为什么1+1=2

1+1=2为什么~

1+1为什么等于2？

1+1=2，幼儿园里的小孩都知道，就是这么简单的东西，却耗费了大数学家陈景润一生的心血，虽大有斩获，却临终也不敢说1＋1就是等于2。为什么？是不是我们每个人都知道这里面的奥妙呢？
先来点儿基础知识：
偶数：能被2整除的数，如2、4、6、8、10、12、14、16、18、20等等。
质数（以前叫素数）：只能被它自己和1整除的数，如2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97等等，不知道谁规定的1不是质数。
哥德巴赫猜想：任何一个大偶数（大于等于6），都是两个奇质数之和（即：除2之外的任何质数）。
原文是：任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；任何不小于9的奇数，都是3个奇质数之和。
此人1742年6月7日提出了这个猜想，经过世界各国几代数学家的不懈努力，直到1920年才多少有了点的眉目，真是“不学无术”，只会提问题，不会解决问题，弄得后人为他这一句话忙活了几百年，直到现在还没解决。但后来有人说，提出问题的人比解决问题的人更有学问，你说是吗？
验证一下这个猜想，先从小偶数开始：
6=3+3，8=5+3，10=5+5=3+7，12=7+5，14=7+7，16=13+3=11+5，18=13+5，20=17+3=13+7，22=19+3=17+5=11+11，24=19+5=17+7=13+11，26=23+3=19+7=13+13，28=23+5=17+11=15+13，30=23+7=19+11=17+13，好像都对，但是，是不是一个非常大的偶数，也是两个质数的和呢？
算了，不验证了，这样下去何年何月才是个头啊？！况且有人用超级计算机已经验证到2的3000多次方，都符合上述规律。但再大的数会不会也符合这个规律呢？难道你没看出点门路来？就没明白1+1=2是什么意思？
用一个公式来说明：2N=p+q。（此公式如被证明是对的，那么哥德巴赫猜想就不是猜想，而是定理了）
说明：N={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14...}，p、q是大于2的质数。
我的理解：1+1=2是指任何一个大于等于6的偶数，都可以分解为两个质数相加，而不需要3个，或更多个。
陈景润完成了1＋2，即需要3个，距离仅需要2个还有千里之遥。
要想完全证明1+1=2，还待时日。

再补充一点东东：
有人说，证明“猜想”，本来是非常简单的，却把简单的问题复杂化作为什么高深课题去研究，葬送了一批批数学家的青春年华。说不定什么时候，某个“权威”提出要证明2=1+1，用什么“高级微分数论筛法”筛出2=1+0.999¨¨¨来，也许会轰动一时。正如列宁说的，没有上帝，也要弄些泥巴捏出一个上帝来供人们朝拜。2=1+1，幼儿园的小朋友都明白，如果2=1+0.999……,或者2 =1+1.000……1，一些小学生也感到茫然，以为是什么高深的学问。李政道博士说过，把简单的问题复杂化不是学问。
这只是对数学一无所知的人的谣传。
陈氏定理（陈景润先生）：每个大于等于12的偶数可以表示成p+q1*q2(应是[P2×P3 ],未定义q1、q2为素数，下同)的形式，其中p,q1,q2都是素数。这个定理简称为1+2（1+2=3，应为“1+2”，这是很简单的基本知识，做学问既要谦虚，又要扎扎实实，不能浮躁。）。在陈氏定理之前，有认证明过：每个大于等于30的偶数可以表示成p+q1*q2*q3的形式，其中p,q1,q2,q3都是素数。这个定理简称为1+3（1+3=4，应是“1+3”）。我想现在你可以知道了：1+1（1+1只是加法,应该是“1+1”）只是一个简称，代表的是：每个大于等于6的偶数可以表示成p+q1的形式，其中p,q1都是素数(奇素数）。这个命题简称为1+1（应该是“1+1”），其实就是哥德巴赫猜想了。
你现在可以自己推广一下简称为1+n的定理，甚至相象2+n,3+n...，所有这些都是比哥德巴赫猜想弱。因为哥德巴赫猜想很难证明，历史上的数学家们希望可以先证明一些较弱的定理，从中找到证明哥德巴赫猜想的思路或者启示。目前最好的结果就是陈景润的1+1（应是“1+2”）。你有权利说这样的路子无助于解决哥德巴赫猜想，但别人也有权利认为这是一个好的思路。

