R(A)+R(A-E)等于n 陈文灯的数学...

乌拉特中旗17040571362： 求解一道线性代数的证明题.如题,设矩阵A与其对角矩阵相似,证明A的逆矩阵与对角矩阵相似. - ？
明莎天复：[答案] 已知矩阵A与其对角矩阵相似 即存在可逆矩阵P,使得P^(-1)*A*P=对角阵B 上式等号两边求逆矩阵,得 (需要知道:乘积的逆等于因子分别求逆后反向相乘) P^(-1)*A^(-1)*P=对角阵B^(-1) 而对角阵B的逆矩阵仍然是对角阵,只不过其逆矩阵是原矩...

乌拉特中旗17040571362： 大学线性代数证明题,设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明 - 1是A的一个特征值设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明 - 1是... - ？
明莎天复：[答案] 因为AAT=E,所以A为正交矩阵,且|A|

乌拉特中旗17040571362： 线性代数证明题 设a为Ax=0的非零解,b为Ax=b(b不等于0)的解,证明a与b线性无关 - ？
明莎天复：[答案] 证明:设r1,r2为任意非零常数. 则由题意可知: A(r1a)=0; A(r2b)=r2B; 所以A(r1a-r2b)=r2B 所以A(r1a-r2b)不可能等于0 如果a,b线性相关,则必然存在r1a-r2b=0,此时A(r1a-r2b)等于0,矛盾. 所以a,b线性无关

乌拉特中旗17040571362： 线性代数证明题证明题:设α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b(b不等于0)的一个特解,证明向量组α1+β,α2+β...,αm+β,β... - ？
明莎天复：[答案] 证明 由于α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,故α1,α2,...αm线性无关,反证法,假设α1+β,α2+β...,αm+β,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,..,km,k使得k1(α1+β)+ k2(α2+β)...+ km (αm+β)+k...

乌拉特中旗17040571362： 线性代数证明题(矩阵的秩)A是n阶实方阵,求证:r(A*A^T)=r(A^T*A)=r(A) - ？
明莎天复：[答案] 一方面, r(A^T*A)=r(A); 由这两方面可得r(A^T*A)=r(A). 同理可得r(A*A^T)=r(A^T)=r(A).

乌拉特中旗17040571362： 线性代数题设A为列满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解 - ？
明莎天复：[答案] A列满秩,所以方程组Ax=0只有零解 若x是方程组Cx=0的解,则ABx=0,所以Bx=0,所以Cx=0的解是Bx=0的解 反之,Bx=0的解也是ABx=0的解,即Cx=0的解 所以,Bx=0与Cx=0同解

乌拉特中旗17040571362： 求证一道线性代数证明题设A是m*n矩阵且行满秩,B是n*(n - m) 且列满秩,且AB=O求证若η是齐次线性方程组AX=0的解,则存在唯一的ζ使Bζ=η - ？
明莎天复：[答案] 由已知,r(A)=m 所以 AX=0 的基础解系含 n-m 个向量. 因为 AB=0 所以B的列向量都是AX=0的解 又因为B列满秩,r(B)=n-m 所以B的列向量构成AX=0的基础解系 所以AX=0的解η可由B的列向量组唯一线性表示 即BX=η有唯一解ζ.

乌拉特中旗17040571362： 几题大学线性代数的计算,证明题1.已知实矩阵A=(aij)3*3满足条件aij=Aij(i,j=1,2,3),其中Aij是aij的代数余子式,且a11≠0,计算行列式A的值.2.设A为n阶非... - ？
明莎天复：[答案] 1.已知实矩阵A=(aij)3*3满足条件aij=Aij(i,j=1,2,3),其中Aij是aij的代数余子式,且a11≠0,计算行列式A的值.由已知得:A^T=A*AA^T=AA*=|A|E|AA^T|=|A|^3|A|^2=|A|^3由a11≠0,|A|≠0,所以|A|=12.设A为n阶非零方阵,A...

乌拉特中旗17040571362： 线性代数证明题设α,β,都是n维非零列向量,A=αβ^T,证明(1)A的特征值为0,0,0...0,β^Tα(2)α是A的属于特征值β^Tα的特征向量(3)A相似于对角矩阵β^Tα... - ？
明莎天复：[答案] 证明:(1)由已知条件A=αβ^T,得到R(A)=1,又因为矩阵的迹等于特征值之和,故第一问得证. (2)A=αβ^T,两边右乘以α,得到Aα=αβ^Tα,β^Tα是一个数,故上式可以写成Aα=β^Tα·α,故第二问得证 (3)根据A可相似对角化的条件,用反证...