如何快速求一个点关于一条直线的对称点的坐标?
设所求点坐标为(x,y),已知点坐标比如是(a,b),然后两点的中点((a+x)/2,(b+y)/2)这个点在直线上,列一方程,(x,y)和(a,b)两点所成直线斜率与已知直线的斜率垂直,乘积为-1,以此列出第二个方程,然后两个方程连列
设定点为(a,b)直线为y=kx+p 对称点为(m,n)
则有定点与对称点所在只直线与已知直线垂直,得(n-b)/(m-a)*k=-1
两点到直线距离相等。(ka-b+p)/根号(k平方+1)=(km-n+p)/根号(k平方+1)
从而就出m n
求一条直线对称点的坐标的解题方法:
①设所求对称点A的坐标为(a,b)。
②根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。
③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。
④联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。举例:
①已知点B的坐标为(-2,1),求它关于直线y=-x+1的对称点坐标。
②设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称,所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,所以直线AB的斜率为1
AB斜率:b-1/a+2=1 (2)
③联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3所以该点的坐标为(0,3)
扩展资料:
一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程,叫做解方程组。一般来说,一个二元一次方程有无数个解,而二元一次方程组的解有以下三种情况:
唯一解:
如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
有无数组解:
如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解。
又如:x+(y-x)=y①
y+(x-y)=x②
无解:
如方程组x+y=4①
2x+2y=10②,
因为方程②化简后为
x+y=5
这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况,如下列关于x,y的二元一次方程组:
ax+by=c
dx+ey=f
当a/d≠b/e 时,该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时,该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时,该方程组无解。
扩展资料:百度百科:二元一次方程组
设所求对称点A的坐标为(a,b)。根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。
2. 因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。
又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。
3. 联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。
4.比如已知直线方程为Ax+By+C=0已知点为$(x_0,y_0)$,设对称点为 $(x_1,y_1)$那么我们知道向量(x_1-x_0,y_1-y_0)同直线垂直,由此得到(x_1-x_0)B-(y_1- y_0)A=0另外我们知道两点中点在直线上,得到A(x_1+x_0)+B(y_1+y_0)+2C=0解方程组可以 得到x_1,y_1。同样对于三维情况类似。
举例如下图:
扩展资料:
把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点中心对称,这个点叫做对称中心(the point of symmetry),两个图形关于点对称也称中心对称,这两个图形中的对称点,叫做关于中心的对称点。
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸,处理这类问题主要抓住两个方面:①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1,②两点的中点在已知直线上。
直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题,这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解。
参考资料:
百度百科-对称点
1. 设所求对称点A的坐标为(a,b)。
根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。
2. 因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。
又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。
3. 联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。
举例:
已知点B的坐标为(-2,1),求它关于直线y=-x+1的对称点坐标?
设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,
b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称,所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,所以直线AB的斜率为1
AB斜率:b-1/a+2=1 (2)
联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3
所以该点的坐标为(0,3)
求一条直线对称点的坐标的解题方法:
①设所求对称点A的坐标为(a,b)。
②根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。
因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。
③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。
④联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。
举例:
①已知点B的坐标为(-2,1),求它关于直线y=-x+1的对称点坐标?
②设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,
b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称,所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,所以直线AB的斜率为1
AB斜率:b-1/a+2=1 (2)
③联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3
所以该点的坐标为(0,3)
扩展资料:
二元一次方程是指含有两个未知数(x和y),并且所含未知数的项的次数都是1的方程。两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组。每个方程可化简为ax+by=c的形式。
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的!不止限制于一种。
也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
重点:一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)
依据—等式性质
1.a=b←→a+c=b+c
2.a=b←→ac=bc (c>0)
参考资料:二元一次方程组-百度百科
可以通过解方程。比如已知直线方程为Ax+By+C=0已知点为$(x_0,y_0)$,设对称点为$(x_1,y_1)$那么我们知道向量$(x_1-x_0,y_1-y_0)$同直线垂直,由此得到$(x_1-x_0)B-(y_1-y_0)A=0$另外我们知道两点中点在直线上,得到$A(x_1+x_0)+B(y_1+y_0)+2C=0$解方程组可以得到$x_1,y_1$.同样对于三维情况类似
数学题 怎么证明数轴上的一个点关于Y=X对称后的坐标?
假设所求A(a,b)的对称点B为(m,n),则AB的中点C为((a+m)\/2,(b+n)\/2),因A、B两点关于直线y=x对称,所以点C在直线上,点C的坐标满足直线方程。同时,AB垂直直线,故斜率AB为(b\/a)。代入可解得。希望我的回答对你有用。
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耀州区17174686960: 如何求点关于一条直线对称的对称点 - ?
