数学题一个，已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2√3 ，若以O为坐标原点，OA所在直线

（2012•临夏州）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为~

求采纳，谢谢了！！！

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=23
由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=23
∴∠COH=60°，OH=3，CH=3
∴C点坐标为（3，3）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（3，3）、A（23，0）两点，
∴3＝(3)2a+3b0＝(23)2a+23b，
解得：a＝�6�11b＝23，
∴此抛物线的解析式为：y=-x2+23x．
解法一：（3）存在．
因为y＝�6�1x2+23x的顶点坐标为（3，3）
所以顶点坐标为点C（8分）
作MP⊥x轴，垂足为N，
设PN=t，因为∠BOA=30°，
所以ON=3t
∴P（3t，t）（9分）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把x＝3t代入y＝�6�1x2+23x
得：y=-3t2+6t
∴M（3t，-3t2+6t），E（3，-3t2+6t）（10分）
同理：Q（3，t），D（3，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD（这时△PQD≌△MEC）
即3-（-3t2+6t）=t-1，解得：t1＝43，t2=1（不合题意，舍去）（11分）
∴P点坐标为（433，43）（12分）
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（433，43）；
解法二：

（3）存在．
由（2）可得：y＝�6�1x2+23x=�6�1(x�6�13)2+3得顶点坐标为（3，3），
即点C恰好为顶点；（8分）
设MP交x轴于点N，
∵MP∥y轴，CH为抛物线的对称轴
∴MP∥CD且CM与DP不平行
∴四边形CDPM为梯形
若要使四边形CDPM为等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°，则∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°，
∴∠MCD=∠BCD，
∴此时点M为抛物线与线段CB所在直线的交点（9分）
设BC的解析式为y=mx+n
由（2）得C（3，3）、B（23，2）
∴3＝3m+n2＝23m+n
解得：m＝�6�133n＝4
∴直线BC的解析式为y＝�6�133x+4（10分）
由y＝�6�1x2+23xy＝�6�133x+4
得x1＝433，x2＝3
∴ON=433（11分）
在Rt△OPN中，tan∠PON=PNON得PN＝43
∴P点坐标为（433，43）（12分）
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标为（433，43）．

（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度数和AB的长，可求出OA的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
首先设出点P的坐标，在用表达式表示出△OPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可．
（3）在直线OB两边，到OB的距离等于3的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可．
解答：解：（1）由已知条件，可知OC=OA=OBtan30°=23，∠COA=60°，
C点的坐标为（3，3），
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则c=012a+23b+c=03a+3b+c=3，解得a=-1b=23c=0，
所求抛物线的解析式为y=-x2+23x．
（2）由题意，设P（3，y），则：
OP2=y2+3、CP2=（y-3）2=y2-6y+9、OC2=12；
①当OP=CP时，6y=6，即
y=1；
②当OP=OC时，y2=9，即
y=±3（y=3舍去）；
③当CP=OC时，y2-6y-3=0，即 y=3±23；
∴P点的坐标是（3，1）或（3，-3）或（3，3-23）或（3，3+23）；
（3）
过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．
∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OA=23，OB=4，
由三角形面积公式得：4×AR=23×2，
AR=3，
∵△MOB的面积等于△OAB面积，
∴在直线OB两边，到OB的距离等于3的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，
∠NOD=∠BOA=30°，ON=3，
则OD=2，
求出直线OB的解析式是y=33x，
则这两条直线的解析式是y=33x+2，y=33x-2，
解y=33x+2y=-x2+23x，y=33x-2y=-x2+23x，
解得：x1=3y1=3，x2=233y2=83，x3=23y3=0，x4=-33y4=-53
此时，M1（3，3）、M2（233，83）．M3（23，0）．M4（-33，-53）．

 

 

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恩，又是动点问题啦，还是要搞清楚情况的，动点问题最复杂的就在于分清不同点时的具体情况，仔细点就好http://www.qiujieda.com/math/9020867，，不错的解析了

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