数学函数题！。。！

数学函数题请教！！！~

分析：（1）由题意，可先证明函数的单调性，由奇定义和题设条件易得函数是增函数，由单调性比较两个函数值的大小即可；
（2）（1）由（1）函数f（x）是[-1，1]上的增函数上的增函数，可将不等式f(x- 1/2)＜f(x- 1/4)转化为 -1≤x-1/2≤1
-1≤x-1/4≤1
x- 1/2＜x- 1/4 ，解出它的解集即可得到不等式的解集；
（3）由题意，要先解出两个函数的定义域，得P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1}，Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}． 由于此两个集合的解集是空集，比较两个集合的端点，得到关于参数c的不等式，解出c的取值范围．

解：（1）设-1≤x1＜x2≤1，由奇函数的定义和题设条件，得
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)={f(x2)+f(-x1)/[x2+(-x1)]}*(x2-x1)＞0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
∵a，b∈[-1，1]，且a＞b，
∴f（a）＞f（b）．

（2）∵f（x）是[-1，1]上的增函数，
∴不等式f(x-1/2)＜f(x-1/4)等价于
-1≤x-1/2≤1
-1≤x-1/4≤1
x- 1/2＜x- 1/4
⇔ -1/2≤x≤3/2
-3/4≤x≤5/4
解得-1/2≤x≤5/4
∴原不等式的解集是{x|-1/2 ≤x≤5/4}．

（3）设函数g（x），h（x）的定义域分别是P和Q，
则P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1}，
Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}．
由P∩Q=空集，可得c+1＜c²-1或c²+1＜c-1．
解得c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

抽象函数有三类题目：
1、求值（特值法）x、y可取0、1、2、-1等
2、证明单调性：注意变形f(x)＝f((x\y)*y)及f(x)＝f(x-y+y)
　　再利用等式代换
3、利用单调性解不等式：注意定义域，脱去函数符号f
抽象函数题目不多，多看几个题目就可以了，它可是考试的热点哟
多练就会找出感觉，方法差不多的。给你一个网址，有几十道经典的综合题
http://taoti.tl100.com/detail-162041.html

1. f(x)=2x
|f(x)|=|2x=2|x|≤2|x| (因为等号成立）
2. f(x)=sin(x+派/4)
x=0时，f(0)=√2/2,而k|x|=0
|f(0)|>k|0|,与|f(0)|小于等于k|0|矛盾。
3. f(x)=根号下（x-1）
因为 x^2-x+1>0 恒成立，
所以x^2>x-1
|x|>根号下（x-1）
或 根号下（x-1）<|x|
取k=1,即得
|f(x)|<|x|
4. f(x)=x/(x^2+x+1)
|f(x)|=|x/(x^2+x+1)|≤k|x|
等价于：|1/(x^2+x+1)|≤k
等价于：x^2+x+1≥1/k
x^2+x+1=x^2+x+1/4+3/4=(x+1/2)^2+3/4≥3/4(=1/k)
取k=4/3
则 f(x)≤4/3|x|

　例１已知ｆ（ｘ）是定义在－１，１上的奇函数，ｆ（１）＝１，若ａ、ｂ∈－１，１，ａ＋ｂ≠０时，有ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）ａ＋ｂ

　　＞０解不等式ｆ（ｘ＋１２）＜ｆ（１

　　ｘ－１

　　）．

　　分析：本题的关键是根据已知条件，判断函数的单调性，据此再脱去“ｆ”

　　任取ｘ１ｘ２∈－１１且ｘ１＜ｘ２

　　∵ｆ（ｘ）是奇函数，

　　∴ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＋ｆ（－ｘ１）

　　＝ｆ（ｘ２）＋ｆ（－ｘ１）ｘ２＋（－ｘ１）·（ｘ２－ｘ１）＞０．

　　即ｆ（ｘ２）＞ｆ（ｘ１）．∴ｆ（ｘ）在－１１上是单调递增函数，原不等式等价于：

　　－１≤ｘ＋１２≤１－１≤１

　　ｘ－１

　　≤１ｘ＋１２＜１ｘ－１�ｘ＋１２≥－１１ｘ－１

　　≤１ｘ＋１２＜１ｘ－１

　　得：ｘ＜－１或ｘ＞３２

　　∴原不等式的解集为：ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３２．

　　二、反函数穿脱法

　　灵活自如地处理原函数ｆ（ｘ）与其反函数ｆ－１（ｘ）并运用ｆ－１ｆ（ｘ）＝ｘｆｆ－１（ｘ）＝ｘ进行穿脱“ｆ”．

　　例２已知定义域为Ｒ＋的函数ｆ（ｘ），对任意ｘｙ∈Ｒ＋恒ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）．

