求解大学线性代数证明题与解答题
武汉理工大学考试试题纸(A卷)
课程名称 线 性 代 数 专业班级 全校07级本科
题号一二三四五六七八九十总分
题分151532141410100
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设 ,则 =____________。
2、设 ,且 ,则 =____________。
3、已知 , 是三元齐次线性方程组 的两个不同的解,且 ,则该方程
组的通解为____________。
4、已知向量组 , , , ,则
=____________。
5、设三阶方阵 与对角阵 相似,则 = 。
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1、设 是n维列向量,且 ,则 =( )。
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D)
2、设 , , ,则 =( )。
(A) 1 (B) 2 (C) 1/2 (D) 4
3、设 是向量空间 的一个基,则下列仍是 的一个基的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
4、二次型 是正定二次型,则 应满足( )。
(A) (B) (C) (D)
5、设A为 阶方阵, 为 的伴随矩阵,且 ,则 的秩为( )。
(A) (B) (C) 1 (D) 0
三、计算题(每小题8分,共32分)
1、已知 是行列式 的元素 的代数余子式,计算 ;
2、设 , ,求矩阵 ,使其满足 ;
3、设 为n阶方阵,且 ,计算 ;
4、设 , , , ,求: 、 为
何值时, 能由 线性表示,且表示唯一,并求出表示式。
四、(14分) 已知线性方程组
(1)求:a为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多个解;
(2)在方程组有无穷多个解时,用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。
五、(14分) 已知实二次型 ,
(1)写出 的矩阵 ;
(2)求 的秩;
(3)求正交变换 (必须写出正交变换矩阵P),把 化为标准形。
六、证明题(共10分)
1、(6分) 设 是齐次线性方程组 的一个基础解系,证明: , , , 也是该方程组的一个基础解系;
2、(4分) 设 为 阶方阵,且 , ,证明: 。
武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 ( A 卷)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、 ; 2、 ; 3、k( ),k R; 4、3; 5、 3.
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、C 2、A 3、B 4、D 5 、D
三、解答题(每小题8分,共32分)
1、 ………………………………………………………………(3分)
………………………………………………………………(8分)
2、 由 得 ……………………………………………………………(2分)
因 ~
~ ………………………………………………(6分)
所以 X= ………………………………………………………………(8分)
3、 因 , ……………………………………………………………(2分)
所以 …………………………………………………………(4分)
= = …………………………………………………………(6分)
= = ………………………………………………………………(8分)
4、记 ,设 . ……………………………………… (2分)
解法一: ~
~ ………………… …………………(4分)
故当 且 时,方程组有唯一解,即 能由 线性表示,且表示式唯一; ………(6分)
此时, ~ , . ………………… …………………(8分)
解法二: ………………… …………………(2分)
故当 且 时,方程组(1)有唯一解,即 能由 线性表示,且表示式唯一;……(4分)
此时, ~
~ ~ ………… …………………(4分)
………… ……………………………………(8分)
四(14分)、
系数矩阵为 ,增广矩阵为 ,
(1)解法一 B ~ ~ … …………………(4分)
当 且 时, ,方程组有唯一解;
当 时,B ~ , ,方程组无解;
当 时,B ~ , ,方程组有无穷多个解。 ………………(7分)
解法二 … ………… … …………………(4分)
当 且 时, , ,方程组有唯一解;
当 时, ~ , ,方程组无解;
当 时, ~ , ,方程组有无穷多个解。 … …………… ……………… ………………(7分)
(2) 在方程组有无穷多个解时,得同解方程组 ,取 ,得原方程组一特解 ; ………………………………………………………………(9分)
在 中取 ,得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为 , ; ………………………………………………(12分)
所以原方程组的通解为 , 为任意常数。 …………………………………(14分)
注:此题基础解系有很多种表示形式,改卷时需注意。
五(14分)、(1) 的矩阵 ; …………………………………………………………………(2分)(2)因 , ,所以 的秩为2; …………………………………………(3分)
(3)由 ,得A的特征值为 , 。 ……………(6分)
当 时,解方程 ,由 = ~ ,得基础解系 ;
当 时,解方程 ,由 = ~ ,得基础解系 ;
把 单位化,得 , …………………………………………(12分)
则有正交阵 和正交变换 ,把 化为标准形
. ………………………………………………………………………(14分)
注:此题基础解系有很多种表示形式,故正交阵 有多种形式,改卷时需注意。
六、证明题
1、(6分)证法一:由其次线性方程组解的性质知 , , , 都是 的解; ……………………………………………………………(2分)
则有 , , ,
, 因 所以 K 可逆,
或 ~ , 所以 K 可逆,从而 .
