已知在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AF为∠BAC的平分线,交BD于E,交BC于F。求证;2OE=FC 急!!
证明:
过F做FP垂直AC于P,连接EP。
三角形ABF和三角形AFP中,AF是公共边,角BAF=角PAF,
角APF=ABF=90度,所以两个三角形全等。所以AP=AB。---(1)
三角形ABE和三角形AEP中,AE是公共边,角BAE=角PAE,AP=AB,两个三角形也是全等。
所以角APE=角ABE=45度
三角形OEP中,角EOP=90度,角OPE=45度,所以这是等腰直角三角形,OP=OE
所以AO+OE=AO+OP=AP=AB。这里应用到了刚才(1)得到的结论。
因为在三角形FPC中,角FPC=90度,角FCP=45度,所以FP=PC。
在三角形EFP中,角EFP=90-(45/2)=67.5度,角FEP=角FAP+角APE=45/2 + 45 = 67.5度,
所以PE=PF。
所以FC = 根号2 * PF = 根号2 * PE = 根号2 * (根号2 *OE) = 2 * OE
证明:
作OM‖BC,交AF于点M
则OM是△ACF的中位线
∴AOM=∠ACB=45°,OM=1/2BC
∵∠OEM=∠ABE+∠BAE=45°+∠BAE,∠OME=∠AOM+∠OAM=45°+∠OAM
∵∠BAE=∠OAM
∴∠OME=∠OEM
∴OM=OE
∴OE=1/2CF
∴FC=2OE
作CG⊥AC,交AF的延长线于G
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线
∴AC⊥BD,AO=CO
∵AF平分∠BAC
∴∠BAF=∠CAF=22.5º
∵∠CFG=∠AFB=90º-∠BAF=67.5º
∠G=90º-∠CAG=67.5º
∴∠CFG=∠G
∴CF=CG
∵BD⊥AC,CG⊥AC
∴BD//CG
∴AO/AC=OE/CG=1/2
∴2OE =CG=CF
证明:过O作BC的平行线,交AE于M.
∵O是AC的中点,∴OM是ΔACF的中位线,则OM=FC/2.
在ΔOME中,∠OME=∠AOM+∠OAM,∠OEM=∠ABE+∠BAE,
∵OM∥CF,∴∠AOM=∠ACB,
又∠ACB=∠ABE=45°,∠OAM=∠BAE(AF是∠BAC角平分线),
∴∠OME=∠OEM,
∴OE=OM=FC/2,∴2OE=FC .
13.在正方形ABCD中,已知AB=(1,1),BC=(x,y),则x的平方加上2y的平方等于...
在正方形ABCD中,已知AB=(1,1),BC=(x,y)所以向量AB*BC=x+y=0,y=-x,① AB^2=BC^2,即x^2+y^2=2,②把①代入②,得2x^2=2,x^2=1,于是x^2+2y^2=3x^2=3.
已知正方形ABCD,请用尺规在CD上求作点E,使DE:CE=1:根号二
⑷过G点作GE∥FC交CD于E 则E点即为所作,它使得DE:DC=DG:GF=1:根号二 注:在第⑵步中,以单位长作一正方形,然后作出此正方形的对角线,那么此角线DM长即为1单位长的根号二倍。用DM长在DH上截出GF即可。
已知 如图,在正方形ABCD中
∴⊿ODQ≌⊿OCP(SAS),∠DOQ=∠COP.∴∠COP+∠COQ=∠DOQ+∠COQ.即∠POQ=∠COD=90度.(正方形对角线互相垂直)∴OP⊥OQ.
已知 如图在正方形abcd中有一点P,且PB=2,PC=4
135度。将三角形ABP顺时针旋转90度,由于ABCD是正方形,所以AB与BC重合,记此时旋转后的P点是Q。三角形ABP和三角形CBQ全等。所以BQ=BP=2,AP=CQ=2根号2,而且 角ABP=角CBQ 连接PQ,由于 角ABC=角PBQ =90度,PB=AP,所以PQ=2根号2,角BQP =45度。又由于PQ,PC,QC组成直角三角形的边长关...
已知:如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的点,且AE垂直于EF于...
