离散数学，A B C 为任意集合 证明

离散数学的一道证明题目：设A、B、C是任意集合，证明：（A并B=A并C）合取（A交B=A交C）可推出B=C.~

任取b 属于 B 则：

1.若b 属于 A =》 b属于 A交B =》 b属于 A交C =》b属于C
2.若b 不属于A =》b属于 A并B =》 b属于 A并C，又b不属于A =》 b属于 C

又1，2可知 B 是 C的子集。

同理可证 C 是 B的子集。 因此B=C，得证。

a 正确
B⊆C
说明B的元素都在C里面，即B的元素都属于C，∀x(x∈B → x∈C)
当然B中的元素A也不例外，
也就是说A∈c


c 错
举反例A={1}, B={{1},{2}},C={{{1},{2}},{0}}

e 错
举反例A={1}, B={{1},{2}},C={{1}}

本推断，包含两个条件：
①：A∪B＝A∪C；——A、B之并集，等于A、C之并集；
②：A∩B＝A∩C；——A、B之交集，等于A、C之交集；
结论是：
B＝C；

证明：可根据集合相等的定义来证明：B＝C，当且仅当：B是C的子集，且C亦是B的子集；
（1）证明B包含于C：
对任意元素x：
若：x∈B；
则：要么x∈A∩B，要么x∈A′∩B＝B－A；（A′表示A的补集）
若：x∈A∩B；
则：根据条件②，有：x∈A∩C；
所以：x∈C；

若：x∈A′∩B＝B－A；即：x∈B且x∉A；（∉是不属于号，百度显示有问题）
因：x∈B，故必有：x∈A∪B；
再根据条件①，知：x∈A∪C；即：或者x∈A，或者x∈C；
由于：x∉A，所以：x∈C；

综合可知，只要x∈B，那么就一定有x∈C；所以：B是C的子集；

（2）同理可证明C是B的子集；
然后，可知：B＝C；

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蜀山区13463885205： 离散数学 设A, B, C是三个任意集合,试证A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) - ？
但弦雷宁： 证明方法1:假设x∈A∩(B∪C),则x∈A且x∈B∪C,即x∈A且x∈B或x∈C.得出x∈A且x∈B或者x∈A且x∈C.x∈A∩B或者x∈A∩C,这个就等价了等式右边的式子了. 证明方法2: 集合的运算与布尔代数的逻辑运算,以及命题的逻辑运算本质上是一回事. 元素在集合里可以用1表示,不在集合里用0表示 ,因为只有A B C三个变量,也就是说有2的3次方行数,画一个真值表就行.无论A B C 如何变化,等式左边的真值总是与等式右边的真值相同.即得证.

蜀山区13463885205： 离散数学证明Ax(B并上C)=(AxB)并上(AxC),其中A,B,C为任意集合,x是笛卡尔乘积 - ？
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蜀山区13463885205： 离散数学:证明:对任意集合A、B、C有A - (B∪C)=(A - B)∩(A - C) 请给出证明过程,谢谢. - ？
但弦雷宁： 任取x∈A-(B∪C) => x∈A ∩ x∈~(B∪C) => x∈A ∩ x∈ (~B∩ ~C) => (x∈A ∩ x∈~B)∩ (x∈A ∩ x∈~C) =>x∈(A-B)∩(A-C)

蜀山区13463885205： 离散数学证明题:对任意集合A,B和C,若有C≠∅,则有:A⊆B的充分必要条件是C*A⊆C*B. - ？
但弦雷宁：[答案] A⊆B 即对∀x∈A,都有x∈B C*A⊆C*B 即∀∈C*A,都有∈C*B 充分性: ∀x∈A,都有x∈B 对∀y∈C 于是有:∈C*A →∈C*B 必要性: ∀∈C*A,都有∈C*B ∴ ∀x∈A,都有x∈B

蜀山区13463885205： 离散数学设ab是任意集合证明~(a∪b)=~a∩~b - ？
但弦雷宁： 用A'表示非A,余者类推. (A∪B)'=A'∩B'. 证:设x∈(A∪B)',则x不属于A∪B, ∴x不属于A,且x不属于B, ∴x∈A'∩B', ∴(A∪B)'是A'∩B'的子集. 同理可证,A'∩B'是(A∪B)'的子集, ∴(A∪B)'=A'∩B'.

蜀山区13463885205： 离散数学的一道证明题目:设A、B、C是任意集合,证明:(A并B=A并C)合取(A交B=A交C)可推出B=C. - ？
但弦雷宁： 任取b 属于 B 则:1.若b 属于 A =》 b属于 A交B =》 b属于 A交C =》b属于C2.若b 不属于A =》b属于 A并B =》 b属于 A并C,又b不属于A =》 b属于 C 又1,2可知 B 是 C的子集.同理可证 C 是 B的子集. 因此B=C,得证.

蜀山区13463885205： 离散数学!!对于任意集合A B C确定下列各明天是否为真 并证明 第四题的单号 - ？
但弦雷宁： a 正确 B⊆C 说明B的元素都在C里面,即B的元素都属于C,∀x(x∈B → x∈C) 当然B中的元素A也不例外,也就是说A∈c c 错 举反例A={1}, B={{1},{2}},C={{{1},{2}},{0}} e 错 举反例A={1}, B={{1},{2}},C={{1}}

蜀山区13463885205： 离散数学:设A,B为任意集合,试证P(A∩B)=P(A)∩P(B) - ？
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蜀山区13463885205： 离散数学证明题:设A,B为任意集合,符号P(A)表示A幂集,求证P(A)∩P(B)=P(A∩B)用命题演算法证明. - ？
但弦雷宁：[答案] x∈P(A)∩P(B) x∈P(A)∩ x∈P(B) (x包含于A)且(x包含于B) x包含于(A∩B) x∈P(A∩B). 所以,P(A)∩P(B)=P(A∩B). 其中的“包含于”符号难输入,自行改写吧.