求教对数的性质及其证明（

对数性质及应用？~

题目横轴是x，纵轴是y
你想的没错，但是图上的轴反了，y画在横轴上了

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
目录
定义
产生历史
函数性质
运算性质
表达方式
与指数的关系
编辑本段定义
在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。


对数函数的底数为什么要大于0且不为1？　【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）】
通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm)，并且把loge N 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，a^X=N→X=logaN。（N>0）
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
在实数范围内，负数和零没有对数
loga a=1 log以a为底a的对数为1(a为常数) 恒过点（1，0）
编辑本段产生历史
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：
Nap．㏒x=10㏑(107/x)
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后，大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。




编辑本段函数性质
定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1
和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
值域：实数集R，显然对数函数无界。
定点：函数图像恒过定点（1，0）。
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸

对数的图像
0<a<1时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。
奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。
周期性：不是周期函数
零点：x=1
注意：负数和0没有对数。
两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：
也就是说：若y=log（a）b （其中a>0,a≠1，b>0）
当00;
当a>1, b>1时，y=log（a）b>0;
当01时，y=log（a）b<0;
当a>1, 0<b<1时，y=log（a）b<0。
指数函数的求导:
e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...设a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
编辑本段运算性质
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

对数函数化简问题
底数则要>0且≠1 真数>0
并且，在比较两个函数值时：
如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）
如果底数一样，真数越大，函数值越小。（0<a<1时）
当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n∈R）
（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)
log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X
（5）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
编辑本段表达方式
（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b) （10为底数）
（2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) （e为底数）
e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义
编辑本段与指数的关系
对数函数与指数函数互为反函数
当a>0且a≠1时，a^x=N x=㏒(a)N
关于y=x对称
对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 关于X轴对称、
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

对数的概念　　英语名词：logarithms 　　如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 　　log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。 [编辑本段]对数的性质及推导定义：　　若a^n=b(a>0且a≠1) 　　则n=log(a)(b) 基本性质：　　1、a^(log(a)(b))=b 　　2、log(a)(a^b)=b 　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　6、log(a^n)M=log(a)(M)/n 推导　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 　　2、因为a^b=a^b 　　令t=a^b 　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 　　3、MN=M×N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 　　4、与（3）类似处理 　　MN=M÷N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 　　5、与（3）类似处理 　　M^n=M^n 　　由基本性质1(换掉M) 　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　基本性质4推广 　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 　　推导如下： 　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] 　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　换底公式的推导： 　　设e^x=b^m,e^y=a^n 　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y 　　x=ln(b^m),y=ln(a^n) 　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　由基本性质4可得 　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 　　再由换底公式 　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完） [编辑本段]函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点. 　　2.对于y=log(a)(n)函数, 　　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1. 　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1. 　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称. [编辑本段]其他性质　　 性质一：换底公式　　 　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a) 　　推导如下： 　　N = a^[log(a)(N)] 　　a = b^[log(b)(a)] 　　综合两式可得 　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 　　又因为N=b^[log(b)(N)] 　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)　　证明如下： 　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数 　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1 　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1, lg100=lg10^2=2, lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

对数的概念　　英语名词：logarithms
　　如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。
　　log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。
[编辑本段]对数的性质及推导定义：　　若a^n=b(a>0且a≠1)
　　则n=log(a)(b)
基本性质：　　1、a^(log(a)(b))=b
　　2、log(a)(a^b)=b
　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　6、log(a^n)M=log(a)(M)/n
推导　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
　　2、因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　3、MN=M×N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(MN)]
=
a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
=(M)*(N)
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(MN)]
=
a^{[log(a)(M)]
+
[log(a)(N)]}
　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(MN)
=
log(a)(M)
+
log(a)(N)
　　4、与（3）类似处理
　　MN=M÷N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(M÷N)]
=
a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M÷N)]
=
a^{[log(a)(M)]
-
[log(a)(N)]}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M÷N)
=
log(a)(M)
-
log(a)(N)
　　5、与（3）类似处理
　　M^n=M^n
　　由基本性质1(换掉M)
　　a^[log(a)(M^n)]
=
{a^[log(a)(M)]}^n
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M^n)]
=
a^{[log(a)(M)]*n}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　基本性质4推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　由基本性质4可得
　　log(a^n)(b^m)
=
[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]
=
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导
完）
[编辑本段]函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.
　　2.对于y=log(a)(n)函数,
　　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a
的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.
　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
[编辑本段]其他性质　　
性质一：换底公式　　
　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
　　推导如下：
　　N
=
a^[log(a)(N)]
　　a
=
b^[log(b)(a)]
　　综合两式可得
　　N
=
{b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　又因为N=b^[log(b)(N)]
　　所以
b^[log(b)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　所以
log(b)(N)
=
[log(a)(N)]*[log(b)(a)]
{这步不明白或有疑问看上面的}
　　所以log(a)(N)=log(b)(N)
/
log(b)(a)
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)　　证明如下：
　　由换底公式
log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)
----取以b为底的对数
　　log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)×log(b)(a)=1
　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,
lg100=lg10^2=2,
lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号
loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