　　①求证：当ｘ∈Ｒ＋时，

　　ｆ（１ｘ）＝－ｆ（ｘ）

　　②若ｘ＞１时，恒有ｆ（ｘ）＜０

　　求证：ｆ（ｘ）必有反函数；

　　③设ｆ－１（ｘ）是ｆ（ｘ）的反函数，求证：ｆ－１（ｘ）在其定义域恒有ｆ－１（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ－１（ｘ１）·ｆ－１（ｘ２）．

　　解：①∵ｆ（１）＝ｆ（ｘ·１ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（１ｘ）

　　又ｆ（１）＝ｆ（１）＋ｆ（１）即ｆ（１）＝０

　　∴ｆ（１

　　ｘ）＝－ｆ（ｘ）．

　　②ｘ１、ｘ２∈Ｒ＋且ｘ１＜ｘ２时ｘ２ｘ１＞１

　　∴ｆ（ｘ２

　　ｘ１）＜０．

　　由ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘｙ·ｙ）＝ｆ（ｘ

　　ｙ）＋ｆ（ｙ）

　　有ｆ（ｘ

　　ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）故ｆ（ｘ２ｘ１）＝ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＜０

　　则ｆ（ｘ）在Ｒ＋上是减函数，

　　∴ｆ（ｘ）必有反函数．

　　③设ｆ－１（ｘ１）＝ｎ１ｆ－１（ｘ２）＝ｎ２

　　则ｆ（ｎ１）＝ｘ１ｆ（ｎ２）＝ｘ２

　　且ｆ（ｎ１·ｎ２）＝ｆ（ｎ１）＋ｆ（ｎ２）＝ｘ１＋ｘ２

　　∴ｆ

　　－１（ｘ１＋ｘ２）＝ｎ１ｎ２

　　即ｆ－１（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ－１（ｘ１）·ｆ－１（ｘ２）．

　　三、周期性穿脱法

　　在求解有关函数迭代问题时，可利用函数的周期性进行“ｆ”的穿脱，做到需穿则穿，需脱则脱，从而优化解题过程。

　　例３定义域为正整数的函数ｆ（ｎ）满足：

　　ｆ（ｎ）＝

　　ｎ－３（ｎ≥１０００）ｆｆ（ｎ＋７）（ｎ＜１０００）试求ｆ（９０）

　　解：记ｆｍ（ｎ）＝ｆ（ｆ…ｆｍ个ｆ

　　（ｎ））

　　∵９０＋（ｍ－１）×７＝１０００ｍ＝１３１．

　　∴ｆ（９０）＝ｆ２（９７）＝…＝ｆ１３１（１０００）

　　又ｆ（１０００）＝９９７

　　ｆ（９９７）＝ｆ２（１００４）＝ｆ（１００１）＝９９８

　　ｆ（９９８）＝ｆ２（１００５）＝ｆ（１００２）＝９９９

　　ｆ（９９９）＝ｆ２（１００６）＝ｆ（１００３）＝１０００

　　１３１＝４×３２＋３

　　∴ｆ（９０）＝ｆ１３１（１０００）＝ｆ３（１０００）＝９９９．

　　练习函数ｆ（ｘ）定义在正整数集上，且满足

　　ｆ（ｎ）＝

　　ｎ－３（ｎ≥１０００）ｆｆ（ｎ＋５）（ｎ＜１０００）求ｆ（８４）．

　　四、归纳性穿脱法

　　“穿”、“脱”函数符号“ｆ”是一种有序的过程，由内至外一层层穿上ｆ或由外至内一层层脱去ｆ，这往往是一个有序的过程。因此在“穿脱”的过程应寻求、归纳其所蕴含的规律，最后达到化简求解的目的。

　　例４已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ１＋ｘ

　　ｘ∈Ｒ＋若

　　ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ）ｆｎ（ｘ）＝ｆ（ｆｎ－１（ｘ））

　　（ｎ∈Ｎｎ≥２）求ｙ＝ｆｎ（ｘ）的解析式．

　　解：ｆ２（ｘ）＝２ｆ１（ｘ）１＋ｆ１（ｘ）

　　＝４ｘ１＋３ｘ

　　

　　ｆ３（ｘ）＝２ｆ２（ｘ）

　　１＋ｆ２（ｘ）

　　＝８ｘ１＋７ｘ

　　

