高考数学中圆锥曲线的经典例子?
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椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆 的一个焦点为(0,2)求 的值.
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由 ,根据关系 可求出 的值.
解:方程变形为 .因为焦点在 轴上,所以 ,解得 .
又 ,所以 , 适合.故 .
例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 , ,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,
求出参数 和 (或 和 )的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在 轴上时,设其方程为 .
由椭圆过点 ,知 .又 ,代入得 , ,故椭圆的方程为 .
当焦点在 轴上时,设其方程为 .
由椭圆过点 ,知 .又 ,联立解得 , ,故椭圆的方程为 .
例3 的底边 , 和 两边上中线长之和为30,求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨迹.
分析:(1)由已知可得 ,再利用椭圆定义求解.
(2)由 的轨迹方程 、 坐标的关系,利用代入法求 的轨迹方程.
解: (1)以 所在的直线为 轴, 中点为原点建立直角坐标系.设 点坐标为 ,由 ,知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因 , ,有 ,
故其方程为 .
(2)设 , ,则 . ①
由题意有 代入①,得 的轨迹方程为 ,其轨迹是椭圆(除去 轴上两点).
例4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 到两焦点的距离分别为 和 ,过 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
解:设两焦点为 、 ,且 , .从椭圆定义知 .即 .
从 知 垂直焦点所在的对称轴,所以在 中, ,
可求出 , ,从而 .
∴所求椭圆方程为 或 .
例5 已知椭圆方程 ,长轴端点为 , ,焦点为 , , 是椭圆上一点, , .求: 的面积(用 、 、 表示).
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边,从而利用 求面积.
解:如图,设 ,由椭圆的对称性,不妨设 ,由椭圆的对称性,不妨设 在第一象限.由余弦定理知: • .①
由椭圆定义知: ②,则 得 .
故 .
例6 已知动圆 过定点 ,且在定圆 的内部与其相内切,求动圆圆心 的轨迹方程.
分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式.
解:如图所示,设动圆 和定圆 内切于点 .动点 到两定点,
即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径,
即 .∴点 的轨迹是以 , 为两焦点,
半长轴为4,半短轴长为 的椭圆的方程: .
说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
例7 已知椭圆 ,(1)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点 、 , 为原点,且有直线 、 斜率满足 ,
求线段 中点 的轨迹方程.
分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:设弦两端点分别为 , ,线段 的中点 ,则
①-②得 .
由题意知 ,则上式两端同除以 ,有 ,
将③④代入得 .⑤
(1)将 , 代入⑤,得 ,故所求直线方程为: . ⑥
将⑥代入椭圆方程 得 , 符合题意, 为所求.
(2)将 代入⑤得所求轨迹方程为: .(椭圆内部分)
(3)将 代入⑤得所求轨迹方程为: .(椭圆内部分)
(4)由①+②得 : , ⑦, 将③④平方并整理得
, ⑧, , ⑨
将⑧⑨代入⑦得: , ⑩
再将 代入⑩式得: , 即 .
此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例8 已知椭圆 及直线 .
(1)当 为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为 ,求直线的方程.
解:(1)把直线方程 代入椭圆方程 得 ,
即 . ,解得 .
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 , ,由(1)得 , .
根据弦长公式得 : .解得 .方程为 .
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ;解决弦长问题,一般应用弦长公式.
用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.
例9 以椭圆 的焦点为焦点,过直线 上一点 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点 应在何处?并求出此时的椭圆方程.
分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
解:如图所示,椭圆 的焦点为 , .
点 关于直线 的对称点 的坐标为(-9,6),直线 的方程为 .
解方程组 得交点 的坐标为(-5,4).此时 最小.
所求椭圆的长轴: ,∴ ,又 ,
∴ .因此,所求椭圆的方程为 .
例10 已知方程 表示椭圆,求 的取值范围.
解:由 得 ,且 .
∴满足条件的 的取值范围是 ,且 .
说明:本题易出现如下错解:由 得 ,故 的取值范围是 .
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件,当 时,并不表示椭圆.
例11 已知 表示焦点在 轴上的椭圆,求 的取值范围.
分析:依据已知条件确定 的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出 的取值范围.
解:方程可化为 .因为焦点在 轴上,所以 .
因此 且 从而 .
说明:(1)由椭圆的标准方程知 , ,这是容易忽视的地方.
(2)由焦点在 轴上,知 , . (3)求 的取值范围时,应注意题目中的条件 .
例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 和 两点的椭圆方程.
分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
可设其方程为 ( , ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.
解:设所求椭圆方程为 ( , ).由 和 两点在椭圆上可得
即 所以 , .故所求的椭圆方程为 .
例13 知圆 ,从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段,求线段中点 的轨迹.
分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹.
解:设点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,则 , .
因为 在圆 上,所以 .
将 , 代入方程 得 .所以点 的轨迹是一个椭圆 .
说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为 ,
设已知轨迹上的点的坐标为 ,然后根据题目要求,使 , 与 , 建立等式关系,
从而由这些等式关系求出 和 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于 , 的方程,
化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.
例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在 轴上的椭圆,过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 , 两点,求弦 的长.
