请推导一个圆周率兀的计算公式,谢啦!

级数中圆周率如何推导出来的？~

1/(1+X*2)=1—X*2+X*4-……+（-1)*(n—1)xX*(2n—2)+……
积分导出：
arctanX=X—X*3/3+X*5/5-……+（-1）*(n—1)x[X*(2n—1)]/[2n—1]+……
取X=1;
π/4=1—1/3+1/5—……+（-1）*（n—1）[1/(2n—1)]+……
即可得出。
其中*表示乘方，x表示乘号，X表示字母X。

S圆=S长方形=πR*R
图中长方形的长=πR，宽=R

第一类算法：arctan 的级数展开
PI/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) (1)
arctan(x) = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + .... (2)
很容易想到，要得到超高精度的 PI 值，实数在计算机中必须以数组的形式进行存取，数组的大小跟所需的有效位数成正比。在这个算法中，PI 的有效位数 n 随 (2) 的求和项数线性增加。而为计算 (2) 中的每一项，需要进行超高精度实数除以小整数(52, 2392, 2k+1)的循环，循环所需次数也跟 n 成正比。所以，这个算法总的时间复杂度为 O(n2)。

这个算法的优点是简单，而且只需要进行整数运算。下面给出我写的算 PI 程序。在程序中，我采用了一些提高速度的措施：超高精度实数以数组的形式进行存取，数组元素的类型为 64 位整数(long long)，每个元素储存 12 个十进制位；对 xk (x = 1/5, 1/239) 的头部和尾部的 0 的数量进行估计，只对非 0 的部分进行计算。

pi.cpp C++ 源程序，在 Linux 下以 g++ pi.cpp -o pi -O2 编译
pi.s 在 g++ 生成的汇编程序的基础上进行修改，速度更快，在 Linux 下以 g++ pi.s -o pi 编译
另外，还有许多跟 (1) 类似的式子，但不常用。例如：

PI/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
PI/4 = 8 arctan(1/10) - arctan(1/239) - 4 arctan(1/515)
第二类算法：与 1/PI 有关的级数
1/PI = (sqrt(8) / 9801) sumk=0~inf { [(4k)! (1103 + 26390k)] / [(k!)4 3964k] } (Ramanujan)
1/PI = (sqrt(10005) / 4270934400) sumk=0~inf { [(6k)! (13591409 + 545140134k)] / [(k!)3 (3k)! (-640320)3k] } (Chudnovsky)
以上两个级数(还有其它类似形式的级数，但不常用)比起 arctan 的泰勒级数要复杂得多。虽然仍然是线性收敛，总的时间复杂度也仍然是 O(n2)，但它们的收敛速度相当快， (Ramanujan) 每项可以增加 8 位有效数字， (Chudnovsky) 每项可以增加 14 位。

在这个算法中，除了要进行超高精度实数(数组形式)和小整数的运算外，还有一次超高精度实数的开方和倒数的运算，这需要用到 FFT(快速傅立叶变换)，在下文叙述。

第三类算法：算术几何平均值和迭代法
算术几何平均值(Arithmetic-Geometric Mean, AGM) M(a, b) 定义如下：

a0 = a, b0 = b
ak = (ak-1 + bk-1) / 2, bk = sqrt(ak-1 bk-1)
M(a, b) = limk->inf ak = limk->inf bk
然后，由椭圆积分的一系列理论(抱歉，过程我不懂)可以推导出如下公式：

a0 = 1, b0 = 1 / sqrt(2)
1/PI = { 1 - sumk=0~inf [2k (ak2 - bk2)] } / 2M(a0, b0)2 (AGM)
根据这条公式可以制定适当的迭代算法。在迭代过程中，有效位数随迭代次数按 2 的指数增加，即每迭代一次有效位数乘 2。算法中的超高精度实数的乘、除、开方等运算需要使用 FFT，在下文叙述。综合考虑 FFT 的时间复杂度，整个算法的时间复杂度约为 O(n log(n)2)。

除了 (AGM) 以外，还有其它的迭代序列，它们具有同样的时间复杂度。例如下面的这个序列将按 4 的指数收敛到 1/PI：

y0 = sqrt(2) - 1, a0 = 6 - 4 sqrt(2)
yk = [1 - sqrt(sqrt(1 - yk-14))] / [1 + sqrt(sqrt(1 - yk-14))], ak = (1 + yk)4 ak-1 - 22k+1 yk (1 + yk + yk2)
1/PI = limk->inf ak (Borwein)
FFT
如上所述，第二和第三类算法不可避免地要涉及超高精度实数(数组形式存取的多位数)的乘、除、开方等运算。多位数乘法如果按照常规方法来计算，逐位相乘然后相加，其时间复杂度将达到 O(n2)。使用 FFT 可大大减少计算量。