(1)AE=EP.证明:设AB=X,BE=Y,则EC=X-Y.作PG垂直BC的延长线于G,易知PG=CG,设 ∠BAE+∠AEB=90°=∠AEB+∠PEC,则:∠BAE=∠PEC;又∠B=∠PGE=90°.故⊿ABE∽⊿EGP,AB\/BE=EG\/PG,即:X\/Y=[(X-Y)+CG]\/PG=(X-Y+PG)\/PG,PG=Y.即PG=BE.则:⊿ABE≌ΔEGP(相似比为1的两个...
已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交D...
由△APD≌△AEB,∴PD=BE= 3 ,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=1 2 + 6 2 ,因此④是错误的;连接BD,则S△BPD=1 2 PD×BE=3 2 ,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 6 2 ,所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+ 6 .综上可知,正确的有①③⑤....
已知如图,在正方形abcd中,ef是边bc,cd上的点,且be=cf,那么,线段ae与bf...
∵四边形ABCD是正方形,BE=CF ∴易证△ABE≌△BCF(SAS)∴∠AEB=∠BFC 又∵∠FBE+∠BFC=90° ∴∠FBE+∠AEB=90° ∴∠BGF=90° ∴AE与BF的夹角为90°
在正方形ABCD内有一点E,已知∠ABE=∠BAE,求证△CDE是正三角形。
在△DCE 中,EC=DC,∠ECD=60° ∴△DCE是等边三角形 ∵正方形ABCD ∴∠ABC=90°,AB=BC=DC 在△BCE中 取一点F使∠FBC=∠FCB=15° 连接BF,EF,连接CF并延长交BE于点N 在△ABE和△BCF中 ∠EAB=∠FBC=15° AB=BC ∠EBA=∠FCB=15° ∴△ABE≌△BCF ∴AE=BF=BE ...
已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC和CD上,∠BAE=∠DAF. (1...
∠B=∠D=90°∵∠BAE=∠DAF∴△ABE≌△ADF∴BE=DF;(2)∵正方形ABCD∴∠BAC=∠DAC ∵∠BAE=∠DAF ∴∠EAO=∠FAO∵△ABE≌△ADF ∴AE=AF ∴EO=FO,AO⊥EF∵OM=OA ∴四边形AEMF是平行四边形∵AO⊥EF ∴四边形AEMF是菱形.点评:全等三角形的判定和性质是初中数学的重点,贯穿于...
如图,在正方形ABCD中,AB=8,点E在边AB上,CE的垂直平分线FP分别交AD、CE...
已知正方形ABCD的边长为8,在Rt△EBC中由勾股定理有:CE^2=BE^2+BC^2=x^2+64 所以,CE=√(x^2+64)已知FP为CE的垂直平分线 所以,HE=CE\/2=[√(x^2+64)]\/2 已知BE=x,BP=y,则:EP=BE+BP=x+y 由(1)的结论知,△EBC∽△EHP 所以,CE\/PE=BE\/HE 则,√(x^2+64)\/(x+y...
姚秀组织: 已知正方形对角线ac=8 已知正方形abcd面积=边长x边长边长平方+边长平方=8平方 2边长平方=64 边长平方=32 已知正方形abcd面积=边长平方=32
图木自治县市15795339981: 已知:如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F.求证:EF+AE=AB - ?
姚秀组织: 证明: 过F作FM⊥AB,垂足为M 因为四边形ABCD是正方形 所以=45° 所以∠AEF=∠AMF=90° 又因为∠EAF=∠MAF,AF=AF 所以△AEF≌△AMF 所以AE=AM,EF=MF 因为∠ABD=45°,∠BMF=90 所以∠MBF=∠MFB=45° 所以MB=MF 所以EF+AE=MF+AM=BM+AM 所以EF+AE=AB
图木自治县市15795339981: 已知正方形ABCD中,对角线AC=24㎝,P是AB边上任意一点,则点P到对角线AC和BD的距离之和为▁▁▁▁㎝ - ?
姚秀组织: 点P到对角线AC和BD的距离之和恰好是对角线长的一半.所以,点P到对角线AC和BD的距离之和为12cm.
