求教对数的性质及其证明(
题目横轴是x,纵轴是y
你想的没错,但是图上的轴反了,y画在横轴上了
一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
目录
定义
产生历史
函数性质
运算性质
表达方式
与指数的关系
编辑本段定义
在实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数),底数则要大于0且不为1。
对数函数的底数为什么要大于0且不为1? 【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是,根据对数定义: log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)】
通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把loge N 记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a>0,a≠1时,a^X=N→X=logaN。(N>0)
由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
在实数范围内,负数和零没有对数
loga a=1 log以a为底a的对数为1(a为常数) 恒过点(1,0)
编辑本段产生历史
16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。
欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积(商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:
Nap.㏒x=10㏑(107/x)
由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。
我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种求对数的捷法,著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905) 看到这些著作后,大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致。
编辑本段函数性质
定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1
和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
值域:实数集R,显然对数函数无界。
定点:函数图像恒过定点(1,0)。
单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸
对数的图像
0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹。
奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。
周期性:不是周期函数
零点:x=1
注意:负数和0没有对数。
两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:
也就是说:若y=log(a)b (其中a>0,a≠1,b>0)
当00;
当a>1, b>1时,y=log(a)b>0;
当01时,y=log(a)b<0;
当a>1, 0<b<1时,y=log(a)b<0。
指数函数的求导:
e的定义:e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...设a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地,当a=e时,(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
编辑本段运算性质
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
对数函数化简问题
底数则要>0且≠1 真数>0
并且,在比较两个函数值时:
如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)
如果底数一样,真数越大,函数值越小。(0<a<1时)
当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)
log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n∈R)
(4)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)
log(a)a^b=b 证明:设a^log(a)N=X,log(a)N=log(a)X,N=X
(5)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
编辑本段表达方式
(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b) (10为底数)
(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b) (e为底数)
e为无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
编辑本段与指数的关系
对数函数与指数函数互为反函数
当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N
关于y=x对称
对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 关于X轴对称、
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
对数的概念 英语名词:logarithms
如果a^n=b,那么log(a)(b)=n。其中,a叫做“底数”,b叫做“真数”,n叫做“以a为底b的对数”。
log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0,零和负数没有对数;a的定义域是a>0且a≠1。
[编辑本段]对数的性质及推导定义: 若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质: 1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=log(a)(M)/n
推导 1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)]
=
a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
=(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)]
=
a^{[log(a)(M)]
+
[log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN)
=
log(a)(M)
+
log(a)(N)
4、与(3)类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)]
=
a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)]
=
a^{[log(a)(M)]
-
[log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M÷N)
=
log(a)(M)
-
log(a)(N)
5、与(3)类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)]
=
{a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)]
=
a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下:
由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导:
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)
=
[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]
=
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
--------------------------------------------(性质及推导
完)
[编辑本段]函数图象 1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a
的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.
②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
[编辑本段]其他性质
性质一:换底公式
log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
推导如下:
N
=
a^[log(a)(N)]
a
=
b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N
=
{b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N)
=
[log(a)(N)]*[log(b)(a)]
{这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N)
/
log(b)(a)
公式二:log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下:
由换底公式
log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)
----取以b为底的对数
log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)×log(b)(a)=1
在实用上,常采用以10为底的对数,并将对数记号简写为lgb,称为常用对数,它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,
lg100=lg10^2=2,
lg4000=lg(10^3×4)=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表,便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数,并将记号
loge。简写为ln,称为自然对数,因为自然对数函数的导数表达式特别简洁,所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上,数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展,这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。
对数的性质是什么对数的性质有哪些
关于对数的性质是什么,对数的性质有哪些这个很多人还不知道,今天来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!1、对数的性质如下:a^(log(a)(b))=b2、log(a)(a^b)=b3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);5、log(a)(M^n)=...
2.2.2对数函数及其性质
一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适...
在高中数学中,对数的概念和性质是什么?
)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问:①...
自然对数的性质有哪些?
自然对数是以常数e为底的对数,通常表示为ln(x),其中x是大于0的实数。自然对数的性质包括严格递增和递减。1、严格递增:自然对数的函数ln(x)在定义域内是严格递增的,即当x1 < x2时,ln(x1) < ln(x2)。这意味着随着自变量的增加,对数函数的值也会随之增加。例如,ln(1) < ln(2) < ln...
对数函数的概念及性质
对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法,幂运算为乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。复对数 复对数计算公式 复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数...
对数的基本性质
对数的基本性质:定义、底数和真数、对数运算法则、换底公式、对数的性质。1、定义:对数的定义是一个等式,表示某个数(被称为真数)可以表示为另一个数(被称为底数)的幂的形式。例如,以底数a表示的b的对数写作logₐ(b),表示a的几次幂等于b,即a^x = b。2、底数和真数:对数中的...