又因为 是 的一个基础解系,故它们线性无关, ,于是 ,解向量组 线性无关,故是该方程组的一个基础解系。 ………………………………………………(6分)
证法二:由其次线性方程组解的性质知 , , , 都是 的解; ……………………………………………………………(2分)
设 ,则有
,
因为 是 的一个基础解系,它们线性无关,故有
其系数行列式为 , 方程组有唯一零解 ,所以解向量组 线性无关,故是该方程组的一个基础解系。………………………………………………(6分)
2、证法一: 因为 ,所以 , ……………………………………………………………(1分)
则有 ,
故有 。 ………………………………………………………………………………(4分)
证法二: ,因此
。 ………………………………………………………………………………(3分)
又因为 ,所以有 。 ………………………………………………………………(4分)
由于r(A*)=1,所以A*的各行各列成比例,所以存在两个只有一的列B与C,使得A*=BC^T,记k=(C^T)B,则(A*)^2=B(C^T)B(C^T)=Bk(C^T)=kB(C^T)=kA*。
因为 a1,a2 是AX=0 的解
所以 a1+a2, 2a1-a2 也是 AX=0 的解.
因为 (a1+a2, 2a1-a2) = (a1,a2) K
K =
1 2
1 -1
|K| = -3 ≠ 0
故K可逆
所以 r(a1+a2, 2a1-a2) = r(a1,a2) = 2
所以 a1+a2, 2a1-a2 也是 AX=0 的基础解系.
二. 解: A =
1 -2 2
-2 -2 4
2 4 -2
|A-λE| =
1-λ -2 2
-2 -2-λ 4
2 4 -2-λ
=c2+c3
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
2 2-λ -2-λ
=r3-r2
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
4 0 -6-λ
=(2-λ)*
1-λ 2
4 -6-λ
= -(λ + 7)(λ - 2)^2
A的特征值为 -7, 2, 2
(A+7E)X=0 的基础解系为: a1=(1,2,-2)'
(A-2E)X=0 的正交的基础解系为: a2=(2,-1,0)',a3=(1,2,5/2)' --已正交
单位化得
c1=(1/3,2/3,-2/3)'
c2=(2/√5,-1/√5,0)'
c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'
令T=(c1,c2,c3). 则T是正交矩阵, 满足 T^-1AT = diag(-7,2,2)
证明:(1)新得到的两个向量都是方程组的解:
A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0
A(2α1-α2)=2Aα1-Aα2=0
(2)新得到的两个向量线性无关:
设k、m满足
k(α1+α2)+m(2α1-α2)=0
所以(k+2m)α1+(k-m)α2=0
所以k+2m=k-m=0
解得k=m=0
解答:求得特征值为-7、2、2
对应特征向量为(1,2,-2)'、(0,1,1)',(4,1,-1)'
线性代数,请证明
设R(A)=s,R(B)=t,方程组Ax=0最多有n-s个线性无关的解,方程组Bx=0最多存在n-t个线性无关的解,对于方程组ABx=0(可以看作A(Bx)=0,及Bx=0的解的并集)最多存在n-s+n-t个线性无关的解,所以R(AB)≥n-(n-s+n-t)=s+t-n=R(A)+R(B)-n ...
线性代数行列式证明
按第 n 行展开即得。以4阶行列式为例, |A| = |x -1 0 0| |0 x -1 0| |0 0 x -1| |a4 a3 a2 x+a1| 按第 4 行展开,|A| = (x+a1)|x -1 0| |0 x -1| |0 0 x| - a2 |x ...
