有三个平行四边形如右图所示,判断这三个图形的面积Sa,Sb,Sc,的大小关系.(从左到右分别为平行四边形a、b、c
没有图是不能算的,但平行四边形面积为底乘高,你就能算出来。
立体几何基础题题库(二)(有详细答案)
51. 已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。
求:AM与CN所成的角的余弦值;
解析:(1)连接DM,过N作NE‖AM交DM于E,则∠CNE
为AM与CN所成的角。
∵N为AD的中点, NE‖AM省 ∴NE= AM且E为MD的中点。
设正四面体的棱长为1, 则NC= • = 且ME= MD=
在Rt△MEC中,CE2=ME2+CM2= + =
∴cos∠CNE= ,
又∵∠CNE ∈(0, )
∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为 .
注:1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长,再回到△CEN中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. 如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、F分别是BC、AD上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 。求异面直线AB与CD所成的角。
解析:在BD上取一点G,使得 ,连结EG、FG
在ΔBCD中, ,故EG//CD,并且 , 所以,EG=5;
类似地,可证FG//AB,且 ,
故FG=3,
在ΔEFG中,利用余弦定理可得
cos∠FGE= ,
故∠FGE=120°。
另一方面,由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角,于是AB与CD所成的角等于60°。
53. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=c,AB=a,AD=b,且a>b.求AC1与BD所成的角的余弦.
解一:连AC,设AC∩BD=0,则O为AC中点,取C1C的中点F,连OF,则OF‖AC1且OF= AC1,所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。
在△FOB中,OB= ,OF= ,BE= ,
由余弦定理得
cos∠OB= =
解二:取AC1中点O1,B1B中点G.在△C1O1G中,∠C1O1G即AC1与DB所成的角。
解三:.延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AE‖BD,所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角.连EC1,在△AEC1
中,AE= ,AC1= ,C1E= 由余弦定理,得
cos∠EAC1= = <0
所以∠EAC1为钝角.
根据异面直线所成角的定义,AC1与BD所成的角的余弦为
54. 已知AO是平面 的斜线,A是斜足,OB垂直 ,B为垂足,则
直线AB是斜线在平面 内的射影,设AC是 内的任一条直线,
解析:设AO与AB所成角为 ,AB与AC所成角为 ,AO与AC所成角为 ,则有 。在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB= , ,求异面直线SC与AB所成角的大小。(略去了该题的1,2问)
由SA⊥平面ABC知,AC为SC在平面ABC内的射影,
设异面直线SC与AB所成角为 ,
则 ,
由 得
∴ , ,
∴ , 即异面直线SC与AB所成角为 。
55. 已知平行六面体 的底面ABCD是菱形,且 ,证明 。
(略去了该题的2,3问)
解析: 设 在平面ABCD内射影为H,则CH为 在平面ABCD内的射影,
∴ ,
∴ ,
由题意 , ∴ 。
又 ∵
∴ , 从而CH为 的平分线,
又四边形ABCD是菱形, ∴
∴ 与BD所成角为 , 即
56.在正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,求异面直线AE与CF所成角的大小。
解析: 连接BF、EF,易证AD⊥平面BFC, ∴ EF为AE在平面BFC内的射影,
设AE与CF所成角为 ,
∴ ,
设正四面体的棱长为 ,则 ,
显然 EF⊥BC, ∴ ,
∴ , ,
∴ , 即AE∴与CF所成角为 。
57. 三棱柱 ,平面 ⊥平面OAB, ,且 ,求异面直线 与 所成角的大小,(略去了该题的1问)
解析: 在平面 内作 于C ,连 ,
由平面 平面AOB, 知,
AO⊥平面 , ∴ , 又 , ∴ BC⊥平面 ,
∴ 为 在平面 内的射影。
设 与 所成角为 , 与 所成角为 ,
则 ,
由题意易求得 ,
∴ ,
在矩形 中易求得 与 所成角 的余弦值: ,
∴ ,
即 与 所成角为 。
58. 已知异面直线 与 所成的角为 ,P为空间一定点,则过点P且与 , 所成的角均是 的直线有且只有( )
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
解析: 过空间一点P作 ‖ , ‖ ,则由异面直线所成角的定义知: 与 的交角为 ,过P与 , 成等角的直线与 , 亦成等角,设 , 确定平面 , , 交角的平分线为 ,则过 且与 垂直的平面(设为 )内的任一直线 与 , 成等角(证明从略),由上述结论知: 与 , 所成角大于或等于 与 , 所成角 ,这样在 内 的两侧与 , 成 角的直线各有一条,共两条。在 , 相交的另一个角 内,同样可以作过 角平分线且与 垂直的平面 ,由上述结论知, 内任一直线与 , 所成角大于或等于 ,所以 内没有符合要求的直线,因此过P与 , 成 的直线有且只有2条,故选(B)
59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
解析:D
60. l1、l2是两条异面直线,直线m1、m2与l1、l2都相交,则m1、m2的位置关系是( )
A.异面或平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
解析:D
61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条( )
A.4 B.6
C.8 D.10
解析:A
62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是( )
A.48对 B.24对
C.12对 D.6对
解析:B
棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.