设有复数数组 a[k] 和 b[k] (k=0~n-1)，正向和反向的离散傅立叶变换(DFT)定义如下： (i = sqrt(-1))

b = FFTforward(a) : b[k] = sumj=0~n-1 ( a[j] e-i*j*2PI*k/n ) (3)
b = FFTbackward(a) : b[k] = (1/n) sumj=0~n-1 ( a[j] ei*j*2PI*k/n ) (4)
(3) 和 (4) 中的 (1/n) 可以放在任何一个式子中，也可以拆成 (1/sqrt(n)) 同时放在两个式子中，目的是保证正向和反向傅立叶变换以后不会相差一个因子。

当 n 的所有素因子均为小整数，尤其是当 n 为 2 的整数次幂的时候，使用适当的算法经过仔细的协调，可以避免多余的计算，使离散傅立叶变换 (3) 和 (4) 减少至 O(n log(n)) 的时间复杂度，即所谓的快速傅立叶变换(FFT)。具体的细节请查阅相关书籍。下面给出我写的一段 FFT 程序，仅供参考。另外也有已经开发的 FFT 函数库，例如 FFTW ，可以直接使用。

fft.cpp FFT 的 C++ 源程序
利用 FFT，要计算 n1 位和 n2 位的两个多位数乘法，可以这样进行：开辟两个长度为 n(n>=n1+n2，取 2m 最佳) 的复数数组，将两个多位数从低位到高位分别填入，高位补 0。对两个数组分别进行正向傅立叶变换。将得到的两个变换后的数组的对应项相乘，然后进行反向傅立叶变换，最后得到一个结果数组。由于傅立叶变换是在复数域中进行的，因此还要对结果数组进行取整和进位，才能得到最终的乘积。

值得留意的是傅立叶变换的精度问题。我们知道，在计算机中实数用单精度数或双精度数表示，它们会存在一定的误差。在计算多位数乘法时，n 往往是一个很大的数字，傅立叶变换过程中需要对数组的每一项进行求和，如何保证精度带来的误差不会因为求和而超出允许的范围？我的观点是必须使用双精度实数，而且由于统计特性，精度带来的误差在求和过程中不会很大，一般不会影响计算的正确性。如果需要保证计算的正确性，我想到两种检查方法。第一种是取模验算。例如，如果乘数和被乘数对 17 的模分别是 8 和 6，那么积对 17 的模就应该是 14。第二种是检查运算结果中浮点数偏离整数的最大值。如果偏差只有比如 10-3 量级，我们可以认为这个尺度的乘法运算很安全；如果偏差达到 0.5，说明运算已经出错了；如果偏差达到 0.1 量级，那也比较危险，也许换个别的乘数和被乘数就溢出了。

多位数的倒数和开方可以通过牛顿迭代求根法转化为乘法运算。例如，要计算 x = 1/a ，根据牛顿迭代法令 f(x) = 1/x - a ，可以得到以下迭代序列：

x0 ~= 1/a
xk = xk-1 - f(xk-1)/f'(xk-1) = 2xk-1 - axk-12 (5)
要计算 x = sqrt(a) ，可以先计算 x = 1 / sqrt(a) ，令 f(x) = 1/x2 - a ，可以得到以下迭代序列：

x0 ~= 1 / sqrt(a)
xk = xk-1 - f(xk-1)/f'(xk-1) = (3/2)xk-1 - (1/2)axk-13 (6)
(5) 和 (6) 均以 2 的指数收敛到所求结果。还存在其它更复杂一些的迭代序列，它们以更高的指数收敛，在此不提。不过需要提醒的是，跟 (AGM) 不同，这里 (5) 和 (6) 中的 x0 只是 1/a 和 1 / sqrt(a) 的约值，在前几次的迭代中不必进行满 n 位数的乘法运算，因而可以减少计算量。

相信这些你也恩能够找到，仅供参考吧：

圆周率的计算方法:
http://it.icxo.com/htmlnews/2004/09/13/335681.htm
这个比较全面好用。

但是要讲最基本原理就需要最基本的定义了：
定义： 圆的周长
π（圆周率）＝ —————
直径

在一个圆上作『内接正N边形』和『外切正N边形』， 当N越大时，所作出来的这两个正N边形的『周长』也就会越接近。 这个『周长』也就会越接近这个圆的圆周了
这方法好理解但是很不方便，计算麻烦。

http://forum.tech.sina.com.cn/cgi-bin/view.cgi?gid=23&fid=295&thread=14311&date=20050504
这个也还好理解，道理也比较清楚：
⑴ π＝180°sinθ∕θ 、
⑵ π＝180°tgθ∕θ 、
（θ→0°θ＞0°）
一、计算正24576边形的圆周率（祖率）
∴ θ＝180°∕24576＝0.007324219°
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝180°×sin0.007324219∕0.007324219
＝3.1415926
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝180°×tg0.007324219∕0.007324219
＝3.1415927
二、计算30位精度的圆周率
一般地，θ小数每增加一位，则π值有效值增加两位。
为了简化运算，θ取值为1.8°×10＾（-15）即可。
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝sin（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝tg（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5