图木自治县市15795339981: 已知在正方形ABCD中,对角线AC、DB交于点O,E是CD边上一点,AE与对角线DB交于点M,连接CM.(1)如图,点F是线段CB上一点,AF与DB交于点N,... - ?
姚秀组织:[答案] (1)在正方形ABCD中,AC与BD互相垂直平分,∴AM=CM,AN=CN,∴∠MAC=∠MCA,∠NAC=∠NCA,∵∠CME=30°,∠CNF=50°,∴∠MAC=12∠CME=15°,∠NAC=12∠CNF=25°,∴∠EAF=∠MAC+∠NAC=15°+25°=40°;(2)如图,...
图木自治县市15795339981: 勾股定理:在正方形ABCD中,对角线AC=根号2,则边长是? - ?
姚秀组织:[答案] 在Rt△ABC中,已知AC= 2,且AB=BC, 则AB2+BC2=AC2, 解得AB=1, ∴正方形ABCD的面积为a, 故答案为 1.
图木自治县市15795339981: 在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF.连接DF, - ?
姚秀组织: 好办~ ∵DE=CF,OD=OC(这应该不用解释吧?) ∴OE=OF(等量减等量) 在△AOE与△DOF中OA=OD(关于对角线吗……不多解释) ﹛∠AOD=∠COD(对角线夹角是直角知道不?要是不让就证明一下)OE=OF ∴△AOE≌△DOF(SAS) ∴∠OAE=∠ODF(三角形全等,对应角等) ∵∠OAE+∠OMF+∠AFD=180°,∠ODF+∠DOC+∠OFD=180° ∴∠AMF=∠DOC(等量代换懂么?) ∵∠DOC=90°(夹角90°是不?) ∴∠AMF=90° ∴AM⊥DF 哈哈,完成啦,有什么不同的你再改改~~~那个大括号打不出来,见谅啊 纯手打,望采纳,抄袭者死!!!!!
图木自治县市15795339981: 如图 在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ACB的平分线CE交BO于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F,交AC于点G - ?
姚秀组织: 由ABCD是正方形,可知OB=OC.∵∠BEF=∠OEC(对顶角相等)∠BFE=∠COE=90° ∴∠FBE=∠OCE 又∵∠BOG=∠COE=90°OC=OB ∴△BOG≌△COE(ASA) ∴BG=CE 又∵∠OCE=∠BCE , CF=CF,∠BFC=∠GFC=90° ∴△BCF≌△GCF(SAS) ∴BF=FG=1/2BG ∴BF/CE=1/2BG/CE=1/2
图木自治县市15795339981: 如图,已知正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,过O点作OE⊥OF分别交DC于E,交BC于F,∠FEC的角平分线EP交直线AC于P(1)求证:OE=OF;(2)... - ?
姚秀组织:[答案] (1)证明:∵正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,∴AC⊥BD,∴∠BOC=∠DOC=90°,∴∠BOF+∠FOP=90°,∵OE⊥OF,∴∠FOE=90°,∴∠EOC+∠FOP=90°∴∠BOF=∠EOC,又∵OB=OC,∠OBF=∠DCE=45°,∴△BOF≌△C...
图木自治县市15795339981: 已知,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使AE=AB,并且作交BC于F,试说明:BF=EF=EC. - ?
姚秀组织: 问题中如果缺少的条件是“并且过点E做AC的垂线交BC于F”的话,应该是这样解答:连接BE,在ΔCEF中,因为EF⊥AC,且ABCD为正方形,所以ΔCEF为等腰直角三角形(即∠ECF=∠EFC,∠CEF=90°),所以CE=EF.同理在ΔABE中,因为已知AB=AE,所以∠AEB=∠ABE,又因为∠AEF=∠ABF=90°,所以对应相减得∠FEB=∠FBE,对应角相等可推出对应边相等,即EF=BF.综上:BF=EF=EC
图木自治县市15795339981: (2014•锦州)(1)已知正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,如图①,将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′,OC′与CD交于点M,OB′与BC... - ?
姚秀组织:[答案] (1)CM=BN.理由如下:如图①,∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,∠BOC=90°,∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′,∴∠B′OC′=∠BOC=90°,∴∠B′OC+∠COC′=90°,而∠BOB′+∠B′OC=90...