63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
解析:B
∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°
64.异面直线a、b,a⊥b,c与a成30°角,则c与b成角的范围是
( )
A. B.
C. D.
解A.直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°
65..如图,空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动,则P、Q的最短距离为( )
A. B. C. D.
解析:B
当M,N分别为中点时。
因为AB, CD为异面直线,所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理,连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN= ,所以在RT△BMN中,MN= 。求异面直线的距离通常利用定义来求,它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直;再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步,而忽略第一步。
66. 空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=√3,则AD,BC所成的角为( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解B。 注:考察异面直线所成角的概念,范围及求法,需注意的是,异面直线所成的角不能是钝角,而利用平行关系构造可求解的三角形,可能是钝角三角形,望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。
67. 直线a是平面α的斜线,b在平α内,已知a与b成60°的角,且b与a在平α内的射影成45°角时,a与α所成的角是( )
A.45° B.60°
C.90° D.135°
解A
在 内的摄影是C,则 于C, 于B,则 平面ABC。
68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线,α与β交于l,m和n与l既不垂直,也不平行,那么m和n的位置关系是
A.可能垂直,但不可能平行
B.可能平行,但不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.既不可能垂直,也不可能平行
解析:这种结构的题目,常常这样处理,先假设某位置关系成立,在此基础上进行推理,若无矛盾,且推理过程可逆,就肯定这个假设;若有矛盾,就否定这个假设。
设m//n,由于m在β外,n在β内,
∴m//β
而α过m与β交于l
∴m//l,这与已知矛盾,
∴m不平行n.
设m⊥n,在β内作直线α⊥l,
∵α⊥β,
∴a⊥α,
∴m⊥a.
又由于n和a共面且相交(若a//n 则n⊥l,与已知矛盾)
∴m⊥β,
∴m⊥l与已知矛盾,
∴m和n不能垂直.
综上所述,应选(D).
69. 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E、F分别是AD、DD1的中点,则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于
解析:为了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一个面内取一点,过该点向另一个面引垂线(这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤)。
从图形特点看,应当过E(或F)作面BCC1的垂线.
解析:过E作EH⊥BC,垂足为H. 过H作HG⊥BC1,垂足为G.连EG.
∵面ABCD⊥面BCC1,而EH⊥BC
∵EH⊥面BEC1,
EG是面BCC1的斜线,HG是斜线EG在面BCC1内的射影.
∵HG⊥BC1,
∴EG⊥BC1,
∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。
在Rt△BCC1中:sin∠C1BC=
在Rt△BHG中:sin∠C1BC=
∴HG= (设底面边长为1).
而EH=1,
在Rt△EHG中:tg∠EGH=
∴∠EGH=arctg
故二面角E-BC1-C 等于arctg .
70. 将边长为1的正方形ABCD,沿对角线AC折起,使BD= .则三棱锥D-ABC的体积为
解析:设AC、BD交于O点,则BO⊥AC
且DO⊥AC,在折起后,这个垂直关系不变,因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角.
