第6集 中国剩余定理 孙子定理 原理与算法

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中国剩余定理，这个古老智慧的结晶，其核心原理可用最简洁的语言概括：在模数两两互质的情况下，任何不同的余数组合在模乘积范围内具有唯一对应值。这其实源自于同余性质的深刻洞察，它衍生出了三个关键原理：

1. 基础版：当两个模数互质，任一数对在它们的乘积范围内，余数组合独一无二。


2. 通用版：对于多个互质模数，所有数对的余数组合在它们的乘积范围内同样独一无二。


3. 最大兼容版：对于任意多个模数，只要找到它们的最小公倍数，不同数对的余数组合依然保持唯一性。

理解这个原理的关键在于最小公倍数的作用。例如，通过最小公倍数的实例，我们可以直观地看到余数组合的特性。每一个行对应一组不同的余数组合，其在特定范围内具有唯一性。

中国剩余定理的证明主要围绕解的唯一性，首先，我们通过引理来确保在模最小公倍数下，解的唯一性成立。接下来，利用数学归纳法，我们扩展这个引理到任何模数数量的方程组，确保了其普适性。

在实际应用上，我们以《孙子算经》中的经典问题为例，通过构造通解，确保在互质模数的条件下，找到解的精确范围。这个过程显示了互质性在解构造中的关键作用，以及如何利用扩展欧几里得算法找到必要的乘法逆元。

对于模不互质的情况，虽然解的存在性可能复杂化，但通过分解和合并，我们仍能找到特定条件下的解。中国剩余定理在这个广义场景下，依然揭示了解的奇妙特性。

进一步探索，当涉及带幂次的同余方程时，我们可以利用算术基本定理将问题分解为互质模数的子问题。通过中国剩余定理，我们能确定每个子问题的解集合，从而推导出原方程的解。

总的来说，中国剩余定理不仅仅是一个理论，它在实际问题中的应用丰富多样，展示了数学与现实世界的紧密联系。每个余数组合，就像一个密码，解开它，我们就能揭示隐藏的数字秘密。想要了解更多，就请深入探索这个神奇的定理世界吧。

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海城区18972724126： 中国剩余定理:我国古代数学名著《孙子算经》中,记在这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.”用现... - ？
井珊风朗：[答案] 写成数论记号:同余号≡以下简记为==x==2 mod 3==3 mod 5==2 mod 7这在数论中称为同余方程组,简称同余式组.中国剩余定理就是求解同余式组的手段之一(注意,并不是唯一方法).它的思想是这样的:求出x1==1 mod 3==0 mod...

海城区18972724126： 中国剩余定理,此定理源于我国古代数学名著《孙子算经》,其中记载了这样一个“物不知数”的问题:“今有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,... - ？
井珊风朗：[答案] 我们首先需要先求出三个数: 第一个数能同时被3和5整除,但除以7余1,即15; 第二个数能同时被3和7整除,但除以5余1,即21; 第三个数能同时被5和7整除,但除以3余1,即70; 然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加,即:15*2...

海城区18972724126： 什么叫中国剩余定理 - ？
井珊风朗： 中国剩余定理释义:又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“...

海城区18972724126： 中国剩余定理的典故 - ？
井珊风朗： “ 中国古代数学有着辉煌的成就,今天大小吴将为大家介绍在中国数学史上非常著名的中国剩余定理. 1 韩信点兵问题这个问题首先要从一个叫做“韩信点兵”的故事说起.秦末时期,楚汉相争,汉初三杰之一的韩信有一次带1500名兵士打...

海城区18972724126： “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法... - ？
井珊风朗：[答案] 由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数, 故an=15n-14. 由an=15n-14≤2017 得n≤135.4, 当n=1时,此时a1=1,不符合, 故此数列的项数为135-1=134. 故答案为:134

海城区18972724126： “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的接法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出... - ？
井珊风朗：[答案] 由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数, 故an=15n-14. 由an=15n-14≤2016 得n≤135,故此数列的项数为135. 故答案为:135.

海城区18972724126： 中国剩余定理是什么 - ？
井珊风朗： 中国剩余定理 民间传说着一则故事——“韩信点兵”. 秦朝末年,楚汉相争.一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营.当行至一山坡,忽有后军...

海城区18972724126： 剩余定理详细解法中国数学史书上记载:在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中,有这样一个问题及其解法: 今有物不知其数,三三数之剩二;五五数... - ？
井珊风朗：[答案] 意思 是说:现在有一堆东西,不知道它的数量,如果三个三个的数最后剩二个,如果五个五个的数最后剩三个,如果七个七个的数最 后剩二个,问这堆东西有多少个? 你知道这个数目吗? 《孙子算经》 这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍...

海城区18972724126： 什么是中国余数定理?？
井珊风朗： 在数论中有一个著名的定理:孙子定理,也称中国剩余定理,他是关于解同余式组的正整数解的一个定理.不知是否是你需要的,把定理在这里抄录,显然是不恰当的.你只要学了初等数论就清楚了.需说明的是,孙子定理,决非是一个为解单个题而形成的顺口溜.金师傅所言余数定理,在我的资料上也是称剩余定理.亦称裴蜀定理:多项式f(x) 除以(x-a) 所得的余数等于f(a) .(裴蜀,Etienne Bezout,1730-1783,法国数学家)

海城区18972724126： 什么是“中国剩余定理”? - ？
井珊风朗：[答案] 是中国古代求解一次同余式组的方法.是数论中一个重要定理. 如:公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二 ,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?”答为“23”.