同济高数，格林公式里的一道例题求解答

求解一道高数格林公式的题目~

记 A(2, 0), 补充线段 AO，成顺时针封闭图形。
I = ∫ = ∮ - ∫ = ∮ + ∫
前者用格林公式，注意是顺时针图形，加负号； 后者 y = 0， dy = 0，则
I = - ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy + ∫xdx
= - ∫∫(-5y)dxdy + 2
= 2 + 5∫dt∫rsint rdr
= 2 + 5∫sintdt[r^3/3]
= 2 + (40/3)∫sint(cost)^3dt
= 2 - (10/3)[(cost)^4] = 2 + 10/3 = 16/3

你这道题得先排除无定义点。

直线OA的方程为，y=x

所以，dy=dx

这是对坐标的曲线积分,在以x为参数的特殊情况下的算法.
OA的方程为y=x(x从0变化到1),故dy=y'dx=x'dx=1·dx=dx,
把被积函数中的y替换为x,把dy替换成y'dx即dx就得到后面的定积分.

直线OA的方程为，y=x
所以，dy=dx
前后的关系就是：前者是对X求积分而后者是对Y求积分。
实际上可以直接这么算：
先对x积分：
∫∫e^(-y^2)dxdy=∫(0,1)e^(-y^2)dy∫(0,y)dx
=∫(0,1)e^(-y^2)ydy
=(-1/2)e^(-y^2)|(0,1)
=(1-1/e)/2

y关于x的函数为多少？

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莆田市17893698857： 用格林公式的一道高数题目计算I=∫L {(e^y)siny - y^3}dx + {(e^x)cosy+x^3}dy,其中L是沿半圆x= - 根号(a^2 - y^2) ,从点A(0, - a)到点B(0,a)的弧 - ？
谭孔铿锵：[答案] 作闭曲线 L2=L + L1,其中L1为y轴上从点(0,-a)到点(0,a)的一段直线段,于是有 I1=∮L2{(e^y)siny-y^3}dx + {(e^x)cosy+x^3}dy =∫∫D(cosy(e^x)+3x^2-(e^y)siny-(e^y)cosy+3y^2)dxdy =6a^3-sina(e^a+e^(-a)) I2=∫L1{(e^y)siny-y^3}dx + {(e^x)cosy+x^3}dy ...

莆田市17893698857： 高等数学微积分一道题,关于格林公式的.设L为闭区域D的正向的边界曲线,则计算曲线积分(看截图2)能直接应用格林公式的闭曲线是() 选项看后截图1.... - ？
谭孔铿锵：[答案] 格林公式中曲线所围的区域不能有被积函数的“奇点”(也就是没意义的点或偏导数不存在的点),被积函数在(0,0)处没意义,选C

莆田市17893698857： 高数格林公式问题∫+L(x+y)dx - (x - y)dy,其中 L为椭圆面x^2/a^2+y^2/b^2 - ？
谭孔铿锵：[答案] Py=1 Qx=-1 Qx-Py=-2 由格林公式: ∫+L(x+y)dx-(x-y)dy =∫∫(-2)dxdy =-2πab

莆田市17893698857： 高等数学中格林公式一章里的题目,求曲线x=5cost - cos5t,y=5sint - sin5t所包围的面积? - ？
谭孔铿锵：[答案] S=(1/2)∮(C)[xdy-ydx) =(1/2)∫[0,2π] [(5cost-cos5t)(5cost-5cos5t)-(5sint-sin5t)(-5sint+5sin5t)]dt =(1/2)∫[0,2π] [25(cos5t)^2-5costcos5t-25costcos5t+5(cos5t)^2+25(sint)^2-5sintsin5t-25sintsin5t+5(sin5t)^2]dt =(1/2)∫[0,2π] (25+5-30costcos5t-30sintsin5t)dt =(...

莆田市17893698857： 高数题目……计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性∮(x+y)^2dx - (x^2+y^2)dy,其中L是以点(0,0),(1,0),(0,1)为顶点的三角形区域的正向边界 - ？
谭孔铿锵：[答案] 按曲线积分和用格林公式分别计算以后,对比结果即可,见图片中详细解答,望及时采纳!

莆田市17893698857： 高数格林公式问题.计算I = ∫L [(x+4y)dy+(x - y)dx] / (x^2+4*y^2) 其中L为单位圆 x^2+y^2 = 1的正向计算I = ∫L [(x+4y)dy+(x - y)dx] / (x^2+4*y^2) 其中L为单位圆 x^2+y^... - ？
谭孔铿锵：[答案] 取充分小的正数e,在单位圆内做椭圆x^2+4y^2=e^2,方向为逆时针方向,记为S+S包围区域为D,其长轴为e,短轴为e/2,面积为pi*e^2/2.原积分=∫L Pdx+Qdy=∫L并S- Pdx+Qdy --∫S- Pdx+Qdy 第一个用格林公式注意到ap/ay=aQ/...

莆田市17893698857： 同济高数 请链接中的问题里X没平方,证明的时候哪来的平方?(出处:同济版高数上格林公式那一块课后习题 10 - 3的第7题) - ？
谭孔铿锵：[答案] 很显然:在A处应为:X=x²+y² , 可能是编写错误.

莆田市17893698857： 高数中格林公式的应用问题目前是大一 刚学完高数.、1.突然格林公式的定义里面有一条说要应用于:光滑的曲线可是,平常做题对于折线并没有什么特殊的... - ？
谭孔铿锵：[答案] 1、Green公式要求的边界条件没有必要是光滑曲线,只要是简单曲线就可. 简单点说,就是我们常见的自身不相交的曲线就可以,也就是曲线上出了起点和 终点允许重合,别的点不许重合,这样的曲线就可以. 2、你用错Green公式了.Green 公式要求...

莆田市17893698857： 高等数学格林公示:这个题目怎么搞? 格林公示╱L (x2 - y)dx - (x+sin2y)dy - ？
谭孔铿锵： 这个题如果要用格林公式应当构造封闭区域,如果直接用格林公式算不可以,因为不是封闭区域,不满足格林公式条件.我猜测你应该是忽略了这个条件,所以算出零来.正确解答应该如下:PS:我也不知道你那个sin是sin2y还是sin2y,假设...

莆田市17893698857： 一道高数题,＂求将区域0 - ？
谭孔铿锵：[答案] 首先把角域0接着把w1映成单位圆(把i映到原点)w=(w1-i)/(w1+i) 所以w=(z^3-i)/(z^3+i)