由于△DOB中三边长已知,所以可求出∠BOD:
这是问题的一方面,另一方面为了求体积,应求出高,这个高实际上是△DOB中,OB边上的高DE,理由是:
∵DE⊥OB
∴DE⊥面ABC.
由cos∠DOB= ,知sin∠DOE=
∴DE=
∴
应选(B)
71. 球面上有三个点A、B、C. A和B,A和C间的球面距离等于大圆周长的 . B和C间的球面距离等于大圆周长的 .如果球的半径是R,那么球心到截面ABC的距离等于
解析:本题考查球面距离的概念及空间想像能力.
如图所示,圆O是球的大圆,且大圆所在平面与面ABC垂直,其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径,弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离,OE是球的半径,因此,欲求OD,需先求出截面圆ABC的半径.
下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的 ,所以∠AOB= ×2π= ,同理∠AOC= ,∠BOC= .
∴|AB|=R, |AC|=R, |BC|= .
在△ABC中,由于AB2+AC2=BC2.
∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径.
∴|ED|=
从而|OD|= .
故应选B.
72. 如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,该图中,互相垂直的面有
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
答案(D)
解析:要找到一个好的工作方法,使得计数时不至于产生遗漏
73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心,那么AB和DM所成的角等于______
解析:90°连CM交AB于N,连DN,易知N是AB中点,AB⊥CN,AB⊥DN.
74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证MN⊥面PCD.(12分)
解析:
75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。
如图:(1)证明:PQ‖平面AA1B1B;
(2)求线段PQ的长。(12分)
评注:本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”;方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”。本题证法较多。
76. 如图,已知 求证a‖l
解析:
77.如图,ABCD为正方形,过A作线段SA⊥面ABCD,又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H,求证:E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。(12分)
解析:
78. 在正方体ABCD—A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心。
求证:A1O⊥平面GBD(14分)
解析:
79. 如图,已知a、b是两条相互垂直的异面直线,其公垂线段AB的长为定值m,定长为n(n>m)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动,M、N分别是AB、PQ的中点。
(1)求证:AB⊥MN;
(2)求证:MN的长是定值(14分)
解析:
80. 已知:平面 与平面 相交于直线a,直线b与 、 都平行,求证:b‖a.
证明:在a上取点P,b和P确定平面 设 与 交于 , 与 交于
∵ b‖ 且b‖
∴ b‖ 且b‖
∴ 与 重合,而 , ,实际上是 、 、a三线重合,
∴ a‖b.
81. 有三个几何事实(a,b表示直线, 表示平面),① a‖b,② a‖ ,③ b‖ .其中,a,b在面 外.
用其中两个事实作为条件,另一个事实作为结论,可以构造几个命题?请用文字语言叙述这些命题,并判断真伪.正确的给出证明,错误的举出反例.
解析:Ⅰ: a‖b
a‖ b‖
b在 外
Ⅱ:a‖b
b‖ a‖
a在 外
Ⅰ、Ⅱ是同一个命题:两条平行直线都在一个平面外,若其中一条与平面平行,则另一条也与该平面平行.
证明:过a作平面 与 交于
∵ a‖
∵ a‖
而a‖b
∴ b‖ 且b在 外, 在 内
∴ b‖ .
Ⅲ:a‖
a‖b
b‖
命题:平行于同一个平面的两条直线平行,
这是错的,如右图
82. 两个平面同时垂直于一条直线,则两个平面平行.
已知:、是两个平面,直线l⊥,l⊥,垂足分别为A、B.
求证:‖思路1:根据判定定理证.
证法1:过l作平面,
∩=AC,∩=BD,
过l作平面,
∩=AE,∩=BF,
l⊥ l⊥AC
l⊥ l⊥BD AC‖BD AC‖,
l、AC、BD共面
同理AE‖,AC∩AE≠,AC,AE ,故‖.
思路2:根据面面平行的定义,用反证法.
证法2:设、有公共点P
则l与P确定平面,
且∩=AP,∩=BP.
l⊥ l⊥AP
l⊥ l⊥BP
l、AP、BP共面,于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直,这是不可能的.