分析:可以利用弦长公式 求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
.因为 , ,所以 .因为焦点在 轴上,
所以椭圆方程为 ,左焦点 ,从而直线方程为 .
由直线方程与椭圆方程联立得: .设 , 为方程两根,所以 , , , 从而 .
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.
由题意可知椭圆方程为 ,设 , ,则 , .
在 中, ,即 ;
所以 .同理在 中,用余弦定理得 ,所以 .
(法3)利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 , ,它们分别是 , 的横坐标.
再根据焦半径 , ,从而求出 .
例15 椭圆 上的点 到焦点 的距离为2, 为 的中点,则 ( 为坐标原点)的值为A.4 B.2 C.8 D.
解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为 ,由椭圆第一定义得 ,所以 ,
又因为 为 的中位线,所以 ,故答案为A.
说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆.
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即 ,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.
例16 已知椭圆 ,试确定 的取值范围,使得对于直线 ,椭圆 上有不同的两点关于该直线对称.
分析:若设椭圆上 , 两点关于直线 对称,则已知条件等价于:(1)直线 ;(2)弦 的中点 在 上.
利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围.
解:(法1)设椭圆上 , 两点关于直线 对称,直线 与 交于 点.
∵ 的斜率 ,∴设直线 的方程为 .由方程组 消去 得
①。∴ .于是 , ,
即点 的坐标为 .∵点 在直线 上,∴ .解得 . ②
将式②代入式①得 ③
∵ , 是椭圆上的两点,∴ .解得 .
(法2)同解法1得出 ,∴ ,
,即 点坐标为 .
∵ , 为椭圆上的两点,∴ 点在椭圆的内部,∴ .解得 .
(法3)设 , 是椭圆上关于 对称的两点,直线 与 的交点 的坐标为 .
∵ , 在椭圆上,∴ , .两式相减得 ,
即 .∴ .
又∵直线 ,∴ ,∴ ,即 ①。
又 点在直线 上,∴ ②。由①,②得 点的坐标为 .以下同解法2.
说明:涉及椭圆上两点 , 关于直线 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式:
(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式 ,建立参数方程.
(2)利用弦 的中点 在椭圆内部,满足 ,将 , 利用参数表示,建立参数不等式.
例17 在面积为1的 中, , ,建立适当的坐标系,求出以 、 为焦点且过 点的椭圆方程.
解:以 的中点为原点, 所在直线为 轴建立直角坐标系,设 .
则 ∴ 即 ∴ 得
∴所求椭圆方程为
例18 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点,求直线 的方程.
分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 ),得到关于 (或 )的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出 , (或 , )的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.
解:方法一:设所求直线方程为 .代入椭圆方程,整理得
①
设直线与椭圆的交点为 , ,则 、 是①的两根,∴
∵ 为 中点,∴ , .∴所求直线方程为 .
方法二:设直线与椭圆交点 , .∵ 为 中点,∴ , .
又∵ , 在椭圆上,∴ , 两式相减得 ,
即 .∴ .∴直线方程为 .
方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 ,另一个交点 .
∵ 、 在椭圆上,∴ ①。 ②
从而 , 在方程①-②的图形 上,而过 、 的直线只有一条,∴直线方程为 .
说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.
若已知焦点是 、 的椭圆截直线 所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆方程?
木哟
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都兰县18642643800: 求数学中的圆锥曲线的方法总结和经典例题,最好是今年的高考题,文科的?
庾才甘缘: 我是今年参加高考的,我们这一届,圆锥并不是考点.曲线?是双曲线吗?双曲线,注意离心率(通常在选择最后一道、和填空题)、通径、曲线方程的求法、还有一些角的转化,这算是一类比较难的题····要多多练习、多做高考题、多做总结,这很重要!
都兰县18642643800: 求一道典型的高中圆锥曲线题目!(通过设而不求、韦达定理和弦长定理解决的)如题,通过设X1、X2,通过找出X1+X2 和X1*X2、韦达定理和弦长定理一... - ?
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庾才甘缘: 首先说圆锥曲线 椭圆 ,双曲线,抛物线,首先明白他们的定义,对于圆锥曲线的大题,一般就是几何和代数,单独只用几何(就是第一,第二定义)的较少,基本上都是几何和代数相结合,设点,点在直线上,曲线上,上下相减,注意点在抛物线上是,纵坐标可以用横坐标表示,或者横坐标可以用纵坐标表示.总之,就是把一切条件都变成数学式子,然后寻找所求与条件之间的关系. 对于导数题, 一般都是构造函数,判断函数单调性;或者,求导求导再求导. 对于证明不等式的题目,注意变形. 基本上就这么多了,建议你多找几个题自己练习一下,体会体会. ps:当年我也是这样干的.
都兰县18642643800: 高中数学 圆锥曲线 点差法是用来求什么的?能举个例子吗 - ?
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都兰县18642643800: 高中数学圆锥曲线的推论及应用 - ?
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都兰县18642643800: 高中圆锥曲线典型题型分为哪几种?请大家帮忙归纳一下?
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都兰县18642643800: 高考数学圆椎曲线题解题技巧?
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