数学难题

十大数学难题~

1、几何尺规作图问题

这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题

1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；

2.三等分任意角；

3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

4.做正十七边形。

以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

2、蜂窝猜想

四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为蜂窝猜想,但这一猜想一直没有人能证明。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。

3、孪生素数猜想

1849年，波林那克提出孪生素生猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人都认为是正确的。

4、费马最後定理

在三百六十多年前的某一天，费马突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 xn +yn = zn

的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）。

费马声称当n>2时，就找不到满足

xn +yn = zn

的整数解，例如：方程式

x3 +y3 = z3

就无法找到整数解。

始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。

5、四色猜想

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。

6、哥德巴赫猜想

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

例1: 鸡兔同笼，共有头100个，脚316只，那么鸡有多少只？兔有多少只？
例2：小李爱好集邮，他用10元钱买了6角和8角的两种邮票，共15张，那么他买了6角邮票多少张？8角邮票多少张？
例3：玄武湖小学有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分，男同学比女同学多多少人？
例4：学校举行数学竞赛，共20道试题。做对一题得5分，没有做一题或做错一题倒扣3分，刘浩得了60分，则他做对了几题？
例5：有一堆硬币,面值为1分,2分,5分,三种,其中1分是2分个数的11倍,已知这堆硬币面值总合是1元,5分硬币有多少个?
练习： 1、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔鸡各多少只？
2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一队翅膀，现在这三只小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每只小虫个几只？
3、鸡和兔共40只，鸡的脚数比兔的脚数少70只，问鸡与兔各多少只？
4、学校购买每只价格为4角和8角两种铅笔，共花了68元，已知8角一支的铅笔比4角一支的铅笔多40支，那么两种铅笔个买了多少支？
5、在一个停车场，停放的车辆（汽车和三轮摩托车）数恰好是24，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有3个轮子。这些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？ 6、某工厂共有27位师傅带徒弟40名，每一位师傅可以带一位徒弟，两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅人数的两倍，请问带两名徒弟的师傅有多少人？
7、某学校现有12间宿舍，住着80个学生，宿舍的大小有三种：大号房间住8个学生，中号房间住7个学生，小号房间住5个学生。其中中号房间的宿舍最多，问中间号的房间宿舍有几间？
8、今有鸡兔共35只，脚共有94只，求鸡兔各有多少只？
9、动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，他们共有30只眼睛和44只腿，问鸵鸟和长颈鹿各有多少只？ 10、三只昆虫共有18只，他们共有20对翅膀116条腿，其中每只蜘蛛无翅8条腿；每只蜻蜓有两队翅膀，6条腿；每只蝉有一对翅膀6条腿，问这三种昆虫各有多少只？
11、买语文书30本，数学书24本共花83.40元，每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和每本数学书的价格各是多少？
12、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采16个，雨天每天可采11个，一连采了若干天，有晴天也有雨天，其中晴天比雨天多3天，但采的个数却比晴天采的个数少27个，问一共采了多少天？
13、某次数学检测共有20提，作对一题得5分，作错一题扣1分，不做得0分，小华得了76分，问小华作对了几题？
14、甲乙两地相距12千米，小张从甲地到乙地，在乙地停留半小时后，有从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留了40分钟后，又丛甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲乙两地出发，经过4小时后，他们在返回途中相遇，如果小张速度比小王每小时多走1。5千米。求两人速度.
15、有辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破的瓶子不给运费，还要每只赔偿一元，结果得到运费379。6元，搬运中玻璃瓶破了几只？
16、一件工程，甲独做12天完成，乙独做18天完成，现在甲做若干天后，再由乙接着做余下的部分，这样前后功用了16天，甲先作了多少天？
17、开明书店5天买出“五年级数学同步练习”和“六年级数学同步练习“共120本，其中“六年级数学同步练习”每本5元，“五年此文转自斐.斐课件.园 FFKJ.Net级数学同步练习”每本3.75元。统计表明这五天内所卖“六年级数学同步练习”比“五年级数学同步练习”多162.5元。书店这5天所卖这两中书各多少本？
18、箱子里有红白两种颜色的玻璃球，红球是白球三倍多2个。每次从箱子里取出7只白球，15只红球，若经过若干次取球后，箱子里剩下3只白球，53只红球，箱子里原由多少只红球？ 19、甲乙两人射击。若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲不乙多10分，问甲乙各中几发？
20、佼佼和天天两位同学进行数学比赛，算对一题给20分，错一题扣12分，他们各算对了10题，共得208分，佼佼比天天多64分，问他们各算对了几题？
21、某考试已经举行24次，共426道题，每次出的题数有25道，或者16道，或者20道，那么，其中考25题的有多少次？
22、有首民谣“一队猎手一队狗，二对并着一起走，数头一共三百六，数腿一共三百九。”有多少个猎手和多少狗？（必考题哦）
23、用一元钱买4分，8分，一角的邮票共15张，最多可以买1角的邮票多少张？
24、某小学3名同学去参加数学竞赛，共有10道题，答对一题得10分，答错一题扣3分，不做的0分，他们都做了所有的题，一人得87，一人得74，一人得9分，他们一共答对了多少题？ 25、某班外出春游，买车票99张，共花280元，其中单程每张2元，往返每张4元，问单程与往返票相差几张？
答题不易，希望对你有帮助，答得可以请采纳(*^__^*)