下文曾于2019年11月28日发表于《返朴》。鉴于今时长假漫漫，许多朋友困居家中亟需精神食粮，《返朴》编辑部特择经典之作，旧文新品，以劳新老朋友。
创造?的来源是天真。你还记得自己在幼儿园时，将一个苹果和数字“1”联系起来，然后数着苹果计算“1+1=2”时遭遇的困惑吗？这种困惑或许并非偶然，我们接受的数学教育常常是抽象出概念而忽略具体差异的过程，但我们的思考方式却天?是范畴学的，它关注一个苹果和另一个苹果的不同，关注事物之间的相互关系。
80年前，物理学家为了研究量子系统中的对称性，把数学的群论引入了物理。今天物理学家为了研究复杂系统中的量子纠缠，又开始学习数学的范畴学。这类量子纠缠是用演生论的眼光来理解量子物态性质起源、基本粒子起源，甚至时空起源的关键。在还原论和演?论角逐的今天，范畴学正变得越来越重要。可以说，微积分对还原论的物理有多重要，范畴学对演?论的物理就有多重要。范畴学带来了超乎数学家想象的波澜壮阔，它在概念上统?了分析和代数，统?了离散和连续。今天我们就带着曾经对 1+1=2 抱有的好奇?，进入范畴学的奇妙世界吧！
撰文 | 孔良（深圳量子科学与工程研究院，南方科技大学）
引 言
这篇?章真的是讲你在幼?园学的1+1=2，不需要任何数学背景也可以读，只需要你有对1+1=2的好奇?。但是我们的动机却是要介绍数学??的范畴学的基本精神，所以有必要先简单提?下范畴学，不关?的读者可以直接跳过引?。
范畴学起源于代数拓扑，由Samuel Eilenberg（1913-1998）和Saunders Mac Lane（1909-2005）于上个世纪40年代提出。?从六?年代Alexander Grothendieck （1928-2014）?范畴学的语?重建了代数?何基础以来，数学中就出现了?范畴学替代集合论作为数学的新基础的潮流。这个潮流不但在数学??愈演愈烈，还在90年代被注?了新的强?动?：物理。?们发现描述二维有理共形量?场论和任意维拓扑序的数学语?也是范畴学。当然这也没有什么奇怪的，了解范畴学的?都不会惊讶。因为范畴学带来的变?是如此底层，它从根本上改变了我们看待数学（甚?是其他学科）的基本范式。?不了解范畴学的?可能会对这句话有很?的抵触。这个也是正常的，没有真正了解范畴学，会很难想象范畴学是可能的，也许看完此?，你的抵触会稍稍减少?些。我认为范畴学是继?顿的微积分?命之后，??次语?的?命，其实范畴学本身就是?个新的微积分。她的?量体现在许多??，?如：?个简单的范畴学的公式就可以完成?个复杂的量?场论的构造，或同时计算?穷多量?场论的融合 (fusion) ；很多复杂的物理和数学结构?然?然就是范畴学的；更重要的是，很多超越集合论的数学或物理事实只能在范畴学的意义下陈述和理解。仅仅是最后?条就告诉我们，有?个集合论之外的数学新?陆等我们去发现、去探索。现在还有更疯狂的猜测，那就是范畴学是多体量?纠缠和量?引?的基础。
范畴学的变?是如此底层，它会毫?疑问地在?乎所有科学领域发挥作?，包括逻辑学、数学、物理、计算机科学、语?学、社会学、经济学等等。所以让更多数学以外的?了解它是有意义的。本?就抛砖引?地讲讲，这个变?是如何的底层，底层到需要我们不断地回归，直到每?个?开始数学启蒙的那?刻。
一、1 + 1 = 2 ？
我相信我们每?个?的数学教育都是从1+1=2开始的，从那?刻开始，我们就开启了?场“去范畴化”的抽象数学之旅，?范畴学则是?场回归。
创造?的来源是天真。
－－ Alexander Grothendieck
我希望?家和我?起回到学龄前?童的状态。只有这样你才能看清问题的本质。
1+1=2 是很难理解的。我们真正理解了吗？也许你觉得没有什么困难，但是只有当你给?个从来没有听过 1+1=2 的学龄前?童解释的时候，你才能明?这个问题有多么困难。
第?个难点是：什么是“1”？
第?个难点是：什么是“＋”？
第三个难点是：什么是“＝”？
第四个难点是：什么是“2”？
什么是“1”？你确定自己知道什么是“1”吗？你?过1吗？?朋友不知道什么是“1” 。为了让小朋友理解数字，通常情况下，?师的教法是?实物，?如?带磁铁的?猪、?鸭、苹果、?蕉等等，把它们吸到带?属的?板上。真实可?的东?才是我们对存在的基本体验，其他都不太可靠。
让我?符号 O 来表示苹果，J 来表示?蕉。我们再把?个苹果放到?起，于是?板上出现了如下公式：
O+O=OO, （1）
好吧。我们?过苹果，所以O没什么问题。但什么是“＋”？什么是“＝”呢？
其实?朋友?般还可以接受（1），接受的办法就是忽略“＋”。（1）不就是 “OO=OO”吗？理解“＋”是很难的。我先跳过，先来谈谈“＝”，其实这个更难！
“＝”（等于）是?个很难理解的东?。在现实世界?我们基本没有?过两个完全?样的东?。“OO=OO” 两边的苹果其实是不?样的。真实情况往往是，也许它们的颜?有些区别，或者磁铁的吸?有些差别，等等。那么“＝” 就很难理解了。在?活?说中?时，我们不说等于，我们说“?样”。那么左边的“OO” 和右边的“OO”在什么意义下是“?样”的呢？
请让讲?个让我震惊的故事。我第?次在深圳中学做报告的时候，我说我不知道什么是“?样”，请中学?为我这样?个“学龄前?童”解释。然后有?位勇敢的同学上来，他分别从左边的OO和右边的OO ??各拿出?个苹果，然后把这两个苹果放在?起，再把剩下的两个苹果放在?起，他说这个就是“?样”。事实上他给出了左边OO和右边OO的?个??对应，可以??个图来代表他的这个??对应：


这个已经?够精彩了吧，但是精彩的还在后?。问题是你为什么要这么做？我们在学习?涯中就遇到很多的困惑，常常不清楚有些选择到底是有背后原理指导的，还是偶然的、随机的。其实孩?们是敏锐的。?定有看上去很“笨”的孩?会纳闷，为什么要这样？当时，这个同学解释完，我就问?家对这个“?样”的定义有何意?？然后就有很多学?对此发出质疑。?先，这样定义是不是?然的，合理的？其次，这样定义也不是唯?的，?如你还可以选择下?这个来定义“?样”：



