因式分解的高级方法

因式分解的方法与技巧~

换元法因式分解方法及注意事项，请参考视频，录得不好，请多指教。

提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
5、双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
6、一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。x²+y²+z²，xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。

1，　　推广了的十字相乘法
根据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含有字母的式子，可将较为复杂的多项式分解因式。
2, 在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：
xn +y n=(x+y)(xn-1 –xn-2 y +…-x yn-2+yn-1) (n为奇数)
xn –yn =(x-y)(xn-1 +xn-2 y+…+xyn-2 +yn-1)
3, 拓展了的分组分解法
⑴拆项（分组）法
把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法。
⑵添项（分组）法
在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法。
4　　换元法
换元法是一种重要的数学方法，在分解饮食时，通过将原式的代数式用字母
代替后，达到简化原式结构的目的
5、主元法：
主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数。重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。
6,构造法
构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用到。在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度。
7，求根公式法
我们用g(x)表示关于x的一个多项式，如 g(x)=x4+2x3-9x2-2x+8.若g(a)=0,那么（x-a）是g(x)的一个因式。
对于g(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,有因式px-q,那么其根q/p(p,q互质)的p一定是首项系数的约数，q一定是常数项的约数。
8,待定系数法
待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。
9，配方法
配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式。
10．整体法
整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母来对待，从而便于因式分解的一种方法。
11,综合方法
我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问题。对上述方法要灵活的运用。

因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。

例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?�膊荒芗�汉啪拖取疤帷保��匀�饨�蟹治觯?/p>

如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．

又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，

即a＝c，△abc为等腰三角形。

例3把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2［3（x－1）－4p］＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。

例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。

解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）

这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

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乌鲁木齐县15577026589： 因式分解的高级方法 - ？
东野苗麻仁： 1,推广了的十字相乘法 根据十字相乘法的形式,将其对系数的要求推广到含有字母的式子,可将较为复杂的多项式分解因式. 2, 在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上,推导出了公式: xn +y n=(x+y)(xn-1 –xn-2 y +…-x yn-2+yn-1) (n为...

乌鲁木齐县15577026589： 对于复数分解因式的方法和技巧 - ？
东野苗麻仁：[答案] 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化...

乌鲁木齐县15577026589： 怎么快速分解因式? - ？
东野苗麻仁： 因式分解的一般步骤是:一提二套三分解 一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则 先提公因式;若没有,则套用公式. 二套:即套用公式,在没有公因式的前提下,则套用公式, 常用公式有:a^2-b^2=(a+b)(a-...

乌鲁木齐县15577026589： 数学因式分解的公式法公式是什么? - ？
东野苗麻仁：[答案] 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化...

乌鲁木齐县15577026589： 分解因式的常用方法有些什么? - ？
东野苗麻仁：[答案] 〖知识点〗因式分解定义,提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤.\x0d〖大纲要求〗\x0d理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法,掌握利用二次...

乌鲁木齐县15577026589： 请问因式分解有哪几种方法 - ？
东野苗麻仁： 因式分解方法:1.提取公因式 例:ab+a=a(b+1) 2.完全平方式 例:a²±2ab+b²=(a±b)² 3.十字相乘法 例:a²+3a-4=(a+4)(a-1) 解题方法 :还有 分组分解法、 配方法、 公式法

乌鲁木齐县15577026589： 因式分解的解题的方法? - ？
东野苗麻仁：[答案] 是因式分解,还是用因式分解解题.因式分解的方法有:提公因式,公式法,分组分解,十字相乘,用一元二次方程求根公式.

乌鲁木齐县15577026589： 一元四次多项式的因式分解的详细方法是什么是什么 - ？
东野苗麻仁：[答案] 待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例如在分解x^4-x^3-5x62-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2...

乌鲁木齐县15577026589： 如何做好因式分解? - ？
东野苗麻仁：[答案] 在高等数学上因式分解有一些重要结论,在初等数学层面上证明很困难,但是理解很容易. 1、因式分解与解高次方程有密切的关系.对于一元一次方程和一元二次方程,初中已有相对固定和容易的方法.在数学上可以证明,对于一元三次和一元四次方...

乌鲁木齐县15577026589： 因式分解的方法是什么 - ？
东野苗麻仁：[答案] 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,...