两道近世代数题，即将考试希望各位帮忙解答（解释尽量详细），谢谢！

几道近世代数题，临近考试，麻烦各位帮忙解答（解释尽量详细）~

3. (A) 首先不是方阵没有行列式.
其次即便m = n可以算行列式, 运算的结果只是1个数1x1, 而不是mxn矩阵.
即便m = n = 1, 0没有逆元.
(B) 各元素非零的矩阵未必是可逆矩阵. 例如A = B =
1 -1
1 -1
可算得A·B = 0运算不封闭. 话说Q通常是有理数集.
(C)(D)都是群.

4. (A)关于加法不构成群, 所以不是环.
(B) 构成环.
(C) 加法不封闭, 例如E+(-E) = 0.
(D) 因为函数的值域未必包含于[-1,1], 复合其实没定义.

设a ≠ 0, 考虑a, a^2, a^3,...
由环的元素有限, 存在m > n使a^m = a^n, 则a^n·(a^(m-n)-1) = 0.
若a^(n-1)·(a^(m-n)-1) ≠ 0, 则a为零因子(a·a^(n-1)·(a^(m-n)-1) = 0).
若a^(n-1)·(a^(m-n)-1) = 0, 类似继续考虑a^(n-2)·(a^(m-n)-1)是否为零, 依此类推.
直至得到a^(m-n)-1 = 0, 则有a·a^(m-n-1) = a^(m-n-1)·a = a^(m-n) = 1, a可逆.
其实交换的条件是多余的.

不难，就是一点乘法和加法。
由题目知：1+a+a^6=0.(不想打alpha了，就用a代替)
a. 展开后=a^8+a^4+1=1+a^2+a^3+a^4.
b. 由题知：1+a=a^6
a^62=(1+a)^10·a^2
(1+a)^10=(1+a)^8·(1+a)^2=(a^8+1)(a^2+1)=a^5+a^4+a^3+1,
so,a^62=a^6+a^5+a=a^5+1.
大致就这么个方法，不断的化简。这个是我直接手打的，没有用笔算过，你自己再算一遍，看是否正确。

5.(C)构成域, 加法和乘法应该是复数乘法(算它印错了), 构成整环是显然的.
可验证非零元a+bi的逆是(a-bi)/(a²+b²), (非零元a²+b² ≠ 0).
(D)其实整环都不是, 例如[-1,0]上取0, 在[0,1]上取x的函数, 和[-1,0]上取x, 在[0,1]上取0的函数.
两个非零元乘积为0, 都是零因子.

三. 题目有个术语使用不当, 应该是主理想, 而不是主理想环.
Z3其实是个域, 域上的多项式环可以做带余除法.
对Z3[x]中的任意元素p(x), 设p(x) = ([1]x²+[1]x+[2])·q(x)+r(x), r(x)次数 < 2.
则p(x)在模<[1]x²+[1]x+[2]>意义下等价于余式r(x).
又Z3[x]中任意两个不同的次数 < 2的多项式一定不等价(<[1]x²+[1]x+[2]>中的非零元次数 ≥ 2).
所以Z3[x]/<[1]x²+[1]x+[2]> = {[[0]], [[1]], [[2]], [[1]x], [[1]x+[1]], [[1]x+[2]], [[2]x], [[2]x+[1]], [[2]x+[2]]}.
[[2]x+[1]]的逆也用带余除法, [1]x²+[1]x+[2] = ([2]x+[1])([2]x+[1])+[1].
在模<[1]x²+[1]x+[2]>意义下[[2]x+[1]]·[-[2]x-[1]] = [[1]].
调整一下"符号"([2] = -[1]), 有[[2]x+[1]]·[[1]x+[2]] = [[1]], 即[[1]x+[2]]是[[2]x+[1]]的逆.

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