说句?实话，我当时震惊了，我藏在后?的东?全被中学???发现了。?家看出来问题是什么了吗？
真实世界里可能没有两个东?是完全?样的（请让我忽略量??学?的全同粒?，我们现在在幼?园，没有听说量??学）。?般?家要看两个东??样不?样，就把这两个东??较?下。但是这两个东?不可能完全?样，所以?较的时候要忽略?些属性，一个极端的情况是，我们忽略一个苹果的所有内部结构和属性，把它看成一个既没有内部结构也没有附加属性的东西（就是集合论里面的元素）。这种情况下，一一对应就是一个很好的“一样”的定义。如果我们接受了这样定义“?样”是可?的, 即?“??对应”来定义“?样”。那么问题来了：
有两种不?样的“?样”还是?样吗？
现代数学或范畴学就是对这样?个基础的问题做了深刻的思考。现代数学或范畴学的观点是：有两种不?样的“?样”就是不?样，除?有?个?另?个更?然。?如：左边的苹果?个是红的，?个是绿的；右边也是?个红的，?个绿的。?个?然的“?样”是保持颜?的“?样”。但是在没有颜?这个附加“结构”之前，我们有两种不?样的“?样”，其实就是不?样。
为那些有线性代数基础的读者加?段：
这个问题看似简单，但是却是?个核?问题，在数学???泛出现，造成很多初学者的困惑。?如中国的不少教科书把线性代数教成了矩阵代数。很多学??想到?个线性空间，就?动给它装上?个向量基。事实上，（线性空间＋给定的基）是和线性空间完全不?样的数学结构！不明?这个就?法明??个线性空间和它的对偶空间的区别，到了微分?何，也会困惑切空间和余切空间的区别。?个有限维线性空间和它的对偶空间有?数线性同构，但是没有?个是?然的！但是?个有限维线性空间到它的对偶空间的对偶空间有?个?然的同构。
我们注意到上?反复出现了“?然”这个词。?范畴学的起源，就是Ellenberg-Mac Lane试图定义什么是“?然”，由此引发了“?然变换” (natural transformation) 这个概念，为了定义“?然变换”，需要引?“函?“（functor）的概念，为了定义函?，?需要引?“范畴”（category）这个概念。
本?不想?进这些概念细节，但是我们希望能够展示?下范畴学的基本精神。粗略地说：所有苹果可以看成?个“范畴”，?所有?蕉是另?个“范畴”，它们都可以放到?个更?的叫“?果”的范畴??。
我们想说，从OO抽象出来?个“2”的概念其实是?常困难的，?且往往需要很暴?的做法。?师在引?“2”之前，为了加深理解，还会再放两个?蕉。我们姑且?J来代表?蕉。于是?板上?出现了如下公式：
J + J = JJ， (2)
但是同样的问题仍然会令我们烦恼。更加令?困惑的是?师有的时候还要在?向“2”的路上做更多让我们困惑的事情，?如为了硬说这些都是“2”，还可能有这样的公式出现：
OO=JJ.
这样不在?个“范畴”能“?样”吗？甚??不留神，?如苹果不够?了，可能临时还会出现下?的公式：
O + J = J + J.
疯掉了，苹果和?蕉能加吗？苹果和?蕉不在?个“范畴”怎么能加呢？事实上，我们可以说?个苹果是“1”，?个?蕉也是“1”，它们都是“1”的代表，但是从这些可以作为“1”的代表中抽象出来“1”这样的概念是?常困难的。也许那些连1+1=2都听不懂的孩?不是笨，?是把握住了?些深刻和本源的东?。
我们来看看范畴学怎么解读1+1。
二、范畴学的观点：万有性质
范畴学的观点就和我们最天真的看法?样，?个苹果是“1”，?个?蕉也是“1”。它们都是“1”的代表。既然只是代表，是不是说它们都还不是“1”？那么到底什么是“1”呢？
“1”应该反映出来所有这些“1”的不同代表所具有的“共有性质”。数学家给这个“共有性质”起了?个正式的名字叫“万有性质” (universal property) 。如何写下这些“1”的不同代表的共有性质呢？
范畴学提供了?种全新的视?。不要?“?个研究对象”??“有什么东?”这样?常集合论或还原论的?式去看问题，?要以对象和其他对象的相互关系的?式来了解?个对象。这个?式其实是我们理解世界更根本的?法，?如你想了解?个未知的“存在”（如粒?、材料等），你怎么办？你会?你熟悉的东?打进去去看看会测量出来什么。物理学家会测?个新材料的发光谱和吸收谱，打X光进去看看X射线衍射；数学家会把球?扔进?个未知空间来测量，或看看能不能让?个群作?上去，等等。?能加速器的云室??测的不是粒?的轨迹，?是粒?和其他东?相互作?的轨迹。没有相互作?，测量也?从谈起。可以?分安全地说：
这个世界上没有?相互关系或相互作?更基本的存在。
既然如此，我们可以尝试?相互关系来定义什么是“1”。
我们先回顾?个概念：集合之间的映射 (a map) 。集合就是?堆元素的“集合”，呵呵。不过值得指出的是，空集也是?个集合，就是?个没有元素的集合。那么什么是两个集合A和B之间的映射呢？?如考虑两个集合X＝{a,b}, Y={1,2,3}, ?个从X到Y的映射，记成



或



这其实就是?个分配规则：给X中的每?个元素分配唯??个Y中的元素。?如，f(a)=1, f(b)=1 就是?个合理的映射, g(a)=2, g(b)=3 也是?个映射。但是不能给a分配两个Y中的元素！如果集合X??没有元素（空集），等于分配规则?动定义好了，这个什么都不需要分配的分配规则就叫空映射。
有了这些准备，我们可以给出?下定义。
定义：1 就是这样?个集合，任何?个集合到它都存在且有唯??个映射[1]。我们有?个简洁的图来记录这个定义：对任意集合X，我们有



这?“



”是指“存在”，“！”是指“唯?”[1]。另外要注意，定义中“对任意集合X”也?常重要！不是对?个特别的集合，?是所有集合！
?家看到没有，这个定义???到了“1”和所有集合的关系，这件事相当重要。不过第?次看到这个读者可能更关?的是，为什么这是“1”的?个合理的定义呢？我们来看看，?个苹果的集合满不满?这个定义？?个?蕉的集合呢？或者，零个或三个?蕉呢，?或者所有中国?的集合？
如果你愿意尝试，你很快会发现，零个?蕉是不?的，因为它破坏了定义中映射“存在性”条件。“三个?蕉”也是不?的，因为它破坏了映射的“唯?性”。什么集合可以呢？就是那些只有?个元素的集合，?如?个苹果的集合、?个?蕉的集合、?个鸡蛋的集合、?个?的集合，等等，它们可以同时保证存在性和唯?性。
所以这样定义的“1”不唯?，这个好像是?个缺陷，但是妙的地?是，所有可能的“1”都有且仅有?种?式互相对应起来，这是由“存在性”和“唯?性”决定的，和“1”的具体内容?关。就像教?朋友时，可以??个苹果代表1，也可以??个?蕉代表1，?且我们知道如何把它们等同起来! 你能相信吗，幼?园虽然很努?地教“去范畴化”的数学，但教的?法是?法回避的范畴学！因为这就是它的本来??。
?这个定义也被称为“1”的“万有性质”。也就是说，我们?“1”的性质来定义“1”，?不是?“1”??有什么东?来定义“1”。所有的数学概念都可以?它的“万有性质”来定义，我说的是“所有”，是的，你没有听错！
好极了，如果你还能跟上我，我们就再来?个。
定义：0就是这样?个集合，它到任何?个集合都存在且有唯??个映射。即对任意集合X，我们有：



这个留给?家做练习吧。——科普还要留作业？没听说过，呵呵。不过想明?了这个习题，?上就福利了，可以??去摧残?朋友和她们的??啊。哈哈。
三、范畴学怎么解读 1+1 ？
好了，真正的挑战或摧残来了，我们终于可以看看什么是1+1了。和“1”?样，“1+1”也会有很多不同的代表，?如，2个苹果或2个?蕉，等等。那么“1+1”应该是什么呢？应该是所有这些代表所拥有的共性，即万有性质。下?我们就来揭示“1+1”的万有性质。我先擦擦汗。
开动脑筋的时候到了



这就是“1+1”的万有性质，也同时是它的定义。如果我们?图来记录上?1+1的定义或万有性质，那么就是下?这个被称为“交换图”的东?。



所谓图是交换的意思就是：



，



。这个定义为什么就是我们熟知的1+1呢？这还真是不好解释。主要是需要解释的有点?多，能留做习题吗？我们不是还有很多强?的读者吗？就看你们的了。我已经被摧残得不?了，需要休息，休息?会?。