大学线性代数 证明基础解系
【证明】1、证明向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1是Ax=0的解 显然是,略。2、证明向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关 显然是,略。3、α1,α2,α3是Ax=0的一个基础解系,解向量个数为n-r(A)=3 那么α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩为3,解向量的个数 等于 n-...
大学线性代数,大神帮忙证明一下,希望有细致的步骤(22、23题)
23题,是线性空间 齐次方程组解出来,得到基础解系(其中有n-1个向量)解空间中,显然有零向量,且任意解向量的线性组合仍是方程组的解(即仍在解空间中)因此构成线性空间
线性代数 证明题 证明同解
1)方程的解就用x表示,假如Ax=0,显然AT(Ax)=0,即x也是ATAx的解。2)假如ATAx=0,那么xT(ATAx)=0,即(xTAT)(Ax)=0,即(Ax)T(Ax)=0,这里用到了一条性质,如果aTa=0,那么a=0,(因为aTa的每个元素都是a的元素的平方)。所以得到Ax=0,即x也是Ax=0的解。证毕。
大学线性代数,证明任意一个M×N矩阵A,总可以经过初等变换变为标准型...
然后在第二列a22,a32,……,am2中选个非零元,不妨设为a22,行变换ai2-a11*(ai2\/a11)(i=1,3,……,m)消元后第2列非零元只有a22,a22可变为1 继续对第j列(j=3,4,……,n)如此操作下去,该矩形A变成了行阶梯型B 对B进行列变换,把除了对角线元素a11,a22,……,akk(k<=min(m,n))...
线性代数证明题,有请高手写出解题过程,我快考试了,谢谢
证明:因为 AA^T=E,所以|A+E| = |A+AA^T|= |A(E+A^T)|= |A||(E+A^T)^T|= |A||E+A| 所以 |A+E|(1-|A|)=0 又因为 |A|<0 所以 1-|A| ≠0 所以 |A+E|=0.
大一高数 线性代数向量,证明下图中的题目,非常感谢?
若P、Q可逆,则R(PAQ)=R(AB)⒉若K为一般矩阵,则用定理:列满秩矩阵不改变相乘矩阵的秩,所以就是求K是否为列满秩矩阵(列满秩矩阵就是秩等于矩阵的列数)所以就求出来B的秩 ③已知A向量组线性无关,则求出秩,则B的秩就求出了,又知道B向量的个数,判断是否线性相关 ...
几题大学线性代数的计算,证明题
1.已知实矩阵A=(aij)3*3满足条件aij=Aij(i,j=1,2,3),其中Aij是aij的代数余子式,且a11≠0,计算行列式A的值。由已知得:A^T=A AA^T=AA*=|A|E |AA^T|=|A|^3 |A|^2=|A|^3 由a11≠0,|A|≠0,所以 |A|=1 2.设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,若A*=AT,...
线性代数问题证明: n维向量组a1.a2…an线性无关的充分必要条件是,任...
a2…an线性无关,a都可由他们线性表示。充分性 若任一n维向量a都可由a1.a2…an线性表示,那么,特别的,n维单位坐标向量组也由他们线性表示。而a1.a2…an必可由n维单位坐标向量组线性表示,故a1.a2…an与n维单位坐标向量组等价,而n维单位坐标向量组线性无关,所以1.a2…an线性无关。
明莎天复:[答案] 这是一个很简单的线代证明了! 因为A^2=A,所以A(A-E)=0 则有: R(A)+R(A-E)小于等于n 又因为(A-E)+(-A)=-E 则有: R(-A)+R(A-E)大于等于n 由于R(-A)=R(A) 所以R(A)+R(A-E)大于等于n 由夹逼定理可知: R(A)+R(A-E)等于n 陈文灯的数学...
乌拉特中旗17040571362: 求解一道线性代数的证明题.如题,设矩阵A与其对角矩阵相似,证明A的逆矩阵与对角矩阵相似. - ?
明莎天复:[答案] 已知矩阵A与其对角矩阵相似 即存在可逆矩阵P,使得P^(-1)*A*P=对角阵B 上式等号两边求逆矩阵,得 (需要知道:乘积的逆等于因子分别求逆后反向相乘) P^(-1)*A^(-1)*P=对角阵B^(-1) 而对角阵B的逆矩阵仍然是对角阵,只不过其逆矩阵是原矩...
