高数问题 二重积分 极坐标型式 求高手解答
作者&投稿：雪刮 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
极坐标别想太复杂其实很好化的。首先根据式子中的上下限可以确定积分区域，无脑先确定角度的取值范围，这里显然为（0，1/4π），其实到这基本就做出来了，这也是极坐标在特殊情况下的便利之处。随意取一个角度，做从原点出发一条射线，与积分区域不是有俩个交点么，把它们用瑟塔（额，我打不出那个字母，下面用t表示算了)表示出来，离原点近的下限，远的上限，就ok拉。
以这里为例，下限显然一直为原点，即为0，上限是抛物线与射线的交点。直接把极坐标中x，y的表达方式带入这个函数就行。x=rcost，y=rsint，y=x^2即为rsint=(rcost)^2,变一变，就成了r=sint/(cost^2),故r的上下限为0，sint/(cost^2)。在把式子中的x^2+y^2变为r^2，这就化成了较简单的极坐标积分。
要根据具体的问题和区域确定：像（2）中因为平方和小于2x，所以2x大于0，在第一和第四象限内cos才是正的所以取此范围。
也可以从圆的图形中看出，自己画圆，搞明白具体内涵，也可以给我留邮箱联系。
对于（4）
r(cosθ+sinθ)=1 , ,x≥0， y≥0 同时大于0，只能在第一象限
最终：
0≤θ≤π/2 ,边界： r=1/(cosθ+sinθ) ,
【坐标变换式】永远是变量替换问题的根本，此处：x=rcosθ , y=rsinθ 【将直角方程边界，直接用变量替换式代入，很直接啊，自己找几个区域练练就好啦】
其上点坐标设为（rcos@，rsin@），将他们代入y=x四次方
即可求得r由@表示的值 （极角用@表示）
韩码远浪：[答案] 变量和被积函数部分是套公式,极坐标积分顺序变化不多,一般总是先积r,后积θ.主要是积分区域,原积分区域是矩形,化为极坐标后,要分为曲边扇形:沿θ=π/4(y=x)把矩形分为两部分:, 一部分:0≤θ≤π/4,0≤r≤secθ, (x=1的极坐标方程r=1/cosθ) 另...
山亭区15037541369： 高数,怎样把二重积分化为极坐标形式?我知道知道x=pcosθ,y=psinθ,然后该怎么办啊 - ？
韩码远浪：[答案] 高数书本上有例题的 dxdy=pdpdθ 注意 对应的p和θ的范围即可 分别对 p和θ积分即可
山亭区15037541369： 高数二重积分在极坐标下的计算 - ？
韩码远浪： 其实极坐标的积分限确定非常容易,你可以按我说的方法试一试. 首先θ的确定一般比较简单,我就不说了,关于r的确定,主要的一点,一定要把边界曲线的方程写为极坐标形式,也就是说要把曲线方程写成r=r(θ)的形式,这个形式往往就成为...
山亭区15037541369： 高数二重积分用极坐标形式如何确定积分区域xita的角度值和r的范围 - ？
韩码远浪：[答案] 首先,你在直角坐标系中过原点作此区域函数图像的两条切线,则两条切线的角度则为极坐标系中θ的范围.(若该图像将原点包围,那一定是(0,2π)的范围) 然后,在直角坐标系下不是已经已知一个关于x,y的函数关系来表示范围吗?你将其中的x...
山亭区15037541369： 高数,怎样把二重积分化为极坐标形式 - ？
韩码远浪： 高数书本上有例题的 dxdy=pdpdθ注意 对应的p和θ的范围即可 分别对 p和θ积分即可
山亭区15037541369： 两道二重积分的计算题(有点难) 1 在极坐标系下求这个式子的二重积分 (1 - X²\a² - y²\b²)dxdy,其中D是第一象限内的椭圆x²\a²+y²\b²≤12 用极坐... - ？
韩码远浪：[答案] 第一题用广义的极坐标这个是高数书上打星号的x=a乘余弦 y=b乘正弦但是还要乘个雅克比行列式正如极坐标中乘p一样详见高数第五版p95 第二题先求出积分区域D再利用曲面积分即可
山亭区15037541369： 利用极坐标求二重积分 - ？
韩码远浪： ∫∫√(R²-x²-y²)dxdy 积分区域为D:x²+y²<=Rx =∫(0,2π)∫(0,√Rx)√(R²-r²)rdrdθ =2π∫(0,√Rx)√(R²-r²)rdr =(2π/3)[R³-(R²-Rx)^(3/2)]
山亭区15037541369： 极坐标系下的二重积分的计算问题(高等数学一)对 ln(1+x的平方+y的平方)dxdy求二重积分,其中D为x的平方+y的平方=0,y>=0 所围成的区域.最好列出式子... - ？
韩码远浪：[答案] ∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=∫∫ln(1+r2)rdrdθ,x=rcosθ,y=rsinθ 0≤r≤1,0≤θ≤π/2 ∴∫∫ln(1+x2+y2)dxdy=∫∫ln(1+r2)rdrdθ =∫ln(1+r2)rdr∫dθ =π/2*∫ln(1+r2)rdr(0~1) =π/4*∫ln(1+r2)dr2 =π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2dln(1+r2)] =π/4*[ln(1+r2)*r2-∫r2/(1+r2)dr2] =π/4*[ln2-∫(1-a)/ada] 其中...
山亭区15037541369： 高数,二重积分的计算,利用极坐标系. - ？
韩码远浪： 用极坐标, x=pcosa,y=psina p∈[0,3] a∈[0,2π] dxdy=pdpda 代入即可