1．（本小题满分10分）
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.
⑴求∠A的度数；
⑵若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝ ，求图中阴影部分的面积。

2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）
【材料一】：如图⑴，直线l上有 、 两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点 、 的距离之和最小，很明显点P的位置可取在 和 之间的任何地方，此时距离之和为 到 的距离.
如图⑵，直线l上依次有 、 、 三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点 、 、 的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点 处，此时距离之和为 到 的距离. (想一想，这是为什么？)
不难知道，如果直线l上依次有 、 、 、 四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点 和 之间的任何地方；如果直线l上依次有 、 、 、 、 五个点，则相应点P的位置应取在点 的位置.

【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为 .
【问题一】：若已知直线l上依次有点 、 、 、……、 共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 ；
若已知直线l上依次有点 、 、 、……、 共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 .
【问题二】：现要求 的最小值，
根据问题一的解答思路，可知当x值为 时，上式有最小值为

3. （本小题满分10分）
如图①，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离 、 （千米）与行驶时间 x（时）的关系如图②所示．

根据图象进行以下探究：
⑴请在图①中标出 A地的位置，并作简要的文字说明；
⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．
⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离 与行驶时间x的函数关系式．
⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

4．
已知抛物线 (a≠0)的顶点在直线 上，且过点A(4，0)．
⑴求这个抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
⑶设点C(1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使 的值最大，请直接写出点D的坐标.

5．
定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
⑴如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 .
图1
⑵在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹

图2
⑶如图2，，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由. 若此时AB＝3，BD＝ ，求BC的长.

6．
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止. 设运动时间为t秒．
⑴如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；
⑵在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

初三奥赛班数学难题训练【第一周】·顾问练案
30、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x轴于点B，交y轴于点A，以A点为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于点E、F两点，交直线AB于C点，连结BE、CF，∠CBD的平分线交CE于点H.
（1）求证：BE=HE；
（2）若AH⊥CE，Q为 上一点，连结DQ交y轴于T，连结BQ并延长交y轴于G，
求AT•AG的值；
（3）如图2, P为线段AB上一动点(不与A、B两点重合)，连结PD交y轴于点M，过P、M、B三点作⊙O1交y轴于另一点N，设⊙O1的半径为R，当k=时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.

24．（本题满分12分）
如图15，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，．
（1）求点的坐标；
（2）求证：是的切线；
（3）若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围．

30、证明：(1)∵AE⊥BD，∴=，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH，∠BHE=∠ECB+∠CBH，∠HBE=∠DBH+∠EBD，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.
解： (2)连结QC、TB，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB，∴ΔABG∽ΔATB，∴AB2=AG•AT，∵AH⊥CE，∴H为CE的中点，∴BE=EC，∴ΔBEO∽ΔCBE，∴==. 设⊙A的半径为R，由AB2－OA2=BO2，OE=R－3，得R2－32=4(R－3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT•AG=AB2=25.
(方法二提示:可连结AD,CD证ΔBAG∽ΔTAD)
(3)答：②的值不变.
证明：作O1K⊥MN于K，连结O1N、PN、BM，则MN=2NK， 且∠N O1K=∠NPM，
∴==2sin∠NO1K=2sin∠NPM， 由直线y=x+3 得 OB=OD=4，OM⊥BD，
∴∠BMO=∠DMO，
又∠BMO=∠ABM+∠BAM，∠DMO=∠MPN+∠PNM，∵∠ABM=∠PNM，
∴∠MPN=∠BAM=∠NO1K，=2sin∠BAM=2×= ， 所以的值不变，其值为 .
24、解：（1）如图4，连结
　······················································································ 1分
　，······················································· 2分
是的直径（也可用勾股定理求得下面的结论）
，　································································· 3分
，，（写错一个不扣分）····························································· 4分
（2）过点　··························································· 5分
当时，　　····························································· 6分
，
　　
（也可用勾股定理逆定理证明）····················································· 7分
是的切线········································································································ 8分
（3）过点 　······ 9分