　　ｆ４（ｘ）＝２ｆ３（ｘ）

　　１＋ｆ３（ｘ）

　　＝１６ｘ１＋１５ｘ

　　……

　　一般地可猜想ｆｎ（ｘ）＝２ｎｘ１＋（２ｎ－１）ｘ

　　不难用数学归纳法证明，这里略．

　　编者注：此题也可以用辅助数列法，设

　　ｂｎ＝１

　　ｆｎ（ｘ）

　　则ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１

　　２可求ｂｎ．

　　五、特殊值穿脱

　　例５设ｆ（ｘ）是定义在实数集上的函数，且对任意实数ｘｙ有

　　ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝２ｆ（ｘ）ｃｏｓｙ求ｆ（ｘ）．

　　解：在已知等式中，取特殊值，依次令：

　　ｘ＝０ｙ＝ｔｘ＝π２＋ｔ

　　ｙ＝π２ｘ＝π

　　２ｙ＝π

　　２＋ｔ有

　　ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）＝２ｆ（０）ｃｏｓｔｆ（π＋ｔ）＋ｆ（ｔ）＝０ｆ（π＋ｔ）＋ｆ（－ｔ）＝－２ｆ（π２）ｓｉｎｔ．

　　设ａ＝ｆ（０）ｂ＝ｆ（π２）从上面三式中消去ｆ（－１）ｆ（π＋ｔ）

　　得ｆ（ｔ）＝ａｃｏｓｔ＋ｂｓｉｎｔ

　　即ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ．

　　六、待定系数穿脱法

　　例６已知二次函数ｆ（ｘ）满足条件：

　　①ｆ（－１）＝０．

　　②对一切ｘ的值均有ｘ≤ｆ（ｘ）≤１＋ｘ２２

　　成立，求ｆ（ｘ）的解析式．

　　解：由已知可设ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）

　　∵ｆ（－１）＝０∴ｂ＝ａ＋ｃ

　　由ｘ≤ｆ（ｘ）≤１＋ｘ２２

　　知ｆ（１）＝ａ＝ｂ＋ｃ＝１．

　　∴ｂ＝ａ＋ｃ＝１２．

　　又∵对一切ｘ均有ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ≥ｘ

　　即ａｘ２＋（ｂ－１）ｘ＋ｃ≥０

　　∴ａ＞０△＝（ｂ－１）２－４ａｃ≤０

　　即ａｃ≥１１６∴ａ＝ｃ＝ｂ２＝１４

　　∴ｆ（ｘ）＝１４ｘ２＋１２ｘ＋１４．

　　七、综合穿脱法

　　函数迭代的有关穿脱问题，有时和其他问题综合在一起，因此如何巧妙地“穿”、“脱”综合加以考虑，综合运用．

　　例７如果有一个函数ｆＮ→Ｎ是严格递增的，且对每个ｎ∈Ｎ都有ｆ（ｆ（ｎ）＝ｋｎ．

　　求证对任何ｎ∈Ｎ有２ｋｋ＋１

　　ｎ≤ｆ（ｎ）≤ｋ＋１２

　　ｎ

　　证明：∵函数ｆＮ→Ｎ是严格递增的．

　　∴对任意自然数ａ≤ｂ都有

　　ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）≥ｂ－ａ①

　　ｆ（ｆ（ｆ（ｎ））－ｆ（ｆ（ｎ））

　　≥ｆ（ｆ（ｎ））－ｆ（ｎ）≥ｆ（ｎ）－ｎ②

　　又∵ｆ（ｆ（ｎ））＝ｋｎ

　　∴ｆ（ｆ（ｆ（ｎ）））＝ｋｆ（ｎ）③

　　③代入②得：

　　ｋｆ（ｎ）－ｋｎ≥ｋｎ－ｆ（ｎ）≥ｆ（ｎ）－ｎ④

　　解④得：２ｋｋ＋１

　　ｎ≤ｆ（ｎ）≤ｋ＋１２

　　ｎ．

（1）因y=f(x)=lnx-x^2+bx+3,它的导数y'=f'(x)=1/x-2x+b.
直线2x+y+2=0即y=-2x-2的斜率k1=-2，故，函数y=f(x)在(2,y)处的斜率k2=1/2-2*2+b=-1/k1=1/2，
b=4.
即f(x)=lnx-x^2+4x+3.
f'(x)=1/x-2x+4=-1/x*(2x^2-4x-1)=-2/x*(x-1+(根号6)/2)(x-1-(根号6)/2)
当1<=x<1+(根号6)/2时，f'(x)>0,即f(x)在[1，1+(根号6)/2]上单调增加；
当1+(根号6)/2<x<3时，f'(x)<0,即f(x)在[1+(根号6)/2，3]上单调减少；
f(1+(根号6)/2)是[1，3]上的最大值。
故f(x)的最小值是f(1)或f(3).
而，f(1)=6,f(3)=ln3+6>6,因此，f(1)=6是f(x)在[1，3]上的最小值。

