如何快速求一个点关于一条直线的对称点的坐标?

如何求一个点关于一条直线的对称点~

设所求点坐标为（x,y)，已知点坐标比如是（a，b），然后两点的中点（（a+x）/2，（b+y）/2)这个点在直线上，列一方程，（x,y）和(a,b)两点所成直线斜率与已知直线的斜率垂直，乘积为-1，以此列出第二个方程，然后两个方程连列

设定点为(a,b)直线为y=kx+p 对称点为(m,n)
则有定点与对称点所在只直线与已知直线垂直，得（n-b）/(m-a)*k=-1
两点到直线距离相等。（ka-b+p）/根号（k平方+1）=（km-n+p）/根号（k平方+1）
从而就出m n

求一条直线对称点的坐标的解题方法：

①设所求对称点A的坐标为(a，b)。

②根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。

③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。

设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。

把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。

④联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。举例：

①已知点B的坐标为（-2，1），求它关于直线y=-x+1的对称点坐标。

②设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)

因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1

AB斜率：b-1/a+2=1 (2）

③联立方程(1)、(2)，解二元一次方程组得：a=0，b=3所以该点的坐标为（0，3）

扩展资料：

一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：

唯一解：

如方程组x+y=5①

6x+13y=89②

x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

有无数组解：

如方程组x+y=6①

2x+2y=12②

因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

又如：x+(y-x)=y①

y+(x-y)=x②

无解：

如方程组x+y=4①

2x+2y=10②，

因为方程②化简后为

x+y=5

这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：

ax+by=c

dx+ey=f

当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。

当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

扩展资料：百度百科：二元一次方程组

1. 设所求对称点A的坐标为(a，b)。根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。

2. 因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。
又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程（2）。

3. 联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。

4.比如已知直线方程为Ax+By+C=0已知点为$(x_0,y_0)$,设对称点为   $(x_1,y_1)$那么我们知道向量(x_1-x_0,y_1-y_0)同直线垂直，由此得到(x_1-x_0)B-(y_1-     y_0)A=0另外我们知道两点中点在直线上，得到A(x_1+x_0)+B(y_1+y_0)+2C=0解方程组可以   得到x_1,y_1。同样对于三维情况类似。

举例如下图：

扩展资料：

把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心(the point of symmetry)，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对称点，叫做关于中心的对称点。

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上。

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解。

参考资料：

百度百科-对称点

1. 设所求对称点A的坐标为(a，b)。
根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。

2. 因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。
又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。

3. 联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。

举例：
已知点B的坐标为（-2，1），求它关于直线y=-x+1的对称点坐标？
设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，
b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1
AB斜率：b-1/a+2=1 (2)
联立方程(1)、(2)，解二元一次方程组得：a=0，b=3
所以该点的坐标为（0，3）

求一条直线对称点的坐标的解题方法：

①设所求对称点A的坐标为(a，b)。

②根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。

因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。

③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。

设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。

把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。

④联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。

举例：

①已知点B的坐标为（-2，1），求它关于直线y=-x+1的对称点坐标？

②设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，
b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)

因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1

AB斜率：b-1/a+2=1 (2）

③联立方程(1)、(2)，解二元一次方程组得：a=0，b=3
所以该点的坐标为（0，3）

扩展资料：

二元一次方程是指含有两个未知数（x和y），并且所含未知数的项的次数都是1的方程。两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组。每个方程可化简为ax+by=c的形式。

二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！不止限制于一种。

也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

重点：一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c>0)

参考资料：二元一次方程组-百度百科

可以通过解方程。比如已知直线方程为Ax+By+C=0已知点为$(x_0,y_0)$,设对称点为$(x_1,y_1)$那么我们知道向量$(x_1-x_0,y_1-y_0)$同直线垂直，由此得到$(x_1-x_0)B-(y_1-y_0)A=0$另外我们知道两点中点在直线上，得到$A(x_1+x_0)+B(y_1+y_0)+2C=0$解方程组可以得到$x_1,y_1$.同样对于三维情况类似

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耀州区17174686960： 怎样快速求点关于直线的对称点? - ？
广威吡贝：[答案] 有公式但很麻烦,不值得记忆,因为公式一麻烦,就容易记错误,如两点式就很令人讨厌,于是,我往往不用两点式 A(x0,y0)直线Ax+By+C=0 令B(x1,y1)为点关于直线的对称点 则A(x0+x1)/2+B(y0+y1)/2+C=0 A(y1-y0)=B(x1-x0) 解方程即可 值得注意的...

