利用定积分中值定理(a是常数), 可得n→+∞时lim∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=??
具体回答如图:
求极限一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ,并且要满足极限是趋于同一方向 ,从而证明或求得函数的极限值。
扩展资料:
当分母等于零时,就不能将趋向值直接代入分母,可以通过下面几个小方法解决:
第一:因式分解,通过约分使分母不会为零。
第二:若分母出现根号,可以配一个因子使根号去除。
第三:以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的,如果趋向于无穷,分子分母可以同时除以自变量的最高次方。(通常会用到这个定理:无穷大的倒数为无穷小)
设{xn} 是一个数列,如果对任意ε>0,存在N∈Z*,只要 n 满足 n > N,则对于任意正整数p,都有|xn+p-xn|<ε,这样的数列{xn} 便称为柯西数列。
这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。
参考资料来源:百度百科——极限
分部积分
∫[-a,a] (x^n)sinx dx
= [1/(n+1)] *∫[-a,a] sinx dx^(n+1)
= [1/(n+1)] *{ sinx *x^(n+1)| [-a,a] - ∫[-a,a] x^(n+1) con x dx }
= [1/(n+1)] *{ sina *[a^(n+1)+(-a)^(n+1) ] + ∫[-a,a] x^(n+1) con x dx }
因 (0<a<1)
所以0≦|∫[-a,a] x^(n+1) con x dx |≦∫[-a,a] |x^(n+1) con x | dx |≦∫[-a,a] dx≦2a
0≦|sina *[a^(n+1)+(-a)^(n+1) ] |≦1
因 lim [1/(n+1)] =0 n→+∞所以
lim ∫[-a,a] (x^n)sinx dx
=lim [1/(n+1)] *{ sina *[a^(n+1)+(-a)^(n+1) ] + ∫[-a,a] x^(n+1) con x dx }
=0 无穷小乘有界量仍为无穷小
若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续可积,则在区间[a,b]上至少存在一点ζ,使
∫(a→b) ƒ(x) dx = ƒ(ζ)(b - a),ζ∈(a,b)
或 ∫(a→b) ƒ(x)g(x) dx = ƒ(ζ)∫(a→b) g(x) dx
同样地对于∫(n→n + a) xsin(1/x) dx运用积分中值定理
函数xsin(1/x)在闭区间[n,n + a]上连续可积,则存在一点ζ∈[n,n + a]
使得∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = ζsin(1/ζ) • [(n + a) - n] = aζsin(1/ζ)
于是lim(n→∞) ∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = a • lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = a • 1 = a
注意这里的ζ,是n ≤ ζ ≤ n + a,当n趋向无穷时,ζ也趋向无穷
所以lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = 1,相当于重要定理lim(x→0) (sinx)/x = 1
利用定积分中值定理求极限
如图所示,可用积分中值定理与夹逼定理,结果是0。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!
积分中值定理公式是什么?
3.不等式证明 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式。当积分区间相同时,首先在同一积分区间上组合不同的积分,并根据被积函数满足的条件灵活运用积分中值定理,从而证明不等式的成立。在证明定积分不等式时,积分中值定理常被用来去掉积分符号。如果被积函数是两个函数的乘积,则可以考虑积分...
高数。定积分中值定理。到底是开区间还是闭区间啊??
开闭区间都可以,一般写成开区间。闭区间用介值定理证;开区间设积分上限函数用拉格朗日中值定理证明。中值定理是微积分学中的基本定理,由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点,它的斜率与整段曲线平均斜率相同(严格的数学表达参见下文)。中值定理又称为微分学基本定理,拉格朗日定理,...
积分中值定理的几种情况?
3、常数可以提到积分号前。4、代数和的积分等于积分的代数和。5、定积分的可加性:如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有 又由于性质2,若f(x)在区间D上可积,区间D中任意c(可以不在区间[a,b]上)满足条件。6、如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则 7、积分中值定理...
什么叫定积分中值定理?
写个一般形式,常用第一积分中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a , b]上连续,函数g(x)可积且不变号,则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ξ , 使 ∫(a, b)f ( x )*g(x)dx = f (ξ )*∫(a, b) g(x)dx.(a < ξ < b)...
积分中值定理的公式是什么?
积分中值定理的公式分为两种情况:积分第一中值定理,也被称为:费勒定理或有限覆盖定理。其现代形式如下:如果f在[a,b]上可积,那么存在一个点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))\/(b-a)。积分第二中值定理,也被称为:波尔察诺定理或中间值定理或均值定理。其现代形式如下:如果f在[a,b]上可积...
积分中值定理有哪几种类型?
2、求极限 在一些含有定积分式的函数极限的计算中,常常可以运用积分中值定理简化或转化问题。例如,当函数的极限形式为f(x)→∫(a,b)f(t)dt时,可以运用积分中值定理,将积分转化为函数的极限形式,从而简化问题,进而求出函数的极限值。3、不等式证明 在不等式中含有两个以上积分的不等式时...
中值定理在什么条件下才能使用?