故、不能有公共点,∴ ‖.
83. 已知:a、b是异面直线,a 平面,b 平面,a‖,b‖.
求证:‖.
证法1:在a上任取点P,
显然P∈b.
于是b和点P确定平面.
且与有公共点P
∴ ∩=b′
且b′和a交于P,
∵ b‖,
∴ b‖b′
∴ b′‖
而a‖
这样内相交直线a和b′都平行于
∴ ‖.
证法2:设AB是a、b的公垂线段,
过AB和b作平面,
∩ =b′,
过AB和a作平面,
∩=a′.
a‖ a‖a′
b‖ b‖b′
∴AB⊥a AB⊥a′,AB⊥b AB⊥b′
于是AB⊥且AB⊥,∴ ‖.
84. 已知a、b、c是三条不重合的直线,α、β、r是三个不重合的平面,下面六个命题:
①a‖c,b‖c a‖b;
②a‖r,b‖r a‖b;
③α‖c,β‖c α‖β;
④α‖r,β‖r α‖β;
⑤a‖c,α‖c a‖α;
⑥a‖r,α‖r a‖α.
其中正确的命题是 ( )
(A) ①④ (B) ①④⑤
(C) ①②③ (D) ①⑤⑥
解析:由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确;若两条不重合的直线同平行于一个平面,它们可能平行,也可能异面还可能相交,因此命题②错误;平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行,也可能相交,命题③错误;平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行,命题④正确;若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面,那么这条直线与这个平面或平行,或直线在该平面内,因此命题⑤、⑥都是错的,答案选A.
85. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,M、N分别是A1B1,AB的中点,P点在线段B1C上,则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
(A) 垂直
(B) 平行
(C) 相交但不垂直
(D) 要依P点的位置而定
解析:由题设知B1M‖AN且B1M=AN,
四边形ANB1M是平行四边形,
故B1N‖AM,B1N‖AMC1平面.
又C1M‖CN,得CN‖平面AMC1,则平面B1NC‖AMC1,NP 平面B1NC,
∴ NP‖平面AMC1.
答案选B.
86. 已知:正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a.
(1) 求证:平面A1BD‖平面B1D1C;
(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离.
证明:(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵ BB1平行且等于DD1,
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形,
∴ BD‖B1D1,
∴ BD‖平面B1D1C.
同理 A1B‖平面B1D1C,
又A1B∩BD=B,
∴ 平面A1BD‖平面B1D1C
解:(2) 连AC1交平面A1BD于M,交平面B1D1C于N.
AC是AC1在平面AC上的射影,又AC⊥BD,
∴ AC1⊥BD,
同理可证,AC1⊥A1B,
∴ AC1⊥平面A1BD,即MN⊥平面A1BD,
同理可证MN⊥平面B1D1C.
∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离,
设AC、BD交于E,则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E.
∵ M∈平面A1BD,M∈AC1 平面A1C,
∴ M∈A1E.
同理N∈CF.
在矩形AA1C1C中,见图9-21(2),由平面几何知识得
,
∴ .
评述:当空间图形较为复杂时,可以分解图形,把其中的平面图形折出分析,利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系.证明面面平行,主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线,或者使用反证法.
87. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长为8,对角线B1C=10,D为AC的中点.
(1) 求证AB1‖平面C1BD;
(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离.
证明:(1) 设B1C∩BC1=O.
连DO,则O是B1C的中点.
在△ACB1中,D是AC中点,O是B1C中点.
∴ DO‖AB1,
又DO 平面C1BD,AB1 平面C1BD,
∴ AB1‖平面C1BD.
解:(2) 由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,D是AC中点,
∴ BD⊥AC,且BD⊥CC1,
∴ BD⊥平面AC1,
平面C1BD⊥平面AC1,C1D是交线.
在平面AC1内作AH⊥C1D,垂足是H,
∴ AH⊥平面C1BD,
又AB1‖平面C1BD,故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离.
由BC=8,B1C=10,得CC1=6,
在Rt△C1DC中,DC=4,CC1=6,
在Rt△DAH中,∠ADH=∠C1DC
∴ .