耀州区17174686960： 如何求点关于一条直线对称的对称点 - ？
广威吡贝： 1、当直线与x轴垂直 由轴对称的性质可得,y=b,AA'的中点在直线x=k上,则, (a+x)/2=k,x=2k-a 所以易求A'的坐标(2k-a,b) 2、当直线与y轴垂直 由轴对称的性质可得,x=a, BB'的中点在直线y=k上,则, (y+b)/2=k,y=2k-b 所以易求B...

耀州区17174686960： 怎么求一条直线关于一个点的对称点 - ？
广威吡贝： 设出所求点的坐标A(a,b),根据所设的点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出对称点的坐标C(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.所以将此点代入直线,此为一个式子. 再根据点AB组成的直线与所知直线相垂直,列出两直线的斜率之积为-1,可得第二个式子. 根据这两个式子,可以求出a,b,即所求点的坐标很高兴为您解答,祝你学习进步!【学习宝典】团队为您答题.有不明白的可以追问!如果您认可我的回答. 请点击下面的【选为满意回答】按钮,谢谢!

耀州区17174686960： 一点关于直线的对称点怎么求? - ？
广威吡贝：[答案] 1.求出该直线的斜率k 2.过这点作直线的垂线,则该垂线斜率为1/k,把这点代入垂线方程,求出垂线方程 3.设对称点坐标为(a,b),则两点间的中点即在直线上,又在垂线上,把中点坐标代入两个方程 解二元一次方程组,求出a和b 值 对称点就出来了

耀州区17174686960： 怎样求点关于直线对称坐标 - ？
广威吡贝：[答案] 放在直角坐标系里求. 若已知直线y=kx+b 和点P(x1,y1) 则对称点P2(x2,y2)有这么几个性质:与P相连的直线垂直所设直线y;P与P2的中点在直线y上 所以可列出方程 1/2(y1+y2)=k/2(x1+x2)+b (y2-y1)/(x2-x1)= -1/k 联立解出来就可以了. 哪里不懂再追问

耀州区17174686960： 求一个点关于一条直线对称点坐标的公式 - ？
广威吡贝：[答案] 设出所求点的坐标(a,b),根据所设的点(a,b)和已知点(c,d),可以表示出对称点的坐标(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.所以将此点代入直线,可以求出a,b,即所求点的坐标.

耀州区17174686960： 怎样求点关于直线的对称问题求答案 - ？
广威吡贝：[答案] 这个问题很好办,假设设已知点的坐标为A(a,b)那你只要设它对称点的坐标为B(x,y)然后找两个等量关系就可以解出来的,第一个等量关系是,AB的斜率和对称直线的斜率相成为-1;第二个等量关系,AB中点在对称直线上,将((x+a)/2,(y+b)/2...

耀州区17174686960： 如何在直角坐标系下求一个点关于直线对称 - ？
广威吡贝： 设:设已知点为A(x0,y0),所求点为B(x1,y1),已知直线L1方程为y=kx+b 1、过A、B两点的直线L2与已知直线L1垂直,则两直线斜率乘积为-1,可列出关系式: y1-y0 --- * k = -1 ① x1-x0 2、因为A、B两点关于直线L1对称,所以A、B连线线段的中点C(x3,y3)在直线L1上可列出关系式: y3=kx3+b ② 其中x3,y3可由中点公式算出: y1+y0 ---=y3 2 x1+x0 ---=x3 2 综上方程①②可求出x1和y1(x0、y0、k、b已知)

耀州区17174686960： 怎样求点关于直线的对称点. - ？
广威吡贝： 某点关于某直线对称,就是该点所在直线与已知直线垂直,通过两垂直直线斜率乘积为-1,在用点斜式求出直线.算出两直线交点坐标,再设未知点,用交点坐标横纵坐标的二倍等于另外两点的横纵坐标和可求

耀州区17174686960： 如何求一点关于直线的对称点?比如一点(x,y),求它关于直线y=x - 1的对称点 - ？
广威吡贝：[答案] 设对称点是(a,b) 则两点所在直线垂直于y=x-1 y=x-1斜率是1 则和他垂直,斜率是-1 (b-y)/(a-x)=-1 (1) 两个对称点的中点[(a+x)/2,(b+y)/2]在对称轴上 所以(a+x)/2-1=(b+y)/2 (2) 解这个二元一次方程组 得出a和b即可 a=y+1,b=x-1