一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式:
一般的,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式(linear ineqality with one unknown)。
不等式的性质:
1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向不变。
解一元一次不等式的一般方法:
1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、将x的系数化为1
一次函数
目录·定义与定义式
·一次函数的性质
·一次函数的图像及性质
·确定一次函数的表达式
·一次函数在生活中的应用
·常用公式(不全,希望有人补充)
·应用
【读音】yīcì hánshù
【解释】
定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx (k为常数,k≠0)
一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
一次函数的图像及性质
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线必通过原点。
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
确定一次函数的表达式
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
常用公式(不全,希望有人补充)
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
5.求两一次函数式图像交点坐标:解两函数式
应用
一次函数y=kx+b的性质是:(1)当k>0时,y随x的增大而增大;(2)当k<0时,y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ,则当m=______________时,y随x的增大而减小。
解:根据正比例函数的定义和性质,得 且m<0,即 且 ,所以 。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是( )
A. x1>x2 B. x1 x2 C. D.
解:根据题意,知k=3>0,且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解:由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小,所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。故选A
一元一次不等式:
一般的,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式(linear ineqality with one unknown)。
不等式的性质:
1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向不变。
解一元一次不等式的一般方法:
1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、将x的系数化为1
一次函数
目录·定义与定义式
·一次函数的性质
·一次函数的图像及性质
·确定一次函数的表达式
·一次函数在生活中的应用
·常用公式(不全,希望有人补充)
·应用
【读音】yīcì hánshù
【解释】
定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx (k为常数,k≠0)
一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
一次函数的图像及性质
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线必通过原点。
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
确定一次函数的表达式
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
常用公式(不全,希望有人补充)
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
5.求两一次函数式图像交点坐标:解两函数式
应用
一次函数y=kx+b的性质是:(1)当k>0时,y随x的增大而增大;(2)当k<0时,y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ,则当m=______________时,y随x的增大而减小。
解:根据正比例函数的定义和性质,得 且m<0,即 且 ,所以 。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是( )
A. x1>x2 B. x1 x2 C. D.
解:根据题意,知k=3>0,且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解:由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小,所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。故选A
乙的存款额:y2=2000+200x
图象自己画下吧!关键画出它们的交点
600+500x=2000+200x
300x=1400
x=4.66(月数是正整数)
所以由函数图象你可以知道,第5个月时;甲的存款额超过乙的存款额
假设从2003年11月份起经过x个月,赵强的存款额才能超过李峰的存款额.
到2003年10月底,赵强拥有存款600元,李峰拥有存款2000元,从11月份起,赵强每月存款500元,李峰每月存款200元,因而赵强的存款额是600+500x,李峰的存款额是2000+200x.
要想赵强的存款额能超过李峰的存款额,则600+500x>2000+200x.
通过x的值即可知.
解答:解:设从2003年11月份起经过x个月,赵强的存款额才能超过李峰的存款额.
则由题意得 600+500x>2000+200x
解得x>143
即从2003年11月份起经过5个月,赵强的存款额才能超过李峰的存款额.也就是至2004年3月底,赵强的存款额才能超过李峰的存款额.
故答案为2004,3
一次函数与一元一次方程或不等式的关系
一次函数的一般表达式为:y=kx+b.它有x,y两个变量,y随x的变化而变化.它所表达的函数图像是一条直线.一元一次方程的一般表达式为:ax+b=0,它只有一个因变量x.它的解是固定的,有且只有一个解.它所表达的图像是一条与y轴平行的直线.而 一元一次不等式的解是数轴上的一个范围,有很多个解 ...
一元一次方程和不等式区别是什么?
4、 运算关系的相似处:一元一次不等式的解是无数满足此关系的一元一次方程解的集合。(比如:2x+12,是2x+1=1.9、2x+1=1.99…的解得集合)5、 +、-运算过程相同*、运算过程相似。6、 区别:结构上(等号与不等号)。7、 *、运算过程不同(变号)。8、 结果的表示方式不同(一个是...
一元一次不等式与一次函数分别是?
一元一次不等式的解就是对应的一次函数图像的几何性质,比如kx+b>0的解就是一次函数y=kx+b在x轴上方的x的取值范围。两个函数表达式的不等式解为他们x的解。假如:已知两个函数表达式:y=2x和y=0.5x 己知都是经过原点的函数表达式(因为没有b)所以就可以列出一个不等式2x>0.5x,解出来x>0...
一元一次不等式与一元一次方程有何关系
不同点:方程必须是等式用等号,一元一次不等式用不等号,不用等号,一个求具体值,一个求范围 相同点:都有未知数,
求问一元一次不等式与一元一次方程组的区别和联系!