可以证明U属于开区间(a,b),具体的证明要用到定积分性质(不等式性)(见同济大学第六版上册P236习题5-1,12题)以及闭区间上连续函数的介值性定理。中值定理只指出了kesai的存在性,但是没有规定kesai和积分上下限的关系,而在这里kesai和上限x的关系对极限至关重要。你假定kesai和x同阶,当然...
积分中值定理公式
因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理, 去掉积分号,或者化简被积函数。通常情况下,积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,仅就—元函数的积分第一中值定理进行阐述。积...
什么是积分中值定理?
积分中值定理,是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理,它们各包含两个公式。其中,积分第二中值定理还包含三个常用的推论。积分第一中值定理:若f在[a,b]上连续,则至少存在一点c属于[a,b],使得在[a,b]上的积分值等于f(c)(b-a)。推广:若f与g都在[a,b]上连续...
蹉湛乳腺:[答案] 首先重申一下定理吧: 若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续可积,则在区间[a,b]上至少存在一点ζ,使 ∫(a→b) ƒ(x) dx = ƒ(ζ)(b - a),ζ∈(a,b) 或 ∫(a→b) ƒ(x)g(x) dx = ƒ(ζ)∫(a→b) g(x) dx 同样地对于∫(n→n + a) xsin(1/x) dx运用积分中值定理 函数xsin(1/x)在...
大同市19329513734: 请问如何证明f(x)=A(A为常数)的原函数为F(x)=kx+b)?题目要求用微分中值定理证明. - ?
蹉湛乳腺:[答案] 用拉格朗日中值定理就可以做.[F(x)-F(a)]/(x-a)=A,所以F(x)=F(a)+A(x-a),其中F(a)是定值,所以F(x)=Ax+F(a)-Aa,令k=A,b=F(a)-Aa,就得到F(x)=kx+b.
大同市19329513734: (Ⅰ)将累次积分I(a)=∫2a0dy∫2ay−y20ex2+y2dx化成定积分,其中a>0为常数;(Ⅱ)求lima→0+I(a)ln(1+a2). - ?
蹉湛乳腺:[答案] (Ⅰ)由于积分区域D={(x,y)|0≤y≤2a,0≤x≤ 2ay−y2}={(r,θ)|0≤θ≤ π 2,0≤r≤2asinθ} 因此,利用极坐标转化二重积分 I(a)= ∫π20dθ ∫2asinθ0er2rdr = 1 2 ∫π20(e4a2sin2θ−1)dθ (Ⅱ)∵I(a)= ∫∫ Dex2+y2dxdy,积分区域D如(Ⅰ)所示 显然D的面积为: π 2a2,且...
大同市19329513734: 定积分中,积分中值定理证明题? - ?
蹉湛乳腺: 我来救你了!!用积分第一中值定理:f∈C[a,b],g∈R[a,b],且g在[a,b]上不变号(要么恒≥0,要么恒≤0),则存在c∈[a,b],s.t. S[a,b]fgdx=f(c)*(S[a,b]gdx) 还会用到数列的夹挤定理,即存在N,任意n>N,z(n)<=x(n)<=y(n)且z(n),y(n)的极限相同值为l则x...
大同市19329513734: 积分中值定理是什么? - ?
蹉湛乳腺: 原发布者:李舵496604338一、基本内容对定积分的补充规定:(1)当ab时,af(x)dx0;b(2)当ab时,f(x)dxf(x)dx.abba说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.性质1证a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx.bbbba[f(x)g(x)]dxnlim...
大同市19329513734: 设函数f(x)在[0,2]连续且可导,且f(2)=∫f(x)dx,上限1下限0,证明在(0,2)上至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=0 - ?
蹉湛乳腺: 应用定积分中值定理:存在ξ1∈(0,1),使得 ∫(0→1)f(x)dx=f(ξ1)(1-0)=f(ξ1) 所以,f(ξ1)=f(2) 再次应用罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,2) 【当然ξ∈(0,2)】 使得:f'(ξ)=0
大同市19329513734: 高数 定积分 如何证明下面的公式 - ?
蹉湛乳腺: 用定积分中值定理 其中定积分=[c^n/(c+1)]*(1-0)=c^n/(c+1),c∈(0,1) 由于c∈(0,1),取极限c^n→0,原式=0 提示:定积分中值定理可以帮助我们去掉定积分符号
大同市19329513734: 积分中值定理该如何证明? - ?
蹉湛乳腺: 数学21
大同市19329513734: 定积分的计算中,如使用了分部积分法,积分的上下限不用变么? - ?
蹉湛乳腺: 不用变. 定积分的分部积分公式为: 所以使用了分部积分法,积分的上下限不用变. 分部积分法原理是将不易直接求结果的积分形式,转化为等价的易求出结果的积分形式的.常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型,将分部积...
大同市19329513734: 高数:一个介值定理的题目,求解释 - ?
蹉湛乳腺: 你会看到,中间这个式子的分子是个定积分,即是个常数,分母是个定积分,也是个常数 故整个式子就是个常数.你把这个常数设成c 即n<=c<=M 也就是说,c在f(x)的最小值和最大值之间,而f(x)又连续,故由介值定理,必然存在ξ∈[a,b]使得f(ξ)=c