即AB1到平面C1BD的距离是 .
评述:证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线,如本题的DO.本题的第(2)问,实质上进行了“平移变换”,利用AB1‖平面C1BD,把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离.
88. 已知:直线a‖平面 .求证:经过a和平面 平行的平面有且仅有一个.
证:过a作平面与 交于 ,在 内作直线 与 相交,在a上任取一点P,在 和P确定的平面内,过P作b‖ .b在 外, 在 内,
∴ b‖
而a‖
∴ a,b确定的平面 过a且平行于 .
∵ 过a,b的平面只有一个,
∴ 过a平行于平面 的平面也只有一个
89. 已知平面 、 、 、 .其中 ∩ =l, ∩ =a, ∩ = ,a‖ , ∩ =b, ∩ = ,b‖
上述条件能否保证有 ‖ ?若能,给出证明,若不能给出一个反例,并添加适当的条件,保证有 ‖ .
不足以保证 ‖ .
如右图.
如果添加条件a与b是相交直线,那么 ‖ .
证明如下:
a‖ a‖
b‖ b‖
∵ a,b是 内两条相交直线,
∴ ‖ .
90. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c.
求证:a、b、c相交于同一点,或a‖b‖c.
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a、b β
∴a、b相交或a‖b.
(1)a、b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b
而a、b β,a α
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P,即a、b、c三线共点.
(2)当a‖b时
∵α∩γ=c且a α,a γ
∴a‖c且a‖b
∴a‖b‖c
故a、b、c两两平行.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用.
91. 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF.
求证:EF‖平面BB1C1C.
证法一:连AF延长交BC于M,连结B1M.
∵AD‖BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD=B1A,B1E=BF
∴DF=AE
∴
∴EF‖B1M,B1M 平面BB1C1C
∴EF‖平面BB1C1C.
证法二:作FH‖AD交AB于H,连结HE
∵AD‖BC
∴FH‖BC,BC BB1C1C
∴FH‖平面BB1C1C
由FH‖AD可得
又BF=B1E,BD=AB1
∴
∴EH‖B1B,B1B 平面BB1C1C
∴EH‖平面BB1C1C,
EH∩FH=H
∴平面FHE‖平面BB1C1C
EF 平面FHE
∴EF‖平面BB1C1C
说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内.
92. 已知:平面α‖平面β,线段AB分别交α、β于点M、N;线段AD分别交α、β于点C、D;线段BF分别交α、β于点F、E,且AM=m,BN=n,MN=p,△FMC面积=(m+p)(n+p),求:END的面积.
解析:如图,面AND分别交α、β于MC,ND,因为α‖β,
故MC‖ND,同理MF‖NE,得
∠FMC=∠END,
∴ND∶MC=(m+p):m和EN∶FM=n∶(n+p)
S△END∶S△FMC=
得S△END= ×S△FMC
= •(m+p)(n+p)= (m+p)2
∴△END的面积为 (m+p)2平方单位.
93. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.
求证:MN‖平面AA1B1B.
解析:本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”,即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行,除上面的证法外,还可以连CN并延长交直线BA于点P,连B1P,就是所找直线,然后再设法证明MN‖B1P.
分析二:要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”,因此,本题也可设法过MN作一个平面,使此平面与平面ABB1A1平行,从而证得MN‖平面ABB1A1.
94. 已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面.
(1)求证:EF⊥平面GMC.
(2)若AB=4,GC=2,求点B到平面EFG的距离.
解析:第1小题,证明直线与平面垂直,常用的方法是判定定理;第2小题,如果用定义来求点到平面的距离,因为体现距离的垂线段无法直观地画出,因此,常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题.
解:
(1)连结BD交AC于O,
∵E,F是正方形ABCD边AD,AB的中点,AC⊥BD,
∴EF⊥AC.
∵AC∩GC=C,
∴EF⊥平面GMC.
(2)可证BD‖平面EFG,由例题2,正方形中心O到平面EFG
95. 已知:ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,E是SC上一点.
求证:BE不可能垂直于平面SCD.
