一元一次不等式与一次函数

一次函数与一元一次不等式~

一元一次不等式:
一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式（linear ineqality with one unknown）。
不等式的性质：
1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变。
解一元一次不等式的一般方法：
1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、将x的系数化为1



一次函数
目录·定义与定义式
·一次函数的性质
·一次函数的图像及性质
·确定一次函数的表达式
·一次函数在生活中的应用
·常用公式（不全，希望有人补充）
·应用


【读音】yīcì hánshù
【解释】

定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。

当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）

一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线必通过原点。
当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）


确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

常用公式（不全，希望有人补充）
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

应用
一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1 x2 C. D.
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A

一元一次不等式:
一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式（linear ineqality with one unknown）。
不等式的性质：
1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变。
解一元一次不等式的一般方法：
1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、将x的系数化为1



一次函数
目录·定义与定义式
·一次函数的性质
·一次函数的图像及性质
·确定一次函数的表达式
·一次函数在生活中的应用
·常用公式（不全，希望有人补充）
·应用


【读音】yīcì hánshù
【解释】

定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。

当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）

一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线必通过原点。
当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）


确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

常用公式（不全，希望有人补充）
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

应用
一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1 x2 C. D.
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A

(1)甲的存款额：y1=600+500x
乙的存款额：y2=2000+200x
图象自己画下吧！关键画出它们的交点
600+500x=2000+200x
300x=1400
x=4.66（月数是正整数）
所以由函数图象你可以知道，第5个月时；甲的存款额超过乙的存款额

假设从2003年11月份起经过x个月，赵强的存款额才能超过李峰的存款额．
到2003年10月底，赵强拥有存款600元，李峰拥有存款2000元，从11月份起，赵强每月存款500元，李峰每月存款200元，因而赵强的存款额是600+500x，李峰的存款额是2000+200x．
要想赵强的存款额能超过李峰的存款额，则600+500x＞2000+200x．
通过x的值即可知．
解答：解：设从2003年11月份起经过x个月，赵强的存款额才能超过李峰的存款额．
则由题意得 600+500x＞2000+200x
解得x＞143
即从2003年11月份起经过5个月，赵强的存款额才能超过李峰的存款额．也就是至2004年3月底，赵强的存款额才能超过李峰的存款额．
故答案为2004，3

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贵溪市19733799956： 一元一次不等式与一次函数有什么关系? - ？
锐冯伊可：[答案] 一元一次不等式的解就是对应的一次函数图像的几何性质 比如kx+b>0的解就是一次函数y=kx+b在x轴上方的x的取值范围

贵溪市19733799956： 一元一次方程,一元一次不等式与一次函数有何联系,简洁点, - ？
锐冯伊可：[答案] 一元一次函数:y=x+3 一元一次不等式:x+3>0 就是 一元一次函数的y>0 一元一次不等式:x+3再加上: 一元一次不等式可以看做求当一次函数的值y>0(或y解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答更多答案(1)

贵溪市19733799956： 一元一次不等式与一次函数一元一次方程的区别相同处与不同处,急、、 - ？
锐冯伊可：[答案] 不同点:一元一次不等式能求出的是一个取值范围 比如9>x>2,x可以是8,7,6..等等的数,只要符合题意;而一元一次方程只有一个解,比如x=1,答案就只能是1 相同点: 都只有一个未知数 未知数的次数只有一

贵溪市19733799956： 一元一次不等式与一次函数的关系?老师总结的是:一元一次不等式可以看做求当一次函数的值y>0(或y - ？
锐冯伊可：[答案] 一元一次函数:y=x+3 一元一次不等式:x+3>0 就是 一元一次函数的y>0 一元一次不等式:x+3

贵溪市19733799956： 一元一次不等式与一次函数的关系? - ？
锐冯伊可： 一元一次方程kx+b=0解是什么 x=-b/k 一元一次不等式 kx+b>0 k大于时,x大于-b/k;k小于时,x小于-b/k kx+b<0 解是什么 k大于0时,x小于-b/k;k大于0时,x大于-b/k

贵溪市19733799956： 一次函数与一元一次不等式的关系? - ？
锐冯伊可： 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式. 大于0时函数图像在x轴上方,小于0时图像在x轴下方

贵溪市19733799956： 一元一次不等式与一次函数 - ？
锐冯伊可： 一元一次不等式: 一般的,用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式(linear ineqality with one unknown). 不等式的性质: 1.不等式的两边都加...

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锐冯伊可： 一元一次不等式的解就是对应的一次函数图像的几何性质 比如kx+b>0的解就是一次函数y=kx+b在x轴上方的x的取值范围

贵溪市19733799956： 一次函数与一元一次方程或不等式的关系 - ？
锐冯伊可：[答案] 一次函数的一般表达式为:y=kx+b.它有x,y两个变量,y随x的变化而变化.它所表达的函数图像是一条直线. 一元一次方程的一般表达式为:ax+b=0,它只有一个因变量x.它的解是固定的,有且只有一个解.它所表达的图像是一条与y轴平行的直线. 而 一...

贵溪市19733799956： 一元一次不等式与一次函数一元一次方程的区别 - ？
锐冯伊可： 不同点: 一元一次不等式能求出的是一个取值范围 比如9>x>2,x可以是8,7,6....等等的数,只要符合题意;而一元一次方程只有一个解,比如x=1,答案就只能是1 相同点: 都只有一个未知数 未知数的次数只有一