广威吡贝: 1、当直线与x轴垂直 由轴对称的性质可得,y=b,AA'的中点在直线x=k上,则, (a+x)/2=k,x=2k-a 所以易求A'的坐标(2k-a,b) 2、当直线与y轴垂直 由轴对称的性质可得,x=a, BB'的中点在直线y=k上,则, (y+b)/2=k,y=2k-b 所以易求B...
耀州区17174686960: 怎么求一条直线关于一个点的对称点 - ?
广威吡贝: 设出所求点的坐标A(a,b),根据所设的点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出对称点的坐标C(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.所以将此点代入直线,此为一个式子. 再根据点AB组成的直线与所知直线相垂直,列出两直线的斜率之积为-1,可得第二个式子. 根据这两个式子,可以求出a,b,即所求点的坐标很高兴为您解答,祝你学习进步!【学习宝典】团队为您答题.有不明白的可以追问!如果您认可我的回答. 请点击下面的【选为满意回答】按钮,谢谢!
耀州区17174686960: 一点关于直线的对称点怎么求? - ?
广威吡贝:[答案] 1.求出该直线的斜率k 2.过这点作直线的垂线,则该垂线斜率为1/k,把这点代入垂线方程,求出垂线方程 3.设对称点坐标为(a,b),则两点间的中点即在直线上,又在垂线上,把中点坐标代入两个方程 解二元一次方程组,求出a和b 值 对称点就出来了
耀州区17174686960: 怎样求点关于直线对称坐标 - ?
广威吡贝:[答案] 放在直角坐标系里求. 若已知直线y=kx+b 和点P(x1,y1) 则对称点P2(x2,y2)有这么几个性质:与P相连的直线垂直所设直线y;P与P2的中点在直线y上 所以可列出方程 1/2(y1+y2)=k/2(x1+x2)+b (y2-y1)/(x2-x1)= -1/k 联立解出来就可以了. 哪里不懂再追问
耀州区17174686960: 求一个点关于一条直线对称点坐标的公式 - ?
广威吡贝:[答案] 设出所求点的坐标(a,b),根据所设的点(a,b)和已知点(c,d),可以表示出对称点的坐标(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.所以将此点代入直线,可以求出a,b,即所求点的坐标.
耀州区17174686960: 怎样求点关于直线的对称问题求答案 - ?
广威吡贝:[答案] 这个问题很好办,假设设已知点的坐标为A(a,b)那你只要设它对称点的坐标为B(x,y)然后找两个等量关系就可以解出来的,第一个等量关系是,AB的斜率和对称直线的斜率相成为-1;第二个等量关系,AB中点在对称直线上,将((x+a)/2,(y+b)/2...
耀州区17174686960: 如何在直角坐标系下求一个点关于直线对称 - ?
广威吡贝: 设:设已知点为A(x0,y0),所求点为B(x1,y1),已知直线L1方程为y=kx+b 1、过A、B两点的直线L2与已知直线L1垂直,则两直线斜率乘积为-1,可列出关系式: y1-y0 --- * k = -1 ① x1-x0 2、因为A、B两点关于直线L1对称,所以A、B连线线段的中点C(x3,y3)在直线L1上可列出关系式: y3=kx3+b ② 其中x3,y3可由中点公式算出: y1+y0 ---=y3 2 x1+x0 ---=x3 2 综上方程①②可求出x1和y1(x0、y0、k、b已知)
耀州区17174686960: 怎样求点关于直线的对称点. - ?
广威吡贝: 某点关于某直线对称,就是该点所在直线与已知直线垂直,通过两垂直直线斜率乘积为-1,在用点斜式求出直线.算出两直线交点坐标,再设未知点,用交点坐标横纵坐标的二倍等于另外两点的横纵坐标和可求
耀州区17174686960: 如何求一点关于直线的对称点?比如一点(x,y),求它关于直线y=x - 1的对称点 - ?
广威吡贝:[答案] 设对称点是(a,b) 则两点所在直线垂直于y=x-1 y=x-1斜率是1 则和他垂直,斜率是-1 (b-y)/(a-x)=-1 (1) 两个对称点的中点[(a+x)/2,(b+y)/2]在对称轴上 所以(a+x)/2-1=(b+y)/2 (2) 解这个二元一次方程组 得出a和b即可 a=y+1,b=x-1