休息，休息?下
我想指出的是：
（1）虽然我们没有规定a和b必须是什么，但是万有性质导致了a和b不能任意选。不同的a 和 b且满?万有性质的选择将被视为不同的1+1的代表！也就是说定义1+1需要有三个东?：(1+1, a, b)。
（2）满?1+1的定义的集合是不唯?的（都是代表），但是存在性和唯?性使得，它们任意两个代表之间都有唯?的?种?式??对应起来。这?点相当的重要，但是我不是很想展开来说，可能也需要读者中的达?来解读。
（3）万有性质的另?奇妙的地?是，它不但定义了概念，还告诉你它是怎么?的，就是?来构造那个存在唯一的箭头！?且这是唯?的?法！这?点?概没有?过的?是很难体会的。这个集定义与应?于?身的特点也强烈证明了这是?个好的定义。
作业1: 我们到底是定义了2还是定义了“+”？
作业2：1 + 1 + 1 咋定义？
作业3：1 x 1咋定义？（提示：把定义1+1的那个图的箭头都反过来）。
作业3相当有意思，箭头都反过来就可以了？其实这也就是在说，乘法是加法的对偶概念。范畴学?逼的地?是说，数学?的所有概念都是这样的！数学?的所有概念只有两种：?种叫做“极限”（?如1 x 1），?种叫“余极限”（?如1+1）。其他没了。呵呵。所以范畴学把数学中的所有概念都放在了?个统?的框架??来看。
众位看官可能要纳闷，这个怎么能叫“极限”呢？极限不是?个?限的（逼近）过程吗？事实上，?家熟悉的所谓“极限”不过是??个有?限节点的交换图，并以和1+1 或1 x 1同样的?式来定义的概念?已。?如，对任意构成如下图的实数X，我们有：



其中“1”是通常意义下的?个实数（不要理解成集合），箭头的意思就是“≤ ” (?于等于）（不是集合之间的映射！）。这个图说的是，?个序列：0.9, 0.99, 0.999, ... 的极限是1。?范畴学的语?说就是1是图表 0.9→0.99→0.999→... 的余极限。
怎么看呢？X是这样的?个实数，序列 0.9, 0.99, 0.999, ...中的每?个数到X都有?个箭头，意思是说，序列 0.9, 0.99, 0.999, ...中的每?个都 ≤ X 。?1就是这样的?个数，?且是最?的那?个，对吧？
所以范畴学是?动包含你熟悉的微积分的，但是她能做更多！事实上范畴学在概念上统?了分析和代数，统?了离散和连续，1+1和传统意义上的极限没有本质的区别，不过是涉及的交换图有?有??已。
作业4:如果箭头的意思改成“ ≥ ”，相当于上图的箭头都反过来。则在范畴学的意义下，我们得到“1”是?个图表的极限。
另外你应该还注意到，范畴学中的箭头可以不是映射，可以是任意可能的关系。?如“≤ ”，再?如，在所有中国?构成的范畴??，我和你本没有关系，但是如果我们都追同?个?孩?，这样我们就有了情敌的关系，这也可以是范畴学中所研究的相互关系。这个例?还可以想象，可很多时候，在范畴学中出现的所谓“相互关系”是千奇百怪的，甚?是超越想象?的。
四、范畴学、物理和计算
我想?定有?觉得快发疯了，1+1搞的这么复杂。我想强调的是，这个故事并不是“复杂”，?是1+1的本来??。不过读者也可以反对说，“去范畴化”才是真的有?，1+1搞的这么复杂的话，没法??便地计算了。所以这样理解1+1，就算是本来??，怎么可能有?呢？
这样定义的1+1确实有些复杂，并不实?，但这是???去杀鸡，当然就看不到它的?量了，???在可以通杀?切众?。其实范畴学是研究?穷维数学结构的强??具，在那?她的?量就能够真正地显露出来。?如在研究量?多体系统的时候，有能隙的量?多体系统的边界和内部的关系可以由下?这个万有性质来定义[2]。



