旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明

为什么不能三等份一个角?~

应该是不能用尺规作图3等分一个任意角

三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即 用圆规与直尺把一任意角三等分。问题的难处在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺 （没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。这问题曾吸引着许多人去研究，但都无一成功。1837年凡齐尔（ 1814－1848）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。
在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发现，只要放弃「尺 规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米得（前287－前212）发现只要 在直尺上固定一点，问题就可解决了。现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点P，命尺端为O。 设所要三等分的角是∠ACB，以C为圆心，OP为半径作半圆交角边于A，B；使O点在CA延在线移 动，P点在圆周上移动，当尺通过B时，连OPB（见图）。由于OP＝PC＝CB，所以∠COB＝∠AC B／3。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。


另有一机械作图的方法可以三等分角，简介如下：
如右图：ABCD为一正方形，设AB均匀向CD平行移动，AD以D为中心依顺时针方向转到DC，若AB抵达DC时DA也恰好抵达DC，则他们交点的轨迹AO即曲线称为三分线。
令A是AC弧上的任一点，我们要三等分 ADC，设DA与三分线AO交于R，过R作AB之并行线交AD、BC于A、B，令T、U是AD之三等分点，过T、U作AB之并行线交三分线AO于V、W，则DV、DW必将 ADC三等分。

1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。

随便搜个三等分角就出来一堆。。。
网络真是好啊，初中时对这个问题想了很久

可以吗？你如何解决的？根据百度百科
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。

古希腊三大几何难题 提出者：智者学派 展开 雅典有一个智者学派，代表人物有希比阿斯、安提丰、普罗泰格拉等。智者学派以诡辩著称，当时流行几何，哲学家、数学家常常看口闭口都是几何。于是三大几何难题就诞生了。 （1）化圆为方：作一个正方形，使其面积与已知圆面积相等。 （2）倍立方：作一个正方体，使其体积是已知正方体的2倍 （3）三等分角：三等分任意角 于是呢，有一堆数学家就开始做。题目规则是尺规作图。可他们没做出来，于是就做，做呀做呀，他们殚精竭虑、千方百计，就是没做出来，一个都没有，但是一直有人做，于是阿基米德螺线诞生了，于是圆锥曲线诞生了……但是这么多几何线诞生，也没把题目做出来，于是两千年过去了。 19世纪有一个人叫旺策尔，证明了这个题目光用尺规是作不出来的。证明这个几何题目的方法，竟然是代数。 推理方法很值得借鉴。简单说一下 推理 第一步：尺规作图可以怎么折腾 归纳只有5点： ①做连接两点的直线段，或延长此线段； ②作两直线的交点； ③以已知点为圆心； ④作圆与直线交点； ⑤作两圆交点； 第二步：只用尺规可以作出什么样的线段 设a1、 a2、a3、 a4、…… an是已知线段，同时用 ai表示它们的长度，并设 a1=1. 则光用尺规只能将之进行＋、一、×、 ÷、 √（根号 ），即进行加、减、乘、除、开偶次方根。ai＋aj没问题，ai－aj没问题，若x=ai× aj，则有1/ai=aj/x ，作一个相似三角形即可。同样，若x=ai÷aj则1/x=ai/aj，若x=√（ai），则x^2=ai/×a1，x是ai/与a1的比例中项，仿照射影定理的模型可以作出。 第三步：几何问题代数化 ①做连接两点的直线段，或延长此线段；代数化：已知两点A（x1，y1）B（x2 y2 ） ，那么线段AB长度d=√[(x2 一x1)^2＋y2 一y1)^2],根据第二步，这些是可以作出来的； ②作两直线的交点；代数化： A（x1，y1）,B（x2 y2 ）, C(x3, y3 ), D(x4 ,y4 )则AB与CD交点为一个比较复杂的式子，不过只有减法乘法除法运算，也是可以作出的。可以化一化试一试。 ③以已知点为圆心、以已知半径作圆；代数化：圆的方程谁都知道，是可以用减法、乘方、加法、乘法表示的； ④作圆与直线交点；代数化：联立方程组，一个二元二次方程组，用换元法可以化为一元二次方程组，最后用韦达定理求根。是可以用 ＋、一、×、 ÷、 √表示的。 ⑤作两圆交点；代数化：联立方程组，相减，得到一个二元一次和一个二元二次方程，换元法同上可解，多组解，可以用 ＋、一、×、 ÷、 √表示。 好了，现在我们知道尺规作图就这么大出息 。第四步：问题转换 （1）化圆为方： 设已知单位圆，求做一个边长为x的正方形，使得x^2=π ，x=√（π）。问题转化为作一条长度为 √（π）的线段； （2）倍立方： 已知单位立方体，求一立方体，棱长x满足x^3=2，问题转化为做一条长度为x的线段,x^3=2,； （3）三等分角：三等分任意角，证明不可能作成，只需证明一个反例，不妨设要三等分的角大小为60°（别的度数也可以，但是60度方案可行）。取直角坐标系XOY，在第一象限内作直角三角形△AOB，A在X轴上，∠AOB=60°，OA=1,把∠AOB三等分，即作出∠AOC=∠COD=∠DOB=20°，C,D两点在AB上，这相当于用规尺做了一条线段OC使得1/OC=COS20°。如图。好，问题转化为作一条长为COS20°的线段。 具体一点求COS20°的值：公式COS3α=（4COSα）^3-3COSα，令α=20°，COSα=X，则X满足方程：1/2=4X^3-3X；即COS20°为方程8X^3-6X-1=0的一个解。 结果：三大难题实质上就是让我们作三条线段，长度分别为√（π）、（3）√（2）（三次根号2）、8X^3-6X-1=0的一个解。第五步：范围 最后一步了。感觉上，（√（π））、（3）√（2）（三次根号2）、8X^3-6X-1=0的一个解，这么长的线段是没办法作出来的，实际上是的。为什么是的，高中范围只能解释第一个问题，第二第三个问题要用到什么数域扩域的，目前我看不懂。 那么就解决第一个问题吧。 1，数字1，怎么弄，用 ＋、一、×、 ÷、 √，都一定可以写成一个有理数次项方程的解。（怎么变是你来变，只需要根据你变的方法倒推就可以了）。好，那么尺规作图的范围就是作出一个有理数次项方程的解。现在看一看，√（π）是不是有理数次项方程的解。不是，当然不是，要是的话π现在都表示出来了，圆的大小都可以为一个确定的数值了，π的值也不用π表示了。但是还要经过严格的推理证明来消除侥幸心理。 反证：假设√（π）是方程P（X）=x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+……a(n-1)*x+an=0的根，那么就有，√（π）^n+a1*√（π）^（n-1)+a2*√（π）^（n-2)+……a(n-1)*√（π）+an=0。n为偶数时，（奇数时可类比推理），有 √（π）^n+a2*√（π）^（n-2)+a4*√（π）^（n-4)+……a(n-2)*√（π）^2+an=—[a1√（π）^(n-1)+a3*√（π）^（n-3)+a5*√（π）^（n-5)+……a(n-1)*√（π）] 平方： Q1（π）=Q2（π），Q1Q2是有理数系数多项式，那么π必然是有理数系数方程Q1(π）-Q2(π)=0的根，所以π可以表示为一个有理数方程的根。但是已知π不可以，所以√（π）也不可以。 所以√（π）是不可以用1变出来的，所以化圆为方，尺规作图无法作出。 结局 一个2000多年的难题解决了，很明显，智者学派提出问题，超越了历史发展阶段，但是看到这个悬而未决了2000多年的难题竟然这么简单给解决了，还真有些感慨。不过陈省身前辈的“数学好玩”，倒可以从某一个角度体现出来——这要看你怎么看了。

