如何搞懂第二换元法
第一类换元积分法也称凑微分法,适用于两个式子相乘的形式,是复合函数求导的逆运算 。
第二类换元积分法是变量代换法,主要有三角代换,根式代换和倒代换,适用积分式中有根式的。
第二换元法是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g(t) 同时把dx也换成[g(t)]'dx 至于g(t)是怎么来的 有一定的规律,但也不是绝对的 通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g(t)。
分类
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后,返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.
高中数学中换元法主要有以下两类:
(1)整体换元:以“元”换“式”。
(2)三角换元 ,以“式”换“元”。
(3)此外,还有对称换元、均值换元、万能换元等.换元法应用比较广泛。如解方程,解不等式,证明不等式,求函数的值域,求数列的通项与和等,另外在解析几何中也有广泛的应用。
一般可以凑微分的时候用第一类换元法,碰到根号如根号下a²-x²之类的令x为asint可消掉根号,为第二类换元法,分部积分在这两类都不解决问题时再用。
换元积分法是求积分的一种方法。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。在计算函数导数时.复合函数是最常用的法则,把它反过来求不定积分,就是引进中间变量作变量替换,把一个被积表达式变成另一个被积表达式。
从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种,第一类换元积分法和第二类换元积分法。
扩展资料:
求不定积分的方法:
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是关于f(x)的函数,再把f(x)看为一个整体,求出最终的结果。(用换元法说,就是把f(x)换为t,再换回来)
分部积分,就那固定的几种类型,无非就是三角函数乘上x,或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的,记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘(x)dx=df(x)变形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx这样的公式,当然x可以换成其他g(x)
常用积分公式:
1)∫0dx=c
2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3)∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c
我想问你,我们为什么要换元呢?
因为我们没有基本的导数公式可以直接带进去求出积分,所以我们要换元。
第二类换元积分法从形式看是第一种的逆行,但很多我们是需要用第二种来求的。【我们的目的是化为容易求得原函数的形式】
我觉得看课本的例题比较好。结合例题在看看定理你就可以很快理解定理的内容的,但不是光理解就可以的,我们要解题。数学分析常见的现象是听就明白,但做题就不会,你是不是有这种体会呢??呵呵1你要做题,做题,真的,很重要A!!!!
常见的第二类换元积分法类型有:
积分f(x,根号(x^2-a^2))dx 令x=sect
积分f(x,a^x)dx 令t=a^x
分母中因子次数较高时可用倒代换。
积分f(x,根号(a^2-x^2))dx, 令x=asint,或者x=acost
还有其他的,你可以在做题的时候加以总结。
最后要提醒你的就是:『『『不要最后忘了变量还原呀!!!!!!!并在最后加上一个常数C】】】】】】】】】】】】不要欢喜过度哦^_^
过几天就要考试了,那么这几天你就要好好复习了!!把课本上的例题好好的看上几遍,看懂为止。把一些基本的题型看看,怎么转化的弄明白!!1把去年的考题重新做一遍,背也要背上来!!
其实求积分对以后级数的学习是有重要的作用的,很多地方是需要用到求积分的,积分学不好,即使你懂级数会求,但你就是不能求出结果,建议你在考完式后把积分这一块好好复习一遍。。。
积分要做到像做加减乘除一样熟练。。。。是最基本的题目了。。。
跟第一换元法相反
第一换元法是把被积函数里的某一部分用字母代替
第二换元法
是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g(t)
同时把dx也换成[g(t)]'dx
至于g(t)是怎么来的
有一定的规律,但也不是绝对的
通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g(t)
设成t的部分
一般是根号
关于三角函数的常用三角换元(怎么换书上有)
把积分变量x窦换成t之后
对t进行积分即可
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楼下...指...好歹咱也是打出来的
连咱的错字都复制了 囧
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后面还有定积分和微分方程的话
建议不定积分多下点功夫
因为定积分的计算完全是依靠不定积分的
计算方法上也大体相同
微分方程里也会用到积分的说
所以 计算要熟练
看到3楼提醒 也想说
千万别忘记最后把t还原成x
还有千万别忘记+C
第一换元 纯粹就是复合函数导数的逆运算(书写上采用微分,和导数逆写一样)
第二换元:
本质也是把不熟悉变熟悉函数。
一;明确换元目标--熟悉两大类函数
1简单有理函数的积分(看课本)
2常见三角函数积分 :如正余弦乘积,正切正割乘积 (看课本)
二:认识换元题目三大类:
1普通简单无理函数转化成有理函数
2某些无理函数转化成三角函数(用sint,tant,sect换完一般就是上边提到两类三角函数),有一类有理函数用tant换。
3含指数函数的--转化为有理函数。
看几个例题就好。
思考:1,3类换元后为什么刚好就是目标---有理函数
第二换元法
是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g(t)
同时把dx也换成[g(t)]'dx
至于g(t)是怎么来的
有一定的规律,但也不是绝对的
通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g(t)
其实不管第一还是第二换元法,无非都是一个反解未知量的过程。
楼上的同仁为了这200分可谓煞费苦心啊,呵呵呵呵
如何搞懂第二换元法
第一和第二类换元积分法是正逆两种换元方式。第一类换元积分法我不说了,我想你已经弄明白了吧!我想问你,我们为什么要换元呢?因为我们没有基本的导数公式可以直接带进去求出积分,所以我们要换元。第二类换元积分法从形式看是第一种的逆行,但很多我们是需要用第二种来求的。【我们的目的是化为容易...
