给出常用函数的泰勒公式，谢谢

求大神把泰勒公式中常用函数的展开式写给我谢谢了，要详细的~

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

余项
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：


其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [2]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：









扩展资料：
实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
参考资料：
泰勒公式_百度百科

幂函数：1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+..(|x|

如下：

幂函数：1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+.. (|x|<1)

指数函数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞)

对数函数：ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k+.. (|x|<1)

三角函数：

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)

反三角函数：

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(|x|≤1)

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

历史发展

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。

18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

幂函数：1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+.. (|x|<1)
指数函数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞)
对数函数：ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k+.. (|x|<1)
三角函数：
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)
反三角函数：
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(|x|≤1)
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

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崇阳县15356971453： 常用函数泰勒展开公式 - ？
揣方清胃：[答案] 一个函数N阶可导,则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开 即f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)/2!+...+f^(n)(x0)(x-x0)^(n)/n!+0X f^(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数.0X表示比(x-x0)^(n)更高阶的无穷小 用拉格朗日型余项表示则0X=f^(n+1)(ζ)(x-ζ)^...

崇阳县15356971453： 常用的泰勒公式展开式 ？
揣方清胃： 常用的泰勒公式展开式为:Fx=fx0/0!+f(x0)/1!(x-x0)+f(x0)/2!(x-x0)²+...+f(x0)/n!(x-x0)n次方+Rn(x).其中,表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小.

崇阳县15356971453： tanx泰勒展开式常用公式 ？
揣方清胃： tanx泰勒展开式常用公式是“tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+...+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!”,其中|x|泰勒公式一般应用于数学、物理领域,是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式,如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.

崇阳县15356971453： 求大神把泰勒公式中常用函数的展开式写给我谢谢了,要详细的 - ？
揣方清胃： 泰勒公式中常用函数的展开式: 考研常用泰勒展开: sinx=x-1/6x^3+o(x^3)arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)tanx=x+1/3x^3+o(x^3)arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)cosx=1-1/2x^2+o(x^2) 扩展资料 泰勒公式公式描述:泰勒公式可以用若干项连加式来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得. 麦克劳林公式是泰勒公式(在,记ξ)的一种特殊形式. 在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成由此得近似公式参考资料:百度百科麦克劳林公式

崇阳县15356971453： 求一些常见初等函数的泰勒展开式如:e^x sinx cosx ln(1+x) (1+x)^n 1/1 - x 1/1+x - ？
揣方清胃：[答案] 补充一下:以上的展开式都是在x=0处的展开的,如果求的是在x=a处展开,并且在定义域内,则需要将其中的x替换成(x-a)

崇阳县15356971453： 求一些常见初等函数的泰勒展开式 - ？
揣方清胃： 补充一下:以上的展开式都是在x=0处的展开的,如果求的是在x=a处展开,并且在定义域内,则需要将其中的x替换成(x-a)

崇阳县15356971453： 谁能告诉我泰勒展开式是什么,再给出几个常用的公式就最好了比如e的x次方展开是什么,sinx展开,cosx展开等公式 - ？
揣方清胃：[答案] e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……(无限项) sinx=x-x^3/3+x^5/5+…… (无限项) cosx=1-x^2/2+x^4/4+…… (无限项)

崇阳县15356971453： 利用泰勒公式求极限 limx→∞(x - x²㏑(1+1/x)). 求学霸 感谢(๑• . •๑) - ？
揣方清胃： 有常见函数的泰勒公式: ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-....+(-1)^n*x^(n+1)/(n+1) |x|<1 所以当x→∞时,有 |x|<1,则 x²㏑(1+1/x)=x²[1/x-1/x²+1/x³3-....+(-1)^n/(n+1)x^(n+1)]=x-1/2+1/3x-1/4x².... 所以当x→∞时,lim[x-x²㏑(1+1/x)]=lim[1/2-1/3x+1/4x²-.....]=1/2

崇阳县15356971453： 【急】将函数的幂级数展开为泰勒级数的泰勒公式是什么?如果可以,请举例说明!谢谢! - ？
揣方清胃： f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!]/(x-x0)∧2+.....+[fn(x0)/n!](x-x0)∧n+...的右边为 f在x=0处得泰勒展开式 在实际应用上,主要讨论x0=0处的展开式 例如求f(x)=e ∧x 的展开式 解:由于fn(x)=e∧x,fn(0)=1,(n=1,2,3....) 所以f的拉格朗日余项为Rn(x)=[e∧(θx)...

崇阳县15356971453： 什么叫泰勒公式?泰勒公式的应用 - ？
揣方清胃：[答案] 在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了...