乌拉特中旗17040571362: 大学线性代数证明题,设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明 - 1是A的一个特征值设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明 - 1是... - ?
明莎天复:[答案] 因为AAT=E,所以A为正交矩阵,且|A|
乌拉特中旗17040571362: 线性代数证明题 设a为Ax=0的非零解,b为Ax=b(b不等于0)的解,证明a与b线性无关 - ?
明莎天复:[答案] 证明:设r1,r2为任意非零常数. 则由题意可知: A(r1a)=0; A(r2b)=r2B; 所以A(r1a-r2b)=r2B 所以A(r1a-r2b)不可能等于0 如果a,b线性相关,则必然存在r1a-r2b=0,此时A(r1a-r2b)等于0,矛盾. 所以a,b线性无关
乌拉特中旗17040571362: 线性代数证明题证明题:设α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b(b不等于0)的一个特解,证明向量组α1+β,α2+β...,αm+β,β... - ?
明莎天复:[答案] 证明 由于α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,故α1,α2,...αm线性无关,反证法,假设α1+β,α2+β...,αm+β,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,..,km,k使得k1(α1+β)+ k2(α2+β)...+ km (αm+β)+k...
乌拉特中旗17040571362: 线性代数证明题(矩阵的秩)A是n阶实方阵,求证:r(A*A^T)=r(A^T*A)=r(A) - ?
明莎天复:[答案] 一方面, r(A^T*A)=r(A); 由这两方面可得r(A^T*A)=r(A). 同理可得r(A*A^T)=r(A^T)=r(A).
乌拉特中旗17040571362: 线性代数题设A为列满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解 - ?
明莎天复:[答案] A列满秩,所以方程组Ax=0只有零解 若x是方程组Cx=0的解,则ABx=0,所以Bx=0,所以Cx=0的解是Bx=0的解 反之,Bx=0的解也是ABx=0的解,即Cx=0的解 所以,Bx=0与Cx=0同解
乌拉特中旗17040571362: 求证一道线性代数证明题设A是m*n矩阵且行满秩,B是n*(n - m) 且列满秩,且AB=O求证若η是齐次线性方程组AX=0的解,则存在唯一的ζ使Bζ=η - ?
明莎天复:[答案] 由已知,r(A)=m 所以 AX=0 的基础解系含 n-m 个向量. 因为 AB=0 所以B的列向量都是AX=0的解 又因为B列满秩,r(B)=n-m 所以B的列向量构成AX=0的基础解系 所以AX=0的解η可由B的列向量组唯一线性表示 即BX=η有唯一解ζ.
乌拉特中旗17040571362: 几题大学线性代数的计算,证明题1.已知实矩阵A=(aij)3*3满足条件aij=Aij(i,j=1,2,3),其中Aij是aij的代数余子式,且a11≠0,计算行列式A的值.2.设A为n阶非... - ?
明莎天复:[答案] 1.已知实矩阵A=(aij)3*3满足条件aij=Aij(i,j=1,2,3),其中Aij是aij的代数余子式,且a11≠0,计算行列式A的值.由已知得:A^T=A*AA^T=AA*=|A|E|AA^T|=|A|^3|A|^2=|A|^3由a11≠0,|A|≠0,所以|A|=12.设A为n阶非零方阵,A...
乌拉特中旗17040571362: 线性代数证明题设α,β,都是n维非零列向量,A=αβ^T,证明(1)A的特征值为0,0,0...0,β^Tα(2)α是A的属于特征值β^Tα的特征向量(3)A相似于对角矩阵β^Tα... - ?
明莎天复:[答案] 证明:(1)由已知条件A=αβ^T,得到R(A)=1,又因为矩阵的迹等于特征值之和,故第一问得证. (2)A=αβ^T,两边右乘以α,得到Aα=αβ^Tα,β^Tα是一个数,故上式可以写成Aα=β^Tα·α,故第二问得证 (3)根据A可相似对角化的条件,用反证...