利用定积分中值定理(a是常数), 可得n→+∞时lim∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=？？

lim（n→∞）∫（n→n+1）sinx/x（dx）~

具体回答如图：

求极限一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数的极限值。
扩展资料：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。
这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。
参考资料来源：百度百科——极限

分部积分
∫[-a,a] (x^n)sinx dx
= [1/(n+1)] *∫[-a,a] sinx dx^(n+1)
= [1/(n+1)] *{ sinx *x^(n+1)| [-a,a] - ∫[-a,a] x^(n+1) con x dx }
= [1/(n+1)] *{ sina *[a^(n+1)+(-a)^(n+1) ] + ∫[-a,a] x^(n+1) con x dx }
因 (0<a<1)
所以0≦|∫[-a,a] x^(n+1) con x dx |≦∫[-a,a] |x^(n+1) con x | dx |≦∫[-a,a] dx≦2a
0≦|sina *[a^(n+1)+(-a)^(n+1) ] |≦1
因 lim [1/(n+1)] =0 n→+∞所以
lim ∫[-a,a] (x^n)sinx dx
=lim [1/(n+1)] *{ sina *[a^(n+1)+(-a)^(n+1) ] + ∫[-a,a] x^(n+1) con x dx }
=0 无穷小乘有界量仍为无穷小

首先重申一下定理吧：
若函数ƒ(x)在闭区间[a，b]上连续可积，则在区间[a，b]上至少存在一点ζ，使
∫(a→b) ƒ(x) dx = ƒ(ζ)(b - a)，ζ∈(a，b)
或 ∫(a→b) ƒ(x)g(x) dx = ƒ(ζ)∫(a→b) g(x) dx

同样地对于∫(n→n + a) xsin(1/x) dx运用积分中值定理
函数xsin(1/x)在闭区间[n，n + a]上连续可积，则存在一点ζ∈[n，n + a]
使得∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = ζsin(1/ζ) • [(n + a) - n] = aζsin(1/ζ)
于是lim(n→∞) ∫(n→n + a) xsin(1/x) dx = a • lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = a • 1 = a
注意这里的ζ，是n ≤ ζ ≤ n + a，当n趋向无穷时，ζ也趋向无穷
所以lim(n→∞) sin(1/ζ)/(1/ζ) = 1，相当于重要定理lim(x→0) (sinx)/x = 1

---

大同市19329513734： 利用定积分中值定理(a是常数), 可得n→+∞时lim∫(n→n+a)xsin(1/x)dx=? - ？
蹉湛乳腺：[答案] 首先重申一下定理吧: 若函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续可积,则在区间[a,b]上至少存在一点ζ,使 ∫(a→b) ƒ(x) dx = ƒ(ζ)(b - a),ζ∈(a,b) 或 ∫(a→b) ƒ(x)g(x) dx = ƒ(ζ)∫(a→b) g(x) dx 同样地对于∫(n→n + a) xsin(1/x) dx运用积分中值定理 函数xsin(1/x)在...

大同市19329513734： 请问如何证明f(x)=A(A为常数)的原函数为F(x)=kx+b)?题目要求用微分中值定理证明. - ？
蹉湛乳腺：[答案] 用拉格朗日中值定理就可以做.[F(x)-F(a)]/(x-a)=A,所以F(x)=F(a)+A(x-a),其中F(a)是定值,所以F(x)=Ax+F(a)-Aa,令k=A,b=F(a)-Aa,就得到F(x)=kx+b.

大同市19329513734： (Ⅰ)将累次积分I(a)=∫2a0dy∫2ay−y20ex2+y2dx化成定积分,其中a>0为常数;(Ⅱ)求lima→0+I(a)ln(1+a2). - ？
蹉湛乳腺：[答案] (Ⅰ)由于积分区域D={(x,y)|0≤y≤2a,0≤x≤ 2ay−y2}={(r,θ)|0≤θ≤ π 2,0≤r≤2asinθ} 因此,利用极坐标转化二重积分 I(a)= ∫π20dθ ∫2asinθ0er2rdr = 1 2 ∫π20(e4a2sin2θ−1)dθ (Ⅱ)∵I(a)= ∫∫ Dex2+y2dxdy,积分区域D如(Ⅰ)所示 显然D的面积为: π 2a2,且...

大同市19329513734： 定积分中,积分中值定理证明题? - ？
蹉湛乳腺： 我来救你了!!用积分第一中值定理:f∈C[a,b],g∈R[a,b],且g在[a,b]上不变号(要么恒≥0,要么恒≤0),则存在c∈[a,b],s.t. S[a,b]fgdx=f(c)*(S[a,b]gdx) 还会用到数列的夹挤定理,即存在N,任意n>N,z(n)<=x(n)<=y(n)且z(n),y(n)的极限相同值为l则x...

大同市19329513734： 积分中值定理是什么? - ？
蹉湛乳腺： 原发布者:李舵496604338一、基本内容对定积分的补充规定:(1)当ab时,af(x)dx0;b(2)当ab时,f(x)dxf(x)dx.abba说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.性质1证a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx.bbbba[f(x)g(x)]dxnlim...

大同市19329513734： 设函数f(x)在[0,2]连续且可导,且f(2)=∫f(x)dx,上限1下限0,证明在(0,2)上至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=0 - ？
蹉湛乳腺： 应用定积分中值定理:存在ξ1∈(0,1),使得 ∫(0→1)f(x)dx=f(ξ1)(1-0)=f(ξ1) 所以,f(ξ1)=f(2) 再次应用罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,2) 【当然ξ∈(0,2)】 使得:f'(ξ)=0

大同市19329513734： 高数 定积分 如何证明下面的公式 - ？
蹉湛乳腺： 用定积分中值定理 其中定积分=[c^n/(c+1)]*(1-0)=c^n/(c+1),c∈(0,1) 由于c∈(0,1),取极限c^n→0,原式=0 提示:定积分中值定理可以帮助我们去掉定积分符号

大同市19329513734： 积分中值定理该如何证明? - ？
蹉湛乳腺： 数学21

大同市19329513734： 定积分的计算中,如使用了分部积分法,积分的上下限不用变么? - ？
蹉湛乳腺： 不用变. 定积分的分部积分公式为: 所以使用了分部积分法,积分的上下限不用变. 分部积分法原理是将不易直接求结果的积分形式,转化为等价的易求出结果的积分形式的.常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型,将分部积...

大同市19329513734： 高数:一个介值定理的题目,求解释 - ？
蹉湛乳腺： 你会看到,中间这个式子的分子是个定积分,即是个常数,分母是个定积分,也是个常数 故整个式子就是个常数.你把这个常数设成c 即n<=c<=M 也就是说,c在f(x)的最小值和最大值之间,而f(x)又连续,故由介值定理,必然存在ξ∈[a,b]使得f(ξ)=c