解析:用到反证法,假设BE⊥平面SCD,
∵ AB‖CD;∴AB⊥BE.
∴ AB⊥SB,这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾.
∴ BE不可能垂直于平面SCD.
96. 已知PA,PB,PC与平面α所成的角分别为60°,45°,30°,PO⊥平面α,O为垂足,又斜足A,B,C三点在同一直线上,且AB=BC=10cm,求PO的长.
解析:
97. 已知:如图,AS⊥平面SBC,SO⊥平面ABC于O,
求证:AO⊥BC.
解析:连结AO,证明BC⊥平面ASO.
98. 已知ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,M、N分别是SC、AB的中点.
求证:MN⊥AB.
解析:连结MB、MA,证明MB=MA.
99. 已知:如图,平面∩平面=直线l,A∈ ,AB⊥,B∈,BC⊥,C∈,求证:AC⊥l.
证明:∵ AB⊥,l
∴ l⊥AB
∵ BC⊥,l
∴ l⊥BC
∵ AB∩BC=B
∴ l⊥平面ABC
∵ AC 平面ABC
∴ l⊥AC
100. 已知:如图,P是∠BAC所在平面外一点,PD⊥AB,D为垂足,PE⊥AC,E为垂足,在平面BAC内过D作DF⊥AB,过E作EF⊥AC,使得EF∩DF=F.连结PF,求证:PF⊥平面BAC.
证明:∵PD⊥AB,DF⊥AB,PD DF=D
∴AB⊥平面PDF
∵PF 平面PDF
∴ AB⊥PF
同理,AC⊥PF
∵ PF⊥AB,PF⊥AC,BA AC=A
∴ PF⊥平面BAC
都相等。三个平行四边形同底等高
右面这个图形中一共有多少个平行四边形
右图中共有16个平行四边形和4个梯形。平行四边形是一个四边形,其中对角线互相平分。平行四边形它们有两组平行的边。例如,矩形和正方形都是平行四边形。梯形是一个四边形,其中有一组平行的边,但另一组对边不平行。我们通过分析右图来找出平行四边形和梯形的数量。我们观察到右图是由多个小四边形组成...
怎样能在同一平面内画出两个完全相同的平行四边形呢?
至少有三种方法。一、在平行四边形中间画一条横线,平行于上下底边;在平行四边形中画一条竖线,平行于左右斜线,图中共有六个平行四边形。如下图:二、在平行四边形中间画两条平行竖斜线,两条斜线都和斜边平行,图中共有六个平行四边形。如下图:三、在平行四边形中间画两条平行的横线,两条横线...
如何画一个平行四边形?
3、以一个格为单位,横着画六个格,竖着画三个格。这就是矩形,也是一种平行四边形。4、一个画在左边一个画在右边,那么就可以在你给的图中画两个不同形状的平行四边形了。5、要作出一个平行四边形,可以从平行四边形的性质,如对边互相平等、对边相等、一组对边平行且相等、对角相等、邻角互补、...
如右下图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是两条边的中点,三角形FCD与...
解答:三角形FCD与三角形BEC的面积是相等的。因为 平行四边形的面积等于底乘高 三角形的面积是等于底乘高的一半,而 三角形FCD与平行四边形ABCD同底(CD)等高(平行线间的距离处处相等),所以 三角形FCD的面积=平行四边形ABCD的面积的一半,同理: 三角形BEC的面积=平行四边形ABCD的...
一个平行四变形里面加一条线变成三个平行四变形
已知平行四边形ABCD,作AB边的平行线EF,可得三个平行四边形:ABFE,ABCD,EFCD 。
如右图,平形四边形ABCD中,CD=12Cm,直角三角形中,ED=8Cm,阴影部分面积比...
设EH=X,因为ED=8,则DH=8-X 因为四边形ABCD为平行四边行,则HF\/\/CD,根据平行线段的性质,可知三角形EFH和三角形DEC相似,则有三角形EFH的面积与三角形DEC的面积之比为X:8 平行四边形ABCD的面积=12(8-X),三角形DCE的面积=12*8\/2=48平方厘米,则三角形EFH的面积=6X,四边形FHDC...