这图啥意思？啥意思不重要。重要的是，你发现没有，?个具有?穷?由度的复杂物理系统，边界和内部的关系竟然没有?1+1和1的关系更复杂！这是因为范畴学有能?把有限维的数学和?限维的数学统?在同?个框架下处理。值得?提的是，上?图表揭示的关系也同时刻画了弦论??开弦和闭弦的对偶！这些都是?穷维数学结构之间的对偶。如果真的把对偶两边的数学结构??成元和它们的关系写下来，会复杂得吓死?的。呵呵。
在演?论 PK 还原论的今天，范畴学越来越重要。这是因为范畴学就是为演?论准备的。你看看“1+1”难道不是从所有集合中演?的概念吗？同理，所有数学概念都是在包含?定意义下的“所有”对象的图表中演?的对象。甚?范畴学强调要放弃还原论的观点，不要问?个集合??的元素，?要去看映射，后者更加丰富。?如，?个集合X ??的?个元素其实就是1到X的?个映射！
这样的观点难道不就是加速器的原理吗？想知道粒???有什么东?，就拿其他东?，甚?是“它”??，去轰“它”。我想微积分对还原论的物理有多重要，范畴学对演?论的物理就有多重要。范畴学和物理学家理解??然的基本?法和原理是完全相合的，她们都强调：
没有?相互关系或相互作?更基本的存在，其他都是演?的。
范畴学和物理的关系当然值得?书特书，很多最前沿的论?都在不断地讲述这个关系。这?我们点到为?，虽意犹未尽，只盼能抛砖引?，诱发?家的兴趣。
如果说范畴学在数学?很基本，那么在物理或其他学科??是不是也应该很基本？现实是，在物理中?的上范畴学的可能只是很少的?个?常小众的课题。这是为什么呢？这是暂时的还是?久的？范畴学会带来描述物理学的新的微积分吗？范畴学对未来的计算机科学会有何影响？图灵计算用bit（0和1），量子计算用qubit（2维线性空间），而范畴化的道路是，从数字，到线性空间，到1阶范畴，到2阶范畴，到高阶范畴，那么我们是不是可以畅想未来会有1阶范畴计算、2阶范畴计算？希望将来我们有机会来解读这些问题。
你们喜欢范畴学吗？欢迎?家来到范畴学的奇妙世界。
附录
?章结尾我们来谈谈学习范畴学的过程中常?的困惑和误解。
很多?（包括部分数学家）都抱怨范畴学抽象。我希望前?的讨论能够帮助?家意识到，我们的思考天?就是范畴学的，?引?“1”和“2”这样的抽象概念反?是“去范畴化”了。我们的数学教育从?开始就是“去范畴化”，?通常的微积分可以看作是“去范畴化”的经典之作。最终的结果是，我们?多数?第?次学“范畴学”都会觉得好“抽象”，呵呵。有可能是因为 “去范畴化”的数学教育让我们变得失去童真了。我记得有?次在做数学报告，有听众抱怨范畴学太抽象了。我说，抽象是?个没有意义的概念，不过你所谓的不抽象的东?是啥？他回答说?如上同调。我的天，上同调不抽象？好吧，我耐?地问，为什么你觉得上同调不抽象？他说，因为可以算啊。我说，原来可以算就是不抽象啊，这样的话，范畴学也不抽象，因为它也可以算。但是这也不重要，因为这个说法本身很荒唐，如果上同调是可以算的话，总没有1+1=2更好算吧？那么请问什么是“1”？平时我们嘴上说的所谓“不抽象”或“抽象”，其实就是“熟悉”或“不熟悉”。范畴学之所以显得“抽象”，就是因为我们在“去范畴化”的路上?了很远了，想要回归也没有那么容易，放下包袱是很难的。
我记得有?次和物理学家Michael Levin吃午饭，他说他花不少时间看范畴学，但是总觉得范畴学空泛的好像什么都没有。他的感觉没错，当然也不只他?个?这样抱怨。事实上，范畴学是和集合论?样底层的东?。就象你去看集合论?样，除了?些形式的定义，仿佛什么都没有。对物理学家来讲，看集合论?乎没有任何?处，真正有?的是微积分和线性代数。所以也只有当你看到了范畴学??的“微积分”和“线性代数”的时候，你才能理解它的强?。我认为，Grothendieck的代数?何就可以粗略地看成是?个新的“微积分”，?张量范畴理论 (tensor category theory) 可以看成是?个新的“线性代数”。范畴学??的“微积分”（或“线性代数”）都不是唯?的，?是千变万化的。对物理学最有?的“微积分”和“线性代数”可能还没有诞?。与集合论不同的是，对物理学家来说，集合论可以完全地忽略，直接跳到微积分和线性代数上，因为集合论的语?和基础被函数论的语?覆盖了。但是对范畴学来讲，想要跳过她的基础语?：范畴、函?、?然变换、Yoneda引理，直接学习她的“微积分”和“线性代数”是不可能的。遗憾的是，到?前为?，还没有?个适合物理学家读的范畴学的书。
还有?种误解是，范畴学已经建?好了，学好了?本范畴学的数学书，在物理上的应?可能就够了。如果你抱着这样的?态，那你注定要失望了。?先，把任何（不论她有多么优美）数学套?到物理上的想法都是缘?求?的做法。只有从物理实验或物理图像出发?发现的数学才是对物理有意义的，如果碰巧这个数学已经被数学家发现，那也只是偶然情况?已。通向未知之??多是没有现成的钥匙的。物理学真正需要的范畴学绝?多数还不存在，需要我们去?边发展物理，?边发展数学。在这种情况??，新的物理和新的数学没有区别，它们都是??然的隐藏结构。现在的范畴学还在发展的初级阶段，微积分可以发展?百年的话，范畴学?概也需要?百年。?我这些年的实践告诉我，物理能给我们带来的新的、超越数学家想象?的范畴学才是真的波澜壮阔。
致谢
感谢德国哥廷根?学的朱晨畅?师、清华?学?等研究院的汪忠?师和丘成桐数学中?的?垠?师、南科?量?科学与?程研究院的吴咏时?师和郑浩?师、麻省理?学院的??刚?师、中科院物理所的曹则贤?师和斯坦福?学的祁晓亮?师提出的很多宝贵意?。
注释
[1] 这??我们还是?到了“唯?”这个概念，好像是循环定义“1”的意思。其实我们可以从技术上回避它，?如：我们可以说万有性质中的（让图表交换的）映射构成的集合存在到集合{O}的双射，或者如果h和h‘使得图表交换，则h=h’（感谢知乎网友王英洁和凝结的火苗）。我们这?并不是想探讨数学的基础，?是展现?种对1和1+1的全新解读。不过从万有性质??不断地?“存在”和“唯?”可以看出，在?然哲学的意义下，“唯?”有可能是和“存在”同等基本的概念。

所谓的“1+1”或“1+2”都只是个简称。

有一个非常有名的“（1+1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。尽管听起来很神秘，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就就能理解其含义。原来，这是18世纪时，德国数学家哥德巴赫偶然发现，每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。

例如3+3=6； 11+13=24。他试图证明自己的发现，却屡战屡败。1742年，无可奈何的哥德巴赫只好求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想。欧拉很快回信说，这个猜想肯定成立，但他无法证明。

有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算，一直算到了330000000，结果都表明哥德巴赫猜想是对的，但就是不能证明。于是这道每个不小于6的偶数都是两素数之和[简称（1+1）]的猜想，就被称为“哥德巴赫猜想”，成为数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”。

1956年底，已先后写了四十多篇论文的数学家陈景润调到科学院，开始在华罗庚教授指导下专心研究数论。1966年5月，他象一颗璀璨的明星升上了数学的天空，宣布他已经证明了（1+2），即“充分大的偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和”。

1973年，关于（1+2）的简化证明发表了，他的论文轰动了全世界数学界。他的成果被国际公认为“陈景润定理”，也叫“陈氏定理”。

扩展资料：

1+1除了等于2外，在不同的情况下有不同的答案：

1、在二进制时。1+1=10；

2、布尔代数时。1+1=1；

3、作为代表时。如哥德巴赫猜想；

4、单位不同时。如1小时加1分等于61分；

5、在急转弯时。如1加1，答案是11；

6、特殊情况下。如一个男人加如一个孕妇等于三个人；

7、实际需要时。如一尺布加一斤米等于一袋米；

8、智力测验时。如一滴水加一滴水等于一滴水；

9、在猜字谜时。如一加一，答案是王；一加一等于，答案是田、由、甲、申等；

参考资料来源：百度百科-哥德巴赫猜想

1+1=2 是初等数学范围内的数值计算等式。

当某个原始人第一个意识到1+1=2，进而认识到两个数相加得到另一个确定的数时，这一刻是人类文明的伟大时刻，因为他发现了一个非常重要的性质——可加性。这个性质及其推广正是数学的全部根基，它甚至说出数学为什么用途广泛的同时，告诉我们数学的局限性。

人们知道，世界上存在三类不同的事物。一类是完全满足可加性的量。比如质量，容器里的气体总质量总是等于每个气体分子质量之和。对于这些量，1+1=2是完全成立的。

扩展资料：

皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

①0是自然数；

②每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数x' ，x' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；