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环翠区19442113356： 对数的性质(对数的性质) ？
将菊复方： 1、对数的性质及推导 定义: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: a^(log(a)(b))=b log(a)(a^b)=b log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); ...

环翠区19442113356： 对数的性质及推导 - ？
将菊复方：[答案] 是指它的运算性质吗? 积的对数=对数的和; 商的对数=对数的差; 幂的对数=指数*对数

环翠区19442113356： 对数函数的公式有?及其性质. - ？
将菊复方：[答案] 对数的定义和运算性质 一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 底数则要大于0且不为1 对数的运算性质: 当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么: (...

环翠区19442113356： 如何理解对数的概念及性质? - ？
将菊复方：[答案] 答案:解析: 由于ab=Nb=logaN,故借助指数来分析理解对数的概念及性质. (1)对数由指数而来.对数式logaN=b是由指数式ab=N而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对...

环翠区19442113356： 对数函数性质 - ？
将菊复方： 对数函数性质: 值域:实数集R,显然对数函数无界; 定点:对数函数的函数图像恒过定点(1,0); 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数; 0<a<1时,在定义域上为单调减函数; 奇偶性:非奇非偶函数 周期性:不是周期函数 对称性:无 最值:无 零点:x=1 扩展资料:对数函数的运算性质 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 底数则要>0且≠1 真数>0 并且,在比较两个函数值时: 如果底数一样,真数越大,函数值越大.(a>1时) 如果底数一样,真数越小,函数值越大.(0<a<1时) 参考资料来源:搜狗百科-对数函数

环翠区19442113356： 对数函数有那些性质呢? - ？
将菊复方： 1. 定义域:对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}; 2. 值域 : 实数集R,显然对数函数无界; 3. 定点 :对数函数的函数图像恒过定点(1,0); 4. 单调性 :a>1时,在定义域上为单调增函数; 0<a<1时,在 定义域上为单调减函数; 5. 奇偶性 : 非奇非偶函数; 6. 周期性 :不是 周期函数 ; 7. 对称性:无 ; 8. 最值:无 ; 9. 零点:x=1;10. 拓展资料:(1)常用对数:lg(b)=log 10b(10为底数); (2) 自然对数:ln(b)=log eb(e为底数) e为 无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828.

环翠区19442113356： 求对数3个运算性质 的推导啊 - ？
将菊复方：[答案] 对数的性质及推导 用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数 *表示乘号,/表示除号 定义式: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)...

环翠区19442113356： 怎么证明对数的运算性质第三条? - ？
将菊复方：[答案] ````你不是吧··按照书上给的第一条证明就行了·还是说下吧·· logaM/N=logaM-logaN 证明:设 logaM=p logaN=q 有对数的定义知道:a的p次方=M a的q次方=N PS:次方符号不会打·囧 M/N=a的p次方/a的q次方=a的p次方-q次方 p-q=loga(M/N){...

环翠区19442113356： 对数有什么运算性质 - ？
将菊复方： 基本性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:1、a^log(a)(b)=b2、log(a)(a)=13、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n(注:^均为上标符号,例:a^1即为a) 7、换底公式: log(a)(N)=log(b){N}÷log(b){a} 8、log(a){b}=1/log(b){a}

环翠区19442113356： 对数函数第二条性质的证明log以a为底m的n次方的对数等于n倍的log以a为底m的对数证明? - ？
将菊复方：[答案] 证明:设log以a为底m的对数=p 则a^p=m 所以 log以a为底m的对数= log以a为底a^p的n次方的对数=loga(底数)a^pn(真数=np 而n倍的log以a为底m的对数=np 所以log以a为底m的n次方的对数等于n倍的log以a为底m的对数