三大几何难题

几何学有哪三大难题？~

第一，化圆为方。在古希腊的时候有一个学者叫做安拉克萨哥拉，有一次，他提出太阳是一个巨大的火球。从现在看来，它绝对符合客观事实，但在当时，人们都相信神话中的说法，太阳是神灵阿巴罗的化身。于是安拉克萨哥拉被判定为亵渎神灵，判处死刑，被投到了牢狱中。
在等待执行的日子里，他依然在思考着关于宇宙和万物的问题，当然也包括数学问题。一天晚上，他看到圆圆的月亮，透过正方形的铁窗照进牢房，他心中一动，想：如果已知一个圆的面积，那么，怎样做出一个方来，才能使它的面积恰好等于这个圆的面积呢？这个问题看似简单，却难住了安拉克萨哥拉。在古希腊，对作图工具进行了限制，只允许使用直尺和圆规。
安拉克萨哥拉一直在思考这个问题，甚至忘了自己是还是一个待处决的犯人。到了后来，受到好朋友伯利克里（当时杰出的政治家）的营救，脱离了牢狱之苦。然而这个问题，他自己没有能够解决，整个古希腊的数学家也没有能解决，成为历史上有名的三大几何难题之一。在之后的两千多年里，也有无数的数学对此做了论证，可始终没有得到答案。
第二，立方倍积。此问题也是几何三大难题中的一个。相传，在古希腊的有一个名为第罗斯的小岛有一年发生了瘟疫，岛上的居民到神庙去祈求宙斯神，询问该如何免除灾难？许多天过去了，巫师终于传达了神灵的旨意，原来是宙斯认为人们对他不够虔诚，他的祭坛太小了。要想免除瘟疫，必须做一个体积是这个祭坛两倍的新祭坛才行，而且不许改变立方体的形状。于是人们赶紧量好尺寸，把祭坛的长、宽、高都增加了一倍，第二天，把它奉献在了宙斯神的面前。不料，瘟疫非但没有停止，反而更加流行了。第罗斯岛的人民惊慌失措了，再次向宙斯神祈求。巫师再次传达了宙斯的旨意。原来新祭坛的体积不是原来祭坛的两倍，而是八倍，宙斯认为，第罗斯人抗拒了他的意志，因此更加发怒了。当然这只是个传说，但这个问题至今为止都没能解答出来确是事实。
其问题就是：仅仅用圆规和没有刻度的直尺来做一个立方体，使得这个立方体是已知原来的立方体体积的2倍。由于至今没有人解答，所以它成为了几何学的第二大问题。
第三，三等分角。这个问题也有一个传说。据说，在公元前4世纪的时候埃及的亚历山大城是一座著名的繁荣都城。在城的近郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅的中间有一条河，公主居住的屋子正好建在圆心处。别墅的南北墙各开了一个门，河上建有一座桥。桥的位置和北门、南门恰好在一条直线上。国王每天赐给公主的物品，从北门送进，先放到位于南门的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。从北门到公主的屋子，和从北门到桥，两段路恰好是一样长。公主还有一个妹妹小公主，国王也要为她修建一座别墅。而小公主提出，自己的别墅也要修得和姐姐的一模一样。小公主的别墅很快动工了。可是工匠们把南门建好后，要确定桥和北门的位置的时候，却发现了一个问题：怎样才能使北门到居室、北门到桥的距离一样远呢？最终工匠们发现，要想要相等的距离，就必需先要解决三等分的这个问题，只要问题可以解决，就能确定桥和北门的位置。
于是工匠们尝试用直尺和圆规作图法定出桥的位置，但过了很久，都没有得到解决，无奈之下，他们只好去请教当时最著名的数学家阿基米德。阿基米德看到这个问题，想了很久。他在直尺上做上了一点固定的标记，便轻松地解决了这一问题。大家都非常佩服他。不过阿基米德却说，这个问题没有被真正解决。因为一旦在直尺上作了标记，等于就是为它做了刻度，这在尺规作图法中是不允许的。于是这个问题在两千年来一直困扰着无数的数学家，直到一百多年前，德国数学家克莱因做出了一个无可置疑的证明：只用直尺和圆规，是不可能解决这三个难题的。也就是说，这个问题到目前为止都还没有得到真正的解决。