望采纳，谢谢

24．（本题满分12分）
如图15，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，．
（1）求点的坐标；
（2）求证：是的切线；
（3）若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围．

30、证明：(1)∵AE⊥BD，∴=，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH，∠BHE=∠ECB+∠CBH，∠HBE=∠DBH+∠EBD，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.
解： (2)连结QC、TB，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB，∴ΔABG∽ΔATB，∴AB2=AG•AT，∵AH⊥CE，∴H为CE的中点，∴BE=EC，∴ΔBEO∽ΔCBE，∴==. 设⊙A的半径为R，由AB2－OA2=BO2，OE=R－3，得R2－32=4(R－3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT•AG=AB2=25.
(方法二提示:可连结AD,CD证ΔBAG∽ΔTAD)
(3)答：②的值不变.
证明：作O1K⊥MN于K，连结O1N、PN、BM，则MN=2NK， 且∠N O1K=∠NPM，
∴==2sin∠NO1K=2sin∠NPM， 由直线y=x+3 得 OB=OD=4，OM⊥BD，
∴∠BMO=∠DMO，
又∠BMO=∠ABM+∠BAM，∠DMO=∠MPN+∠PNM，∵∠ABM=∠PNM，
∴∠MPN=∠BAM=∠NO1K，=2sin∠BAM=2×= ， 所以的值不变，其值为 .
24、解：（1）如图4，连结
　······················································································ 1分
　，······················································· 2分
是的直径（也可用勾股定理求得下面的结论）
，　································································· 3分
，，（写错一个不扣分）····························································· 4分
（2）过点　··························································· 5分
当时，　　····························································· 6分
，
　　
（也可用勾股定理逆定理证明）····················································· 7分
是的切线········································································································ 8分
（3）过点 　······ 9分
········································································································ 10分

1. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=根号3。
（1）在变CD上找一点E，使EB平分“角AEC”,并加以说明
（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F。
①求证：点B平分线段AF②三角行PAE能否由“三角形PFB"绕P点俺顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数，若不能，说明理由

2. 如图,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠B=60°,∠BAC=∠D=90°,且AB=4根号3，点P是AC的中点，过点P的点任意直线l 分别交AD、BC于E、F两点。
(1)请你写出当直线EF在变化过程中四边形ABFE可能围成的特殊四边形名称______________（除任意梯形以外至少写出三种）
（2）根据（1）中你得出的结论，求出相应特殊四边形情形下线段AE的长（至少写出三种）

3. 四边形中ABCD中，AD//BC，AB丄AC，∠B=45°，AD=根号2，BC=4倍根号2，求DC旳长。

4. 正方形ABCD中,P为对角线AC上一点,连BP作QP垂直于BP交DC于Q点,CQ=5,AP=2倍根号下2,求正方形面积

5. 如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．

6. 如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接圆O交于点D，N为BC延长线上一点，且CN=CD，DN交圆O于点M
求证：(1)DB=DC

(2)DC²=CM.DN

7. BC为圆O的直径,AD垂直BC于D,弧BA=弧AF,BF交AD于E.若A,F为半圆的三等分点,BC=12,求AE的长

8. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径，在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交与E点，求：①△ADE的面积②求线段BF的长

9.△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．
10.如图,已知双曲线y1=1/x(x>0),y2=4/x(x>0),点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交双曲线y1=1/x于D、C两点，则△PCD的面积为_____。

题的内容呢?

同学请上题

那你直接做高中题好了，没难多少

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晨盲唐瑞： 1)康托的连续统基数问题. (2)算术公理系统的无矛盾性. 3.只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的. (4)两点间以直线为距离最短线问题. (5)拓扑学成为李群的条件(拓扑群). (6)对数学起重要作用的物理学的公理...

蕉城区13676793056： 世界上现在还没有解决的数学难题 - ？
晨盲唐瑞：[答案] 哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士.1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(...

蕉城区13676793056： 世界的十大数学难题是什么?？
晨盲唐瑞： 难题”之一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题 难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想 难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想 难题”之四: 黎曼(Riemann)假设 难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 难题”之七: 贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 难题”之八:几何尺规作图问题 难题”之九:哥德巴赫猜想 难题”之十:四色猜想

蕉城区13676793056： ＂23个数学难题＂都有哪些啊?? - ？
晨盲唐瑞： 希尔伯特23个数学问题及其解决情况 (1)康托的连续统基数问题. 1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设. 1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统...