这里看看http://baike.baidu.com/view/564946.htm

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万山特区19387634459： 旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明 - ？
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万山特区19387634459： 古希腊三大几何难题是什么? - ？
能扶威奇： 1.三等分角问题:将任一个给定的角三等分. 2.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍. 3.化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等.

万山特区19387634459： 三大几何是哪三大 - ？
能扶威奇： 额...什么层次的. 小学三大几何? 中学三大几何,(古典)平面几何、(古典)立体几何、(初等)解析几何.或者分 古老的 欧氏几何 射影几何(非欧的) 仿射几何(非欧的另一种)现代数学中根据方法、交叉的不同也有:微分几何(分析学搞几何)、代数几何(费马大定理的证明的基础之一)、还有 啥... 根据学科分 欧氏几何、黎曼几何、Finsler几何??欧氏几何和黎曼几何都是Finsler几何的特例,这种分法也不太合理.唉头疼啊. 我从来没听说过什么时候有名气很大的“三大几何”了...你能说说到底是什么方面的

万山特区19387634459： 我为什么能破解古希腊三大几何难题 - ？
能扶威奇： 1.立方倍积,即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍.2.化圆为方,即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等.3.三等分角,即分一个给定的任意角为三个相等的部分.化圆为方,立方倍积和三等分角这三大古希腊几何作图难...

万山特区19387634459： 历史上三大作图难题是什么? - ？
能扶威奇： 平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,这些问题...

万山特区19387634459： 古代三大几何难题是哪三个???？
能扶威奇： 三大几何问题是: 1.化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆;2.三等分任意角;3.倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍. 详情:http://wenwen.sogou.com/z/q838300558.htm

万山特区19387634459： 用尺规三等分一个角？
能扶威奇：该问题大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大难题”. 两千多年来,从初学几何的青少年到经验丰富的学者,数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”,希腊数学家...

万山特区19387634459： 几何数学问题？
能扶威奇：圆与正方形都是常见的几何图形,但如何作一个正方形和已知圆等面积呢?若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π,所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π,也就是用尺规做出长度为π1/2的线段(或者是π的线段). 三大问题的第二个...

万山特区19387634459： 如何用尺规作三等分一个角 - ？
能扶威奇： 三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题,和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一,而如今数学上已证实了这个问题无解.不过,直到现在,仍然有很多人尝试去解决这条问题,原因是他们对这条题目的具体内容并不明白...

万山特区19387634459： 直规作图的问题 - ？
能扶威奇： 1、在白纸上作一定点O,以O为圆心,以适当长度为半径,作圆O. 2、作一条直径AZ,再作一条与之垂直的直径XY. 3、作OY的中点M. 4、以M为圆心,MA为半径,作圆弧⌒AN和半径AX交于N. 5、以A为圆心,AN为半径,在圆上连续截...