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隆安县18254683240: 高数积分第二换元法 书上的根本看不懂,有大神给我讲讲教会我么? - ?
芝童创成: 就是用三角函数换元~
隆安县18254683240: 关于不定积分的第二类换元法 - ?
芝童创成: 第二类换元法的目的是为了消去根号,化为简单函数的不定积分.它分为根式换元和三角换元.可以令x=以另外变量t的函数(此函数要存在反函数),把这个函数代入原被积表达式中,即可得到一个以t为积分变量的不定积分,这个不定积分若容易求设结果为F(t)+C,则要把这个结果中的t换回x的函数(即上面提到的反函数),就搞掂啦!记得给分给我哦
隆安县18254683240: 高数不定积分第二类换元法,貌似有点难啊,考研数三会不会考像书上例27这么难的题啊?我连看懂都很困难,像第二换元法该怎么去运用呢? - ?
芝童创成:[答案] 本题的题型非常规范,只是三角代换中的正切代换. 常见考试,只有那么几种. 下面提供本人所作的总结,若要补充其它具体情况,请联系我,中英文皆可. 下面再给你提供一份更具体一点的总结:
隆安县18254683240: 积分的第一次换元法和第二次换元法什么意思高等数学上,用符号描述的,看不懂.拜托大侠用文字描述一下,或使用些简单的符号(高中生看得懂的符号) - ?
芝童创成:[答案] 你应该问的是第一类换元法和第二类换元法吧.第一类换元法其实是用一些拼凑的方法,凑出熟悉的积分公式形式进行计算,第二类换元法是用替代法,比如三角代换,去凑出熟悉的积分公式形式进行计算.不知道这样说你能明白吗
隆安县18254683240: 不定积分的第二换元法是什么东东,怎么用? - ?
芝童创成: 你只要记住,根号里带平方用三角代换就行了
隆安县18254683240: 什么情况下用第一换元积分法,什么情况下用第二换元积分法最好能讲的通俗点.能看得懂 - ?
芝童创成:[答案] 一般来说,在有根号的情况下用第二换元法,因为用三角函数公式可以去根号,能直接看出某一部分的原函数(如分子的原函数容易看出)的用第一换元法.
隆安县18254683240: 第二类换元法.. - ?
芝童创成: ∫ cott·cost dt=∫ (cost/sint)·cost dt=∫ cos²t/sint dt=∫ (1-sin²t)/sint dt=∫ (1/sint-sint) dt=∫ (csct-sint) dt
隆安县18254683240: 最近复习高数时的疑问,为什么要提出第二类换元法?它用来解决什么问... - ?
芝童创成: 我也是大学生,这样解释你应该能明白.第二类换元法和第一类换元法其实是一样的,我大一刚学的时候也不太清楚.简单的说,第一类换元法就是比较简单的换元,可以一眼就看出来的,比如吧x平方看成一个整体,再在式子里凑出2x来,总之就是一下子就看出来了.而第二类换元是设x=ψ(t) 然后把dx换成dt ,再乘以t的导,其实,学到后来你就会发现,其实第一类换元法已经间接地运用了第二类换元法,只是太简单你没有再设x=ψ(t) 罢了,对不对?第二类换元法是基础,对于复杂的式子你就必须用这种办法.后来你还会学到分部积分法,套公式也不难的.希望可以帮到你