③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；

④0不是任何自然数的后继数；

⑤设S是自然数集的一个子集，且（1）0属于S；（2）如果n属于S，那么n'也属于S。

(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)

更正式的定义如下： 　一个戴德金-皮亚诺结构是这样的一个三元组(X, x, f)，其中X是一个集合，x为X中一个元素，f是X到自身的映射，且符合以下条件：

x不在f的值域内；

f为一个单射；

若x∈A 且 " a∈A 蕴涵 f(a)∈A"，则A=X。

参考资料：1+1=2（数学公式）_百度百科  

皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
　皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 　①1是自然数； 　②每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数a' ，a'
也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）； 　③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；
　④1不是任何自然数的后继数； 　⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'
也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性) 　若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。 　更正式的定义如下：
　一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)： 　X是一个集合，x为X中一个元素，f是X到自身的映射 　x不在f的值域内.
　f为一个单射. 　若 并满足: 　x∈A 且 　若 a∈A, 则f(a)∈A 　则A=X. 　该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1.N(自然数集)不是空集 　
2.N到N内存在a→a直接后继元素的一一映射
3.后继元素映射像的集合是N的真子集
4.若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与N重合.
　能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理! 　例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据. 　
证明： 　1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3 　2的后继数是3 　根据皮亚诺公理
④
　可得：1+1=2
与偶与偶数相反相成对立统一、算术公理1+1=2与为什么1+1=2是一个既属于哲学范畴又属于数学范畴的综合矛盾，自然辩证法（哲学）与数学都无法回避的综合矛盾，…，为什么1+1=2：既简单又深刻：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（包含素数）确着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一，在系统中派生子集合，即在发展变化的过程中（仅以正的为例）分数1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，…或者说小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…纷纷分化出来占据整数的位置，充分地、十足地体现其小数（分数）哲理整性质，为奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17，…能被2哲理整除提供科学的理论依据与支持，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
……都是公理，2是数学公理系统首要公理，很显然，整数形成了广义整数、数论形成了广义数论、集合论形成了广义集合论、真理形成了广义数学真理、为量子力学奠定坚实基础，揭示着宇宙中微观世界原子中的质子、中子、核外电子等等基本粒子，即费米子、玻色子的某些运动（自旋）规律，广义整数、广义数学真理为量子力学奠定基础，量子力学又为广义数学真理提供科学的客观证据，希望得到专家的鼎力支持！…。
关键词：1、奇数，2、偶数，3、对立性、同一性，4、哲理整分数或哲理整小数，5、哲理整性质，6、对立统一规律，7、派生子集合，8、为什么1+1=2，9、广义整数，10、半整数等等
1、偶数与奇数蕴涵着哲学和数学意义的奇数规律：如果从自然辩证法（哲学）、数学角度出发去探索奇数与偶数这一对数学矛盾，偶数能被2整除、奇数不能被2整除的传统数学理论，仅仅涉及到了偶数与奇数的对立、排斥与差异性的一面，没有涉及到偶数与奇数（矛盾）的异中之同、差异中的共性与同一性，很显然是非完整的理性认识、带有片面性，…，如果奇数与偶数是一对带有数学意义的哲学矛盾，则这一矛盾的两个方面不仅拥有差异性与不同性、而且还存在着同一性——异中之同、差异中的共性，如果存在着差异中的共性与同一性，必须探索寻求科学依据，不能凭空而论，自然辩证法（现代哲学）和辩证数值逻辑共同发现：在数值逻辑公理系统中，派生子集合，（仅以正的为例）分数1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，15/2，17/2，……拥有相对整性质，因而从数值逻辑系统的发展变化的过程中产生分化出来，占据整数的位置、充分地十足地体现其分数哲理整性质、为什么会拥有（分数）哲理整性质，因为1/2是最大的分数单位，换言之，小数（仅以正的为例）0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……的绝对值比其他小数的绝对值相对整装（不要被它小数性质的现象、假象所迷惑），因而从系统的发展变化的过程中差别、产生分化出来、占据整数的位置，即派生子集合，充当“整数”，充分地、十足地体现其小数哲理整性质，系统存在着完整的公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……的倍数关系或者说系统偶数环节上存在着2，4，6，8，10，12，14，16，……的公理、奇数环节上存在着3，5，7，9，11，13，15，17，……的公理，2是数学系统首要公理，哲理整性质为奇数（含素数）能被2哲理整除提供科学理论依据，为奇数与偶数这一对哲学与数学意义的矛盾提供同一性的科学依据，因此，自然辩证法（现代哲学）为怎样正确回答为什么1+1=2这一数学真理开辟了前进道路、指明了正确前进方向，所以，偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（含素数）确着实能被2哲理整除，二者不仅存在着对立性、排斥性、差异性，尤其存在着共性与同一性，即异中之同、差异中的共性，不容忽视，换言之，奇数与偶数存在着同一性、存在着相反相成对立统一的辩证关系，奇数与偶数不仅是一对拥有哲学内涵的矛盾，更是拥有数学意义的矛盾，那么当然需要辩证分析、辩证推理，当然需要自然辩证法的指导，更需要数学专家与哲学专家的鼎力支持，要突破传统的数学思维观念、突破传统经典数论与集合论的束缚，…。
2、哲理整分数、哲理整小数、哲理整性质：将分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，11/2，-11/2，……以及其绝对值所拥有的哲理整性质统称为哲理整分数，换言之，将小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，……，…以及它们的哲理整性质统称为哲理整小数，哲理整小数（哲理整分数）拥有相互矛盾的双重性质，其一是分数或小数性质，其二是哲理整性质…。何谓哲理整性质？即其他小数（其他分数）的绝对值比哲理整小数（哲理整分数）的绝对值更零散，换言之，哲理整小数（哲理整分数）的绝对值比其他小数（其他分数）的绝对值相对整装，这一相比较而言而得到的相对整性质与整数的整装性质构成异中之同、差异中的共性，将这一差异中的共性与同一性统称为小数哲理整性质（分数哲理整性质），尽管二者是相对而言，然而亦是一个客观存在，小数哲理整性质它为奇数能被2哲理整除提供了客观上的科学依据，这是自然辩证法的重大发现和自然辩证法的重大胜利！这是世界观的认识问题，很显然，哲理整小数（哲理整分数）具有相互矛盾的双重性质：其一是哲理整性质、其二是普通小数（普通分数）的性质，惟独哲理整小数（哲理整分数）拥有哲理整性质，其他普通小数（其他普通分数）并不具备哲理整性质，因为1/2是最大的分数单位，0.5是最大的小数单位、其内涵与外延仅仅使用于哲理整分数和哲理整小数，否则就是对本文哲理整性质的误读、误解，特此说明，…。
