关于高中向量定理问题。

高中向量问题~

[编辑本段]向量的表示　　1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
　　2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）
　　3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 [编辑本段]向量的模和向量的数量　　向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。
　　
　　注：
　　1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。
　　2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。 [编辑本段]特殊的向量　　 单位向量
　　长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
　　 零向量
　　长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
　　 相等向量
　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．
　　规定：所有的零向量都相等．
　　当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。
　　 自由向量
　　始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
　　在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。
　　数学中只研究自由向量。
　　 滑动向量
　　沿着直线作用的向量称为滑动向量。
　　 固定向量
　　作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
　　 位置向量
　　对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。 [编辑本段]相反向量　　与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。有 -（-a）=a；
　　零向量的相反向量仍是零向量。
　　 平行向量
　　方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b．
　　零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行．
　　平行于同一直线的一组向量是共线向量。
　　 共面向量
　　平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。
　　空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。
　　只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。 [编辑本段]向量的运算　　设a=（x，y），b=(x'，y')。
　　 1、向量的加法
　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
　　AB+BC=AC。
　　a+b=(x+x'，y+y')。
　　a+0=0+a=a。
　　向量加法的运算律：
　　交换律：a+b=b+a；
　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
　　 2、向量的减法
　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
　　 3、数乘向量
　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
　　当λ＞0时，λa与a同方向；
　　当λ＜0时，λa与a反方向；
　　当λ=0时，λa=0，方向任意。
　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
　　 4、向量的数量积
　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
　　向量的数量积的运算律
　　a·b=b·a（交换律）；
　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；
　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
　　向量的数量积的性质
　　a·a=|a|的平方。
　　a⊥b 〈=〉a·b=0。
　　|a·b|≤|a|·|b|。
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
　　3、|a·b|≠|a|·|b|
　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
　　 5、向量的向量积
　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
　　向量的向量积性质：
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
　　a×a=0。
　　a∥b〈=〉a×b=0。
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a；
　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
　　（a+b）×c=a×c+b×c.
　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
　　 6、三向量的混合积
　　定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
　　混合积具有下列性质：
　　1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
　　2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
　　3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
　　4、(a×b)·c=a·(b×c)
　　 向量的三角形不等式
　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
　　① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
　　② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
　　① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
　　② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
　　 定比分点
　　定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）
　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
　　若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
　　x=(x1+λx2)/(1+λ),
　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
　　三点共线定理
　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
　　三角形重心判断式
　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
　　a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
　　零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件　　a⊥b的充要条件是 a·b=0。
　　a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
　　零向量0垂直于任何向量.

第一个如果你没有打错题的话 答案是3a+1/2b
第2题答案 -8a-4b+10c
第3题答案 0

向量与实数的乘法运算 法则同有理数的运算法则

其实你没有理解书中的公式：向量OP=向量OM+x向量MA+y向量MB.
向量OP＝x向量OA＋y向量OB＋z向量OM.
其中第二个公式中的x, y,z必须满足x+y+z=1才能判别P,A,B,M共面的.
也就是说如果: 向量OP＝x向量OA＋y向量OB＋z向量OM.,且x+y+z=1, 则P,A,B,M共面的. (1)
(1) 向量OP=向量OM+向量PA+向量PB
=向量OM+向量OA-向量OP+向量OB-向量OP
因此得到3向量OP=向量OA+向量OB+向量OP
从面向量OP=1/3向量OA+1/3向量OB+1/3向量OP
满足书上的结论,因此P,A,B,M共面.
(2) 向量OP=1/3向量OA+1/3向量BA+1/3向量MA
=1/3向量OA+1/3(向量OA-向量OB)+1/3(向量OA-向量OM)
=向量OA-1/3向量OB-1/3向量OM
前面的系数加起来等于1, 因此P,A,B,M共面.

下面字母表示向量。
OP=OM＋PA＋PB
OP－OM=PA＋PB
MP=PA＋PB
即：PM=－PA－PB
此式子表示向量PM可以有向量PA和PB线性表示，则向量PM、PA、PB共面，也就是说点P、M、A、B四点共面。

我以前碰到过。书本上的公式来源于一道习题。这要看图形分析，具体情况具体对待

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信宜市18282358029： 关于高一数学下册(平面向量基本定理)的问题平行四边形ABCD中 ,M、N分别为DC、BC的中点 ,已知 向量AM = c ,向量AN = d ,试用 c、d 表示 向量... - ？
柞汤麦道：[答案] 可以列方程组啊: M、N分别为DC、BC的中点 则BN=NC=1/2BC=1/2AD, DM=MC=1/2DC=1/2AB 则向量BN=1/2*向量AD , 向量DM=1/2*向量AB , △ABN中,向量AB+向量BN-向量AN=0 即 向量AB+1/2*向量AD -d=0 (1) △AMD中,向量AD+向...

信宜市18282358029： 关于高中数学空间向量的几个问题①空间向量共面定理和平面向量基本定理有什么区别? - ？
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信宜市18282358029： 关于高中向量定理问题. - ？
柞汤麦道： 其实你没有理解书中的公式:向量OP=向量OM+x向量MA+y向量MB. 向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OM. 其中第二个公式中的x, y,z必须满足x+y+z=1才能判别P,A,B,M共面的. 也就是说如果: 向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OM.,且x+y+z=1...

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柞汤麦道： 1、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈...

信宜市18282358029： 高一数学关于“向量的概念、运算及基本定理”问题 - ？
柞汤麦道： OA=1,2 AB=3,3 tAB=3t,3t 所以 OP=1+3t , 2+3t (1) P在x轴上,所以,2+3t=0 ,t=-2/3 (2) 点P在第三象限,所以1+3T小于0 2+3T小于0 联立解得…… (3),待续

信宜市18282358029： 高一数学向量概念问题 - ？
柞汤麦道： 结论内容如下:对于平面上有公共始点的三个向量,则终点共线的充要条件是一个向量可以用其中两个向量线性表示,且系数和是1.符号语言:(由于符合不好打,就用『AB』表示向量AB了) 『OC』=m『OA』+n『OB』,则m+n=1的充要条...

信宜市18282358029： 高中的向量问题 - ？
柞汤麦道： 向量本身其实就是一个移动,你现在的问题是移动1+移动2等于多少;移动2是:(2,-1)所以最终的移动也就是向量的结果为; (1,1)+(2,-1)=(3,0)

信宜市18282358029： 高中数学 平面向量问题向量符号不会就直接打在字母前面了已知|→OA|=1,|→OB|=根号3,→OA * →OB=0,点C在AB上,且∠AOC=30°,设→OC= m→OA+n... - ？
柞汤麦道：[答案] 给你一点提示吧.把这个问题放在坐标系中很容易解呀!以O为原点,OA,OB所指方向分别为x轴,y轴正方向.则点A,B坐标可求的.直线AB,OC的方程都可求,这样点C坐标就可求出了.注意点C坐标并不是m与n的值但有关系.什么关系你自...