对数的性质
对数的性质:1、a^(log(a)(b))=b;2、log(a)(a^b)=b;3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)。对数 基本性质 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);5、log(a)(M^...
对数的运算性质是什么?
对数公式的运算法则,如下图所示:推导过程有:
对数函数的性质是什么?
对数运算性质的推导过程如下:由对数的定义:如果a的x次方等于M(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底M的对数,记作x=logaM。a^x=M,x=logaM。(a^x)^n=M^n。a^(nx)=M^n。nx=logaM^n。∵x=logaM。∴nlogaM=logaM^n。即logaM^n=nlogaM。对数的应用。对数在数学内外有许多应用。这些...
对数函数性质是什么?
对数函数性质如下:1、值域:实数集R,显然对数函数无界;2、定点:函数图像恒过定点(1,0);3、单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;4、奇偶性:非奇非偶函数;5、周期性:不是周期函数;6、零点:x=1;7、底数则要>0且≠1 真数>0,并且在比较两个函数值时:如果底数一样,真数越大...
将菊复方: 1、对数的性质及推导 定义: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: a^(log(a)(b))=b log(a)(a^b)=b log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); ...
环翠区19442113356: 对数的性质及推导 - ?
将菊复方:[答案] 是指它的运算性质吗? 积的对数=对数的和; 商的对数=对数的差; 幂的对数=指数*对数
环翠区19442113356: 对数函数的公式有?及其性质. - ?
将菊复方:[答案] 对数的定义和运算性质 一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 底数则要大于0且不为1 对数的运算性质: 当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么: (...
环翠区19442113356: 如何理解对数的概念及性质? - ?
将菊复方:[答案] 答案:解析: 由于ab=Nb=logaN,故借助指数来分析理解对数的概念及性质. (1)对数由指数而来.对数式logaN=b是由指数式ab=N而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对...
环翠区19442113356: 对数函数性质 - ?
将菊复方: 对数函数性质: 值域:实数集R,显然对数函数无界; 定点:对数函数的函数图像恒过定点(1,0); 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数; 0<a<1时,在定义域上为单调减函数; 奇偶性:非奇非偶函数 周期性:不是周期函数 对称性:无 最值:无 零点:x=1 扩展资料:对数函数的运算性质 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 底数则要>0且≠1 真数>0 并且,在比较两个函数值时: 如果底数一样,真数越大,函数值越大.(a>1时) 如果底数一样,真数越小,函数值越大.(0<a<1时) 参考资料来源:搜狗百科-对数函数
环翠区19442113356: 对数函数有那些性质呢? - ?
将菊复方: 1. 定义域:对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}; 2. 值域 : 实数集R,显然对数函数无界; 3. 定点 :对数函数的函数图像恒过定点(1,0); 4. 单调性 :a>1时,在定义域上为单调增函数; 0<a<1时,在 定义域上为单调减函数; 5. 奇偶性 : 非奇非偶函数; 6. 周期性 :不是 周期函数 ; 7. 对称性:无 ; 8. 最值:无 ; 9. 零点:x=1;10. 拓展资料:(1)常用对数:lg(b)=log 10b(10为底数); (2) 自然对数:ln(b)=log eb(e为底数) e为 无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828.
环翠区19442113356: 求对数3个运算性质 的推导啊 - ?
将菊复方:[答案] 对数的性质及推导 用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数 *表示乘号,/表示除号 定义式: 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质: 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)...
环翠区19442113356: 怎么证明对数的运算性质第三条? - ?
将菊复方:[答案] ````你不是吧··按照书上给的第一条证明就行了·还是说下吧·· logaM/N=logaM-logaN 证明:设 logaM=p logaN=q 有对数的定义知道:a的p次方=M a的q次方=N PS:次方符号不会打·囧 M/N=a的p次方/a的q次方=a的p次方-q次方 p-q=loga(M/N){...
环翠区19442113356: 对数有什么运算性质 - ?
将菊复方: 基本性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:1、a^log(a)(b)=b2、log(a)(a)=13、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n(注:^均为上标符号,例:a^1即为a) 7、换底公式: log(a)(N)=log(b){N}÷log(b){a} 8、log(a){b}=1/log(b){a}
环翠区19442113356: 对数函数第二条性质的证明log以a为底m的n次方的对数等于n倍的log以a为底m的对数证明? - ?
将菊复方:[答案] 证明:设log以a为底m的对数=p 则a^p=m 所以 log以a为底m的对数= log以a为底a^p的n次方的对数=loga(底数)a^pn(真数=np 而n倍的log以a为底m的对数=np 所以log以a为底m的n次方的对数等于n倍的log以a为底m的对数