（2）因f'(x)=1/x-2x+b，
若在[1，m]上单调单调增加，(m>1)，
即-2x^2+bx+1>=0在[1，m]上恒成立。
由于这个不等式左边函数图象是一条开口朝下的抛物线，故只要-2x^2+bx+1在x=1和x=m时满足y>=0即可。
即：-2+b+1>=0且-2m^2+bm+1>=0
b>=1且b>=2m-1/m.
因m>1,2m-1/m=1+2(m-1)+(1-1/m)>1,
故只需b>2m-1/m，就一定有f(x)在区间[1，m]上单调（增加）
若f(x)在[1，m]上单调减少，即-2x^2+bx+1<=0在[1，m]上恒成立。
这对于开口朝下的抛物线y=-2x^2+bx+1,讨论如下：
I 当抛物线对称轴x=b/4位于[1，m]之中时，顶点纵坐标y=1+b^2/8>0,不可；
II，当抛物线对称轴x=b/4<=1时，只需x=1时y=-2x^2+bx+1=b-1<=0即可，b<=1;
III,当抛物线对称轴x=b/4>=m时，只需x=m时y=-2x^2+bx+1=-2m^2+bm+1<=0即可，这需要条件：b>=4m且b<=2m-1/m,但因m>1,2m-1/m<2m<4m,从而没有满足条件的b。
综合I，II，III知，仅当b<1时，f(x)在区间[1,m]上单调减少。
总之，若f(x)在区间[1,m]上单调，b的取值范围为：b>=2m-1/m或b<=1.

(1) 因f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，即g(x)是f(x)的反函数。g(1)=0,所以f(0)=1.
即：a*0+b根号(1+0^2)=1,所以，b=1；
又，f(根号3)=2-根号3，即a*根号3+2=2-根号3，所以，a=-1.
综上，f(x)=-x+根号(1+x^2).(x>=0)
f(x)=1/[x+根号(1+x^2)],所以，0<f(x)<=1.即f(x)的值域为(0,1].

(2) 因f(x)=1/[x+根号(1+x^2)],对于任意x1,x2,若0<=x1<x2,都有 根号（1+x1^2)<根号(1+x2^2),
容易得到f(x1)>f(x2)，即f(x)在x>=0上单调减少。它的反函数g(x)将在(0,1]上也单调减少。
对于命题p：f(m^2-m)<f(3m-4)若为真命题，那么m应满足：m^2-m>=0;3m-4>=0,m^2-m>3m-4,即
m<=0或m>=1;m>=4/3;m不等于2.它们要都成立，必须4/3<m<2或m>2.
对于命题q: g((m-1)/4)>3/4,必须(m-1)/4<f(3/4)即0<(m-1)/4<=1,且(m-1)/4<-3/4+根号(1+(3/4)^2)=1/2,因此，1<m<=5且m<3.它们都成立的条件是:1<m<3.
若“P且q”为真命题，只要让4/3<m<2或2<m<3就会满足。
因此，存在实数m，使“p且q"为真命题，m的取值范围是：4/3<m<2或2<m<3.

解：
（1）依题意可知f(x)与g(x)互为反函数，g(1)=0,f(0)=1,由另一个已知条件可求f(x)中的a,b,a=-1,b=1.进而求出f(x)=-x+根号(1+x^2).(x>=0)
也可以通过f(x)求出g(x)，g(x)=(1-x^2)/2x,(x<=-1或0<x<=1),求f(x)的导数可知f(x)为减函数，所以f(0)=1为最大值，没有最小值，但它大于0很显然，f(x)的值域为(0,1].
（2）若“P且q”为真命题，则P 和q都为真

对于命题p：f(m^2-m)<f(3m-4)若为真命题，那么m应满足：m^2-m>=0;3m-4>=0,m^2-m>3m-4,即
4/3<m<2或m>2

对于命题q:(m-1)/4满足定义域x<=-1或0<x<=1，再代入 g((m-1)/4)>3/4,可求得m的范围为
m<=-7或1<m<3
综合p,q
m的取值范围是：4/3<m<2或2<m<3.

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湾里区17713951250： 一些简单的数学函数题？
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象翔宁中： (1)最小周期为T=¤(代替那“拍”) 最大值就是当x=3¤/8时,Sin(2¤+¤/4)=1即f(x)最大值为1+根号2. (2)因为sinx的单调增区间为(2k¤-¤/2,¤/2+2k¤) ,所以2x-¤/4的增区间为(2k¤-¤/2,¤/2+2k¤) ,化简得-¤/8+k¤<x<3¤/8+k¤ [注意:由于手机上没有那个符号,“派”用“¤”表示了]

湾里区17713951250： 数学函数题？
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象翔宁中： 1.直线过点P(3,2),则2=3k+b,即有b=2-3k 直线与x轴、y轴正半轴相交,则b>0,k<0 于是OA+OB=b+|b/k|=b-b/k=12 即:(2-3k)(k-1)/k=12 解得:k=-2或-1/3 则相应的b=8或3 所以直线方程为:y=-2x+8或y=-x/3+32.若m=-2或m=4时,ABP显然...

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