古典难题的挑战——几何三大难题及其解决 位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。 一.三大难题的提出 实际中存在着各种各样的几何形状，曲和直是最基本的图形特征。相应地，人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆。画直线就得使用一个边缘平直的工具，画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具，这就产生了直尺和圆规。 古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。 漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。 1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。 这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。 二.貌以简单其实难 从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。 其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出？ 数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。 三.高斯的发现 历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段，解决三大难题有了新的转机。 最先突破的是德国数学家高斯。他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。他的祖父是农民，父亲是打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没受过学校教育。由于家境贫寒，冬天傍晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，1795年又来到哥庭根大学学习。由于高斯的勤奋，入学后第二年，他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。 由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。 高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。 四.最后的胜利 解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。 标准有了，下来该是大胆探索、细心论证。谁能避过重重险滩将思维贯通起来，谁就是最后胜利者。1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。 他的证明方法是这样的： 假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线 段X，但些方程无有理根，若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段，但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。 用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。 1882年，德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性，从而解决了化圆为方的问题。假设圆的半径为r，正方形的边长为x，按化圆为方数代数方程的根，更不能用加减乘除开平方所表示，因而不可能用尺规法作图。 从此，古典几何的三大难题都有了答案。 2000多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要问这值得吗？假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？其实，数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法，勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题(这个我在上初中时曾经证明过，的确成立)，等分圆周、作正多边形，高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。每一次突破不仅是人类智慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技术的发展。 特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究，在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛，而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以，一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的，直到1870年，伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。 回答者：tgw791013 - 高级经理 七级 1-20 11:00许多人都说是古希腊的[三大几何难题]不可能用[直尺和圆规经有限步骤解决],其实不然,就是个方法问题.因为任何人都不可能将所有的方法都试过. 我用没有刻度的直尺,严格按照[直尺圆规作图规则]解了古希腊的[三大几何难题],而且用{勾股定理}证明了[圆化方]和[倍立方]两个题.{因为[三分角]证明起来很繁琐,还是留给有兴趣者去证明吧.} 现在把作图方法,步骤和证明一起奉献出来,以便尊敬的朋友们,专家学者们一起来研究和判定. 哦,对了,这三个命题都应该是初中几何可以解决的.没有必要把它深奥化了. 只是想用正确的答案取代 旺策尔(Wantzel)和林得曼（Linderman）的不明智的错误答案 ! 参考资料： http://blog.163.com/liguanbaolx@126/editPhoto.do?photoId=_fks_C6VO3avejFz1kMbA-5GuOg2IcX2WaP5P

三大几何难题是指：（1）倍立方体：即作一立方体，是该立方体的体积为给定立方体的两倍；（2）但等分角：即对人员给定的一个角，作其三等分角；（3）化圆为方：即作一个正方形，使其面积与一给定的圆相等 “古希腊三大几何问题”也称“三大几何问题”，在数学的历史上有三个问题始终以惊人的力量艰难了两千多年。初等几何学到现在至少已有了三千年的历史，在这期间努力于初等几何学之发展的学者们曾经遇到过很多的难题，而始终绞尽学者脑汁的却就是这三个问题。问题是「立方倍积」，「化圆为方」和「三等分角」。 立方倍积关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「稜二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟疫仍不见消灭。人们困扰地再去问神，这次神回答说：「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状却并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状仍是正方体。」居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家们的脑汁。而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。化圆为方 方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。三等分角三等分任意角的题也许比那两个问题出现更早，早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现是很自然的，就是我们自己在现在也可以想得到的。纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。

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望都县17293642095： 古希腊三大几何难题的产生发展解决及其意义 - ？
隆希米丽： 1.立方倍积,即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍. 2.化圆为方,即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等. 3.三等分角,即分一个给定的任意角为三个相等的部分. 化圆为方,立方倍积和三等分角这三大古希腊几何...

望都县17293642095： 三大著名几何问题是 - ？
隆希米丽：[答案] 古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题.用数学语言表达就是:已知一个立方体,求作一个立方体,使它的体积是已知立方体的两倍.另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题.

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隆希米丽： 传说大约在公元前400年,古希腊的雅典流行疫病,为了消除灾难,人们向太阳神阿波罗求助,阿波罗提出要求,说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍,否则疫病会继续流行.人们百思不得其解,不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图...

望都县17293642095： 古希腊的“几何作图三大难题”是什么?这三大难题是在公元前五世纪,首次由古希腊雅典城内一个包括各方面学者的智慧(巧辩)学派提出的. - ？
隆希米丽：[答案] 1.内容 这三个题目是三分角、倍立方及圆化方,其内容分述如下.三分角:用直尺及圆规把任给的一角三等分.倍立方:给定一立方体(即其一边已知),用直尺及圆规做另一立方体(即做其一边)使其体积为原立方体的两倍.圆化方:用直尺及圆规做...

望都县17293642095： 古代的三大几何难题是哪三大? - ？
隆希米丽：[答案] 平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,...

望都县17293642095： 古希腊的三大几何问题是什么? - ？
隆希米丽：[答案] 采用尺规作图: 1 三等分一个角,不可能是因为不能作出一般三次方程的根 2 立方倍积,不可能是因为作不出2的立方根 3 化圆为方,不可能是因为作不出圆周率! 其实还有个是作正十七边形,这个由德国高斯解决了,所以三个不肯能问题就指以上...

望都县17293642095： 古希腊三大几何难题是什么? - ？
隆希米丽： 1.三等分角问题:将任一个给定的角三等分. 2.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍. 3.化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等.

望都县17293642095： 古代的三大几何难题是哪三大? - ？
隆希米丽： 平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,这些问题...

望都县17293642095： 数学几何上的三大难题是什么 ? - ？
隆希米丽： 在二千多年前的古希腊就盛传下列三个几何作图题: 1) 立方倍积问题. 2) 三等分角问题. 3) 化圆为方问题.

望都县17293642095： 三大几何难题 - ？
隆希米丽： 三大几何难题是指: (1)倍立方体:即作一立方体,是该立方体的体积为给定立方体的两倍; (2)但等分角:即对人员给定的一个角,作其三等分角; (3)化圆为方:即作一个正方形,使其面积与一给定的圆相等 “古希腊三大几何问...