3、哲理整小数的哲学与数学意义：哲理整小数的哲学与数学意义：哲理整小数为奇数与偶数提供同一性，为奇数能被2
哲理整除、为数学真理为什么1+1=2提供科学依据，奇数与偶数是一对既属于哲学范畴又属于数学范畴的综合矛盾，整数与哲理整小数为偶数能被2整除、为奇数能被2哲理整除提供完整科学依据，单纯的数学角度去认识似乎无法正确理解与接受，成语相反相成，老子先生早在两千多年前就提出来了，相反的事物拥有同一性，奇数与偶数这对数学（哲学）矛盾也不例外，哲理整小数的哲学与数学意义主要是为奇数能被2哲理整除、为奇数与偶数存在者共性同一性提供科学依据，哲学（自然辩证法）为完整数学真理指明了正确前进方向！
4、哲理整（分数）小数拥有哲理整性质的科学依据和其来源：很显然，哲理整（分数）小数具有相互矛盾的双重性质：其一是哲理整性质、其二是普通（分数）小数的性质，分数拥有分数单位、1/2是最大的分数单位，小数拥有小数单位、0.5是最大的小数单位，最大的小数单位“0.5”以及辩证数值逻辑中派生子集合为哲理整小数（哲理整分数）具有哲理整性质提供科学依据，因而，偶数能被2整除、奇数不能被2整除，如果将其极端绝对化了排斥掉了奇数与偶数二者的同一性，即如果排斥掉了奇数能被2哲理整除的性质，就要阻碍完整数学真理向前发展与突破，导致不可思议——千百年来数学基础数值逻辑自身的发展史充分地证明了这一点，偶数能被2整除，奇数不能被2整除的传统理论没有回答数学真理为什么1+1=2，未建立起数值逻辑公理系统，这是因为奇数不能被2整除，理论上无法直接承认、接受2是数学公理；这也是（数学）算术的一大遗憾，因为传统经典数论与集合论的系统只存在奇数环节、没有偶数环节，换言之只有奇数公理、没有偶数倍数的公理2，4，6，8，10，12，14，16…以及与其相对应着同一体系统，尽管高深的数理逻辑、高等数学具有无穷无尽的力量与作用，由于它们不能完全彻底取代数值逻辑的巨大意义与作用及其预算规律，因此偶数能被2整除，奇数不能被2整除的传统理论只把完整的数学真理认识了一半、仅仅涉及到了矛盾的对立性、差异性、它是在毕达哥拉斯时期形成的，另一半，即矛盾的同一性、异中之同差异中的共性——奇数能被2哲理整除亦很必要与重要；很显然，数论与集合论已经突破了传统经典的数论与集合论，形成了广义整数、广义数论与广义集合论、真理形成广义数学真理，广义整数为量子力学奠定坚实基础，…。
5、奇数与偶数蕴含着哲学的对立统一规律以及数学真理为什么1+1=2：本文将奇数与偶数这一对具有哲学内涵下的数学矛盾简单的归纳为：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（含素数）确着实能被2哲理整除，奇数与偶数不仅存在着对立性、排斥性、差异性，而且还存在着共性和同一性，即异中之同，差异中的共性，偶数能被2整除、奇数能被2哲理整除就是异中之同，差异中的共性与同一性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指偶数与奇数的对立、排斥、差异性，因此说，奇数与偶数（整数与哲理整小数）二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系，它揭示着2是数学公理系统的首要公理，自然辩证法、数学二位一体，辩证统一，这是世界观的认识问题，有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论，为什么1+1=2，我们的回答既简单又深刻：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（含素数）确着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一、存在着对立性与同一性，为哲学的对立统一规律提供理论依据，2是数学首要公理，…，是啊！为什么1+1=2它的确既简单又深奥，它简单的表面上看似就是小学生的基本知识，但它深刻、深奥地不可思议甚至不可理喻、难以理解与接受，世上有那么多的为什么，为什么迄今为止还没有数学真理为什么1+1=2出笼？是它客观上根本不存在还是我们地球人类没有对它形成理性认识？本文对此进行了探索性地回答，不妥之处敬请谅解，…。
6、辩证数值逻辑公理系统（笼统地、通项地表达为以下形式，不再展开来谈，符号：↓意指派生子集合）：{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5
↓……（此结构式上下交错对应莫散开）{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，………。
7、广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础：将整数与哲理整分数统称为广义整数，也就是把0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，4，-4，9/2，-9/2，5，-5，11/2，-11/2，6，-6，13/2，-13/2，7，-7，15/2，-15/2，……统称为广义整数；换言之，将整数与哲理整小数统称为广义整数，亦即将0，0.5
，-0.5，1，-1，1.5，-1.5，2，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6，-6，6.5，-6.5，……统称为广义整数，很显然，广义整数形成了广义数论与广义集合论，真理形成了广义数学真理，广义整数（离散量）亦为量子力学奠定坚实的基础，广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础、揭示着大宇宙中微观世界的原子、中子、质子、核外电子，费米子、玻色子等等粒子的某些运动（自旋）规律，...；示着宇宙中微观世界的原子、中子、质子、核外电子等等粒子、费米子、玻色子的自旋规律，整数与分数形式的半整数（小数形式的半整数）的数值逻辑对立统一规律揭示着，无论是宏观世界还是微观世界都蕴含着对立统一规律，对立统一规律是宇宙的普遍规律，费米子与玻色子的自旋运动规律亦蕴涵着对立统一规律，譬如费米子的自旋规律分别遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…、玻色子的自旋规律分别遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…，因此广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础，量子力学的半整数又为广义整数、广义数学真理提供客观上的科学证据与客观支持，…，潜无限、广义整数、广义数学真理的确派上了用场广义整数揭示着宇宙中微观世界的质子、中子、核外电子等等基本粒子，即费米子、玻色子的自旋规律，整数与哲理整分数（哲理整小数）的数值逻辑对立统一规律揭示着，无论是宇宙中的宏观世界还是微观世界都蕴含着对立统一规律，对立统一规律是宇宙的普遍规律，譬如费米子与玻色子的自旋运动规律亦蕴涵着对立统一规律，…,在量子力学中、譬如形如（n+1/2）或者（Z+1/2）的叫作半整数，量子力学为广义整数、广义数学真理提供客观的科学证据，广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础，很显然，在量子力学中对半整数亦尚未形成完整理性认识，其实所谓的“半整数”就是所谓的“哲理整分数或哲理整小数”，属于广义整数以及广义数学真理的范畴，至此，广义整数、广义数学真理已经拥有了客观的科学证据，本文数学真理从此并非所谓的空谈的数学理论，是数学真理就会拥有多方位的应用价值，为什么1+1=2也不例外，为什么1+1=2不仅是数学真理而且是数学的主要矛盾，解决好数学的主要矛盾是数学的首要任务与使命，在数学之初就应当解决好这一数学主要矛盾，令人遗憾的是那时还没有自然辩证法与辩证唯物主义哲学，那时的人们采用的哲学不行，使数学矛盾与问题滞留至今，为什么1+1=2属于算术问题与算术范畴，在专家面前属于“小儿科”，尽管属于“小儿科”，俗话说得好，最简单的、最质朴的、最基本的恰恰是最深奥的，数学（算术）是被应验了，1+1=2，一个最简单数值逻辑蕴涵着最深刻的数学真理，对立统一规律，2是数学首要公理，分数的哲理整性质（小数的哲理整性质）是算术（数学）的“弯弯绕”，是最为难以理解接受的数学知识与真理，数理逻辑、形式逻辑不可能推理、证明出分数1/2（小数0.5）所拥有的哲理整性质，只有使用辩证数值逻辑对其辨证认识、辩证分析、辨证推理，方能得到，……。