如右图,这个平行四边形的周长是多少?
另一边=7.2×15÷9=12厘米;周长=2×(15+12)=54厘米;请采纳 如果你认可我的回答,敬请及时采纳,~如果你认可我的回答,请及时点击【采纳为满意回答】按钮 ~~手机提问的朋友在客户端右上角评价点【满意】即可。~你的采纳是我前进的动力 ~~O(∩_∩)O,记得好评和采纳,互相帮助 ...
平行四边形要怎样加一条线段才有三个平行四边形
在中间画一条平行上下底边的线(或者画平行左右的线),这样就分开成两个小平行四边形,加上原先大的一共三个
包含星的平行四边形有多少个?
答:含星的平行四边形总共有16个。具体解法如下图所示:这道题的关键是找出平行四边形,分六种类别,一、只含一个小平行四边形的平行四边形;二、含两,含两个小平行四边形的平行四边形;三、含三个小平行四边形的平行四边形;四、含四个小平行四边形的平行四边;五、含还六个小平行四边形的平行...
右图中一共有几个平行四边形?
答:有12个平行四边形
楚瑞云南:[答案] 三图中,阴影部分均为平行四边形面积的一半,而三个平行四边形的面积相等,由此可得:阴影部分的面积都相等. 故选:B.
湖南省13250947531: 有三个平行四边形,判断这三个平行四边形Sa.Sb.Sc,的东大小关系.(从左到右分别为平行四边形a.b.c) - ?
楚瑞云南: 三个平行四边形的为共同底边,低边上的高也相等. 所以三个平行四边形的面积是相等的.
湖南省13250947531: 在下图中,你能找出几个平行四边形?想一想.这几个平行四边形有什么关系 - ?
楚瑞云南: 图中的平行四边形有:AFGB,BFGD,CFGE共3个;答:图中的平行四边形有:AFGB,BFGD,CFGE共3个,这几个平行四边形等底等高.
湖南省13250947531: 下面三个平行四边形的面积相等,它们中阴影部分的面积也相等. - -----(判断对错 - ?
楚瑞云南: 由分析知:各个图形中阴影部分的面积都是平行四边形面积的一半,各图中阴影部分的面积相比较,一样大;故答案为:√.
湖南省13250947531: 如图所示,由六个相同的三角形组成的图形中有几个平行四边形! - ?
楚瑞云南: 8个
湖南省13250947531: 右图中平行线中三个图形面积相比较() - ?
楚瑞云南:[选项] A. 平行四边形面积大 B. 三角形面积大 C. 梯形面积小 D. 都有相等
湖南省13250947531: 如图所示是由三个相同的正三角形拼成的一个平行四边形ABCD,你能发现四边形ABCD中有几个平行四边形?为什吗 - ?
楚瑞云南: 解:在四边形ABCD中,ABCD有2个平行四边形.因为他们平行 - -
湖南省13250947531: 右图中,平行四边形被分成甲乙丙三个三角形,甲的面积比乙多18平方厘米,乙的面积与丙的比是二比三,这 - ?
楚瑞云南: 40(平方厘米). 解:设乙的面积为x平方厘米,则甲为(x+12)平方厘米,丙为 3/2x平方厘米. x+12=x+ 3/2x 3/2x=12 x=8 平行四边形面积:2(x+12) =2*(8+12) =2*20 =40(平方厘米) 平行四边形的性质: (1)平行四边形的两组对边分别...
湖南省13250947531: 根据如图所示的三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是 - ?
楚瑞云南:[选项] A. 3n B. 3n(n+1) C. 6n D. 6n(n+1)
湖南省13250947531: 如右图中,平行四边形被分成甲乙丙三个三角形.甲的面积比乙多15平方厘米,乙与丙的面积比为2:3这个平行四边形的面积是多少 用方程 - ?
楚瑞云南:[答案] 设:乙为2X, 平行四边形分为三个三角形,必有其中一个三角形面积等于另两个三角形面积之和,则有2X+15=2X+3X 解得X=5 ∴这个平行四边形面积=2X+15+2X+3X=7X+15=50cm²