1500字数学的历史发展小论文。

1500字数学小论文独一无二的~

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

从历史的角度看，每一个重要的时期，经济、产业或者社会发生根本性变化的时候，数学常常在其中起了十分重要甚至是先导的作用。例如17世纪欧洲文艺复兴时期，产业革命和数学的发展是密切结合在一起的。 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国著名科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自完成了微积分的创立研究工作。“有人说当时的产业革命源于瓦特发明了蒸汽机，但在那一时期，牛顿和莱布尼茨创建和使用微积分，使得人们可以能够更好地处理实际问题。因为，过去的初等数学只能处理常量问题，比如三角形和长方形的面积可以计算，但是曲线形就不行了。
数学起源于数，数起源于数数。在远古时代，人们都用一点、一竖或者一横来记录一，用两点、两竖或者两横来记录二，这样的记录特征孕育了加法。但是当考察到五的时候，人类就未必采用五点、五竖或者五横了。一旦到了十，几乎就没有再用十点、十竖或者十横来表示了。表示五和十的记号的产生是一种飞跃。由形象到抽象是一种质的变化，而且这种抽象导致了加法规律。因此抽象是数学与生俱来的特征，导致了它的深邃和睿智。
著名数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描述。数学与社会生活相互依存，相互融合。数学问题来源于生活，而生活问题又可用数学知识来解决。可以这么说，数学就在我们身边，举目望去，到处都是数、形、大小、长短、位置、分类、加减等数学信息。
比如说，上街买东西要用到加减法乘除法来计算应该付多少钱和找零是多少，另外统计上街花费的时间、所走的路程、购买东西的种类和重量都需要用数学语言来记录。由此可见，日常生活中经常会用到数学知识，而这些数学知识也给我们带来了不少帮助。
学习了长方形、正方形面积的计算及组合图形的计算后，可以运用所学知识解决生活中的实际问题。比如通过测量长和宽来算一算一间住房的面积有多大？在学习了圆柱体的体积计算后，可以通过测量底面直径和高计算水杯的容积是多少？
再比如三角形，我们的门是长方形，时间久了它就会变成平行四边形。这样的话，开门关门就会压到地面，关门非常不好关。这个时候我们就可以用到三角形的性质了，三角形具有稳定性，在生活中可以起到固定的作用。所以我们可以在门上以斜线的方式给门订上一根长条，让门变成两个三角形组合的四边形。这样的话，门具有了稳定性，就不会变成平行四边形了。因此门就不会斜下来了，自然也不会出现不好关门的现象了。
如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解直角三角形有关知识的应用。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。

人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温0℃，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即x2=2。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。

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