1、结构上的相似处:都只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是 整式,未知数的次数都是1 2、运算关系的相似处:一元一次不等式的解是无数满足此关系的一元一 次方程解的集合.(比如:2x+1
解一元一次不等式与解一元一次方程有什么区别和联系
区别就是 一元一次方程是等式 且他不会想一元一次不等式一样除负数变号 一元一次不等式 在你除以一个比0小的数时需要变号 数轴也要改变方向 ... 应该就这些 望楼主学习进步 更上一层楼 — 望采纳
一次函数和一元一次方程式和一元一次不等式的区别
相同点:1、都只有一个未知数 2、未知数的次数只有一 不同点:不等式只能求出未知数的取值范围。方程能求出一个值。
一次函数与不等式与一元一次方程、二元一次方程的关系
函数图像与一元一次不等式、一元一次方程、二元一次方程组的关系有哪些知识点?它们往往与一次函数有关,一家亲啊!它们的关系——“四个一”的关系,四句话:①使一次函数y=ax+b(a≠0)为零的自变量x,就是直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标,就是一元一次方程ax+b=0(a≠0)的根。反之...
解一元一次方程和解一元一次不等式的过程的异同点
一元一次方程和解一元一次不等式的过程 基本是一模一样的。唯一的不同点就是在解不等式时要注意不等式的方向。一元一次方程 含有一个未知数、次数为1,并且左右相等的等式叫做一元一次方程(linear equation in one unknown);使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解(solution)一元一次不...
一次函数和一元一次方程有什么关系,和不等式又有什么关系,如果知道就举...
看到这个问题的时候 我沉思了一番 首先我想请你思考一下代数与几何的大致情形 代数化 几何化 我想是中学时代在数学上常用的数学思维与策略 一次函数在几何图形表示上就是平面直角坐标系上的一条直线 在代数关系表示上就是一个关x,y的等式 而不等式与一次函数的关系 我想主要是构建在不等式与一次函数...
锐冯伊可:[答案] 一元一次不等式的解就是对应的一次函数图像的几何性质 比如kx+b>0的解就是一次函数y=kx+b在x轴上方的x的取值范围
贵溪市19733799956: 一元一次方程,一元一次不等式与一次函数有何联系,简洁点, - ?
锐冯伊可:[答案] 一元一次函数:y=x+3 一元一次不等式:x+3>0 就是 一元一次函数的y>0 一元一次不等式:x+3再加上: 一元一次不等式可以看做求当一次函数的值y>0(或y解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答更多答案(1)
贵溪市19733799956: 一元一次不等式与一次函数一元一次方程的区别相同处与不同处,急、、 - ?
锐冯伊可:[答案] 不同点:一元一次不等式能求出的是一个取值范围 比如9>x>2,x可以是8,7,6..等等的数,只要符合题意;而一元一次方程只有一个解,比如x=1,答案就只能是1 相同点: 都只有一个未知数 未知数的次数只有一
贵溪市19733799956: 一元一次不等式与一次函数的关系?老师总结的是:一元一次不等式可以看做求当一次函数的值y>0(或y - ?
锐冯伊可:[答案] 一元一次函数:y=x+3 一元一次不等式:x+3>0 就是 一元一次函数的y>0 一元一次不等式:x+3
贵溪市19733799956: 一元一次不等式与一次函数的关系? - ?
锐冯伊可: 一元一次方程kx+b=0解是什么 x=-b/k 一元一次不等式 kx+b>0 k大于时,x大于-b/k;k小于时,x小于-b/k kx+b<0 解是什么 k大于0时,x小于-b/k;k大于0时,x大于-b/k
贵溪市19733799956: 一次函数与一元一次不等式的关系? - ?
锐冯伊可: 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式. 大于0时函数图像在x轴上方,小于0时图像在x轴下方
贵溪市19733799956: 一元一次不等式与一次函数 - ?
锐冯伊可: 一元一次不等式: 一般的,用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式(linear ineqality with one unknown). 不等式的性质: 1.不等式的两边都加...
贵溪市19733799956: 一元一次不等式与一次函数有什么关系? - ?
锐冯伊可: 一元一次不等式的解就是对应的一次函数图像的几何性质 比如kx+b>0的解就是一次函数y=kx+b在x轴上方的x的取值范围
贵溪市19733799956: 一次函数与一元一次方程或不等式的关系 - ?
锐冯伊可:[答案] 一次函数的一般表达式为:y=kx+b.它有x,y两个变量,y随x的变化而变化.它所表达的函数图像是一条直线. 一元一次方程的一般表达式为:ax+b=0,它只有一个因变量x.它的解是固定的,有且只有一个解.它所表达的图像是一条与y轴平行的直线. 而 一...
贵溪市19733799956: 一元一次不等式与一次函数一元一次方程的区别 - ?
锐冯伊可: 不同点: 一元一次不等式能求出的是一个取值范围 比如9>x>2,x可以是8,7,6....等等的数,只要符合题意;而一元一次方程只有一个解,比如x=1,答案就只能是1 相同点: 都只有一个未知数 未知数的次数只有一