高斯-勒让德算术几何平均值法计算PI
定义数列A,B使
A(1)=1,B(1)=1/SQR(2)
A(n)=(A(n-1)+B(n-1))/2
B(n)=SQR(A(n-1)*B(n-1))
则PI=lim(k无穷大)
k
(A(k)+B(k))^2/(1 - SUM (A(K)-B(K))*2^n)
n=0
据说与椭圆积分有关。

割圆术

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东坡区13713107719： 请推导一个圆周率兀的计算公式,谢啦! - ？
彤储复方： 相信这些你也恩能够找到,仅供参考吧:圆周率的计算方法: http://it.icxo.com/htmlnews/2004/09/13/335681.htm 这个比较全面好用.但是要讲最基本原理就需要最基本的定义了:定义: 圆的周长π(圆周率)= —————直径在一个圆上...

东坡区13713107719： 圆周率公式 - ？
彤储复方： 圆周率是没有确定的计算公式的,不过根据圆周率的定义是圆的周长与直径的比值,可以看成π=C/D,但是要求准确的C也只能在π已知的情况下. 在微积分之前是用正多边形无限逼近圆,从而近似计算圆的周长.有了微积分之后都是用反三角函数的泰勒展开式近似计算,arctanX=X-(X^3)/3+(x^5)/5-(x^7)/7.....取X=1,可以得π/4=1-1/3+1/5-1/7... 就可以近似得到π的值.

东坡区13713107719： 下面的圆周率计算公式怎么推导?？
彤储复方： 设 f(x)=x-x³/3+(x^5)/5-(x^7)/7+……+(-1)ⁿx*x²ⁿ/(2n+1)+……f'(x)=1-x²+(x²)²-(x²)³+……+(-x²)ⁿ+……=1/(1+x²)f(x)-f(0)=∫【0,x】dx/(1+x²)=arctanx-arctan0∵ f(0)=0,arctan0=0,∴ f(x)=arctanx4f(1)=4arctan1=4*π/4=π//设 g(x)=(x^4)/(2*3*4)-(x...

东坡区13713107719： 圆周率的计算公式是什么? - ？
彤储复方： 圆周率(Pi)是圆的周长与直径的比值.一般用希腊字母π表示.π=圆周长/直径≈内接正多边形/直径.当正多边形的边长越多时,其周长就越接近于圆的周长.“兀”是由我国古代数学家祖冲之的割圆术求出来的.圆周率(Pi)是圆的周长与直...

东坡区13713107719： 什么是割圆法求圆周率?请帮忙列出具体如何求出π的步骤? - ？
彤储复方：[答案] 古人计算圆周率,一般是用割圆法.即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位精度;鲁道夫用正262边形得到了35位精度.这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃...

东坡区13713107719： 圆周率的公式 - ？
彤储复方： 圆周率π是单位圆内接正n边长的半周长,既π=Ln=nsin(180°/n)的极限

东坡区13713107719： 是关于计算机,计算圆周率的一个公式!①π=2^n*√(2 - √(2+…√2+)…) ②π=3*2^n*√(2 - √(2+…√(2+√3)…) ③π=2*2^n*√(2 - √(2+…√2+)…)/√(2+√(2+…... - ？
彤储复方：[答案] 这是计算圆周率的四个不同公式,都可以求得π,√表示从此符号以后的()内都在此根号里面,如π=2^n*√(2-√(2+…√2+)…) 表示π=2的n次方乘以(2-√(2+…√2+)…)的根号(即0.5次方) . 这四个公式对求π的速度是不同的,也就是极限的收...

东坡区13713107719： 圆周率π是如何得出来的?π的计算公式又是什么? - ？
彤储复方： 开始是估算:“径一周三”就是一个结果;后来比较出名的就是割圆术,现在基本都是编程序让计算机计算出来的.π的计算公式有以下一些: π/4=1-1/3+1/5-1/7+...... π²/6=1+1/2²+1/3²+1/4²+...... π²/8=1+1/3²+1/5²+1/7²+...... π²/12=1-1/...

东坡区13713107719： 圆周率最简单的算法 可以自己算的 - ？
彤储复方： π=4(1-1/3+1/5-1/7+……)这应该是π最简单的算法了,但右边的级数收敛很慢,哪怕是计算π的几位精确值,也许算几千几万项. π=16(0.2-0.2^3/3+0.2^5/5-0.2^7/7+……)-4(1/239-(1/239)^3/3+(1/239)^5/5-(1/239)^7/7+……)这个公式收敛较快,每计算一项,可得到π的1.4位10进制精度.

东坡区13713107719： 圆周率是怎么算出来的? - ？
彤储复方： 圆周率是一个圆的周长与直径的比值,可用圆的周长除以直径计算圆周率.圆周率一般用希腊字母π表示.π=圆周长/直径≈内接正多边形/直径.当正多边形的边长越多时,其周长就越接近于圆的周长.“π”是由我国古代数学家祖冲之的割圆术...