因式分解十字交叉法的方法

求因式分解中的十字交叉法的方法，和步骤（我才刚学因式分解，详细些）~

多读便答

1．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为




即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解




所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：




它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)




原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)




原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．




原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)




原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

2．求根法

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

一、因式分解的基本方法，

1、提取公因式法，

2、公式法（平方差公式和完全平方公式）。

往往在题目中多少会涉及一些其他的知识，例如配方法和十字交叉法等。

二、十字交叉法

 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.

如图所示：

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式.（2）用十字相乘法来解一元二次方程.

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错.
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单.2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目.3、十字相乘法比较难学.
5、十字相乘法解题实例：
1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目 
例1：把m²+4m-12分解因式 
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题 。
因为 ：1 ↖   ↗  - 2 

                ↗  ↘        

             1            6 
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 
例2：把5x²+6x-8分解因式 。
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题 。
因为： 1 ↖   ↗  -2 

                ↗  ↘       

             5            -4

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 
例3：解方程x²-8x+15=0 
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5.
因为 ：1  ↖   ↗  -3

                 ↗  ↘       

            1            - 5

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 
所以x1=3 x2=5 
例4、解方程 6x²-5x-25=0 
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.
因为 ： 2 ↖   ↗  -5

             ↗  ↘       

          3              5

所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 
所以 x1=5/2 x2=-5/3 
2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 
例5把14x²-67xy+18y²分解因式 
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7,18y²可分为y.18y ,2y.9y ,3y.6y 
因为 ：2x ↖   ↗  -9y

                  ↗  ↘       

             7x             -2y

所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式 
分析：在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式 
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3 
7y ╳ -1 
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1） 
5 ╳ 4y - 3 
=（2x -7y +1）（5x +4y -3） 
说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
例如:
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x²+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解： 因为 1 2
5 ╳ -4
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解： 因为 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解： 因为 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3

十字交叉法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.
如以下形式：x²+（p+q）+pq=（x+p）（x+q）
例子：m²+4m-12=（m-2）（m+6）
5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
方法：因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
例如:
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x²+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解： 因为 1 ×2 ，5 ╳ -4
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解： 因为 1 -3， 1 ╳ （-5）
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

急求怎样用十字交叉法因式分解

例如：分解因式：6X^2-5X+1
原式=（1-2X）（1-3X）
方法是-2X 1
拆成 -3X 1
对应 6X^2 +1
所乘积的和等于一次项。

---

永吉县13559933545： 分解因式中,十字交叉法的具体方法有哪些 - ？
丛终乐朗： 将高次项系数的因子包括1和它本身与常数项的因子一一交叉配对 如高次项大于3时,还可用系数除法和待定系数法等

永吉县13559933545： 如何讲解十字交叉法因式分解 - ？
丛终乐朗：[答案] 1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式.(2)用十字相乘法来解一元二次方程.3、十字相乘法的优点:...

永吉县13559933545： 如何进行十字相乘法来因式分解请举几个例子,并且写出过程,谢谢! - ？
丛终乐朗：[答案] 例1 把2x^2-7x+3分解因式.分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分 别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数):2=1*2=2*1; ...

永吉县13559933545： 解一元二次方程用因式分解法时有个什么十字交叉法,aX²+bX+c=0将a分为两个数e、f(e*f=a);将c分为两个数g、h(g*h=c);使e*h+f*g=b;这就是十字交叉... - ？
丛终乐朗：[答案] aX²+bX+c=0 将a分为两个数e、f(e*f=a); 将c分为两个数g、h(g*h=c); 使e*g+f*h=b; 这就是十字交叉法.

永吉县13559933545： 十字交叉法因式分解怎么做 - 4a3+16a2b - 26ab2 (3是三次方,后面的2是二次方) - ？
丛终乐朗：[答案] -4a^3+16a2b-26ab2 =-2a(2a2-8ab+13b2)

永吉县13559933545： 请用易懂的语言说明一下十字交叉分解法 - ？
丛终乐朗：[答案] 1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 2、十字相乘法的用处:(1)用十字相乘法来分解因式.(2)用十字相乘法来解一元二次方程. 3、十字相乘法的优点:用十字相乘法来解...

永吉县13559933545： 关于数学2次方程分解因式的十字交叉法(详细一点,多给点例子)?还有其它初中部分数理化的特殊公式,详细一点(不要例题,搜索引擎的不要,灌水的... - ？
丛终乐朗：[答案] x^2-3x+2=0 1 -2 1 -1 (中间的十字我不画了,-3=1*-1+1*-2,2=-1*-2) 因式分解(x-2)(x-1)=0 是不是太简单自己编的例子.

永吉县13559933545： 数学因式分解中交叉相乘法怎么用??求大神指教 - ？
丛终乐朗： 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解. 1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数...

永吉县13559933545： 请给我讲解一下十字分解法,并举例说明 - ？
丛终乐朗：[答案] 十字分解法 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解. 1、十字相乘法的方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次...

永吉县13559933545： 怎么利用十字相乘法来分解因式?如何利用十字相乘法来分解因式?最好有图解和文字说明. - ？
丛终乐朗：[答案] 十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c...