这取决于进制与单位
平常我们所使用的算法单位基本是自然数1，而进制为十，即需要十个符号表示1的个数，由0于单位1本身加上剩下8个自定符号完成十进制一阶算法，即，2表示为1+1，3表示为1+1+1，4表示为1+1+1+1以此类推，达到进制要求则使用位数进位表示。
十进制算法为常用算法，此外，还有二进制、八进制、十六进制等，如果需要，人类还可以搞出百进制甚至千进制。
以自然数1为单位的每一种进制算法本身需要创建的新符号个数为n-2。
并不是一开始1+1＝2，而是我们的算法需要一个符号来表示1+1。

所谓的“1+1”或“1+2”都只是个简称。
有一个非常有名的“（1+1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。尽管听起来很神秘，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就就能理解其含义。原来，这是18世纪时，德国数学家哥德巴赫偶然发现，每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。
例如3+3=6； 11+13=24。他试图证明自己的发现，却屡战屡败。1742年，无可奈何的哥德巴赫只好求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想。欧拉很快回信说，这个猜想肯定成立，但他无法证明。
有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算，一直算到了330000000，结果都表明哥德巴赫猜想是对的，但就是不能证明。于是这道每个不小于6的偶数都是两素数之和[简称（1+1）]的猜想，就被称为“哥德巴赫猜想”，成为数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”。
1956年底，已先后写了四十多篇论文的数学家陈景润调到科学院，开始在华罗庚教授指导下专心研究数论。1966年5月，他象一颗璀璨的明星升上了数学的天空，宣布他已经证明了（1+2），即“充分大的偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和”。
1973年，关于（1+2）的简化证明发表了，他的论文轰动了全世界数学界。他的成果被国际公认为“陈景润定理”，也叫“陈氏定理”。

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获嘉县18749184828： 1+1=2(数学公式) - 搜狗百科？
唱肿罗格： 1+1=2 是初等数学范围内的数值计算等式. 当某个原始人第一个意识到1+1=2,进而认识到两个数相加得到另一个确定的数时,这一刻是人类文明的伟大时刻,因为他发现了一个非常重要的性质——可加性.这个性质及其推广正是数学的全部根...

获嘉县18749184828： 数学中1+1为什么=2 - ？
唱肿罗格：[答案] 1+1为什么=2,是老祖宗规定等于2的.看你怎样理解;1、 手中拿一件东西向胳膊底下一加手中就没有了.2、 1+1=02、两个人结婚组成一个新家庭.1+1=13、 儿童计算数学.1+1=24、 两个人结婚,生出一个爱情的结晶变成三口之家...

获嘉县18749184828： 1+1为啥等于2啊? - ？
唱肿罗格：[答案] 在数学上等于2那是人定的 在物理上等于几都可以.+1=2不能证明,他只能说是一个定率.最原始的定律.1+1=2 目前还没有人证明出来他为什么=2 小陈 也只证明出1+2.就很了不得了.假设有一天有人证明出来1+1不等于2 这个世界不知道会变成什么样....

获嘉县18749184828： 1+1为什么会等于2啊? - ？
唱肿罗格：[答案] 原因就是1+1=2

获嘉县18749184828： 1+1为什么=2(哥德巴赫猜想) - ？
唱肿罗格：[答案] [1]N=P1+P2(简称{1+1}),N是大于或者等于6的偶数,P1和P2均为素数,这才是哥德巴赫偶数, [2]1+1并不等到于2,这是人们对哥德巴赫偶数的误解,

获嘉县18749184828： 1加1为什么等于2 - ？
唱肿罗格： |十|=2是数学的基石,不能证明,只是一个假设,所以我们是在1+1就=2的基础上学习数学应用数学.所以你也可以假设1+1=4,然后重新建立数学这个大厦,但是现在大家都接受了1+1=2它不过是个符号而已.

获嘉县18749184828： 1加1为啥子等于2嘛?解释一下? - ？
唱肿罗格：[答案] 1+1=? 这是一个答案开放的题目. 看单位,1个+1个=2个,1个+1对=3个,1对+1对=4个,1个指头+1只手=6个指头,1天+1周=8天,1打+1个=13个…… 当单位统一时,人们约定:1+1=2. 还可能=二,=十,=11,=王,=田,=旧,=丰,=贰…… 生活...

获嘉县18749184828： 为什么1+1=2? - ？
唱肿罗格： 1+1=? 这是一个答案开放的题目. 看单位,1个0+1个0=2个0=0,1个+1个=2个,1个+1对=3个,1对+1对=4个,1个指头+1只手=6个指头,1天+1周=8天,1打+1个=13个,…… 当单位统一时,人们约定:1+1=2. 还可能=二,=十,=11,=王,=田,=旧,=丰,=贰…… 生活中,1堆土+1堆土=1堆土,1堆土+1桶水=1堆泥…… 逻辑运算中,1+1=1 二进制中,1+1=10 哥德巴赫猜想:每个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和,即“1+1”. ……

获嘉县18749184828： 1+1为什么等于2为什么一定会等于2 - ？
唱肿罗格：[答案] 定义1的后续为1'(X'为X的后续).规定1的后续(后面的数)为2;2的后续(后面的数)为3等等. 1+1=1';而1的后续为2.所以1+1=1'=2 同理1+2=1+1'=2'=3 1+3=1+2'=3'=4 例:1+7=? 1+1=1'=2 1+2=1+1'=2'=3 1+3=1+2'=3'=4 ……...