高数题 求方程2yy''=y'^2+y^2满足条件y(0)=1,y'(0)=-1的特解
y"=2yy'
化为：y"=(y^2)'
积分：y'=y^2+c1
代入y'(0)=2,得：2=1+c1,得：c1=1
故y'=y^2+1
dy/(y^2+1)=dx
积分：arctany=x+c2
代入y(0)=1得 c2=π/4
即有y=tan(x+c2)=tan(x+π/4)
yy''-(y')²+y'=0
设p=y'=dy/dx
则y''=dp/dx=(dp/dy)×(dy/dx)=pdp/dy
代入原方程得到 ypdp/dy-p²+p=0
提取公因子p得 p(ydp/dy-p+1)=0
从而得到p=0或者ydp/dy-p+1=0
当p=0时,dy/dx=0,解之得 y=C
当ydp/dy-p+1=0时, ydp/dy=p-1
dp/(p-1)=dy/y
ln|p-1|=ln|y|+C'
ln[(p-1)/y]=C'
(p-1)/y=C1
y'-1=C1y
dy/dx=C1y+1
解之得 ln|C1y+1|=x+C2
C1y+1=e^(x+C2)
所以原方程的通解为y=[e^(x+C2)-1]/C1
特解为y=C
简单计算一下即可，答案如图所示
设y'=p(y),则y''=dp/dy*p,
方程2yy''=y'^2+y^2化为2pyp'=p^2+y^2,①
由2pyp'=p^2得2p'/p=dy/y,
2lnp=lny+lnc,
p^2=cy,p=土√(cy),
设p=土√[yc(y)],则p'=土[c(y)+yc'(y)]/{2√[yc(y)]},
代入①，y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,
所以c'(y)=1,
c(y)=y+c,
所以y'=土√(y^2+cy),y'(1)=-1,
所以-1=-√(1+c),c=0.
所以y'=-y
所以,y=e^(-x)+c1,
y(0)=1,所以c1=0,
所以y=e^(-x).
用化成常微分方程方法会更快，感觉书本的解释不理解。
当u=1,-1时即为常数，du/dy=0恒成立，等式左边为零，等式右边也恒为零
洪黄速卡： 解:∵2y-x=(x-y)㏑(x-y) ==>2dy-dx=(dx-dy)㏑(x-y)+(dx-dy) ==>2dy-dx=(dx-dy)(㏑(x-y)+1) ==>(㏑(x-y)+3)dy=(㏑(x-y)+2)dx ∴dy=(㏑(x-y)+2)dx/(㏑(x-y)+3).
茄子河区19694296431： 两道高数微分方程的题,求通解1.求dy/dx=2y/(x - 2y)的通解2.求y''+2y'+y=cosx的通解 - ？
洪黄速卡：[答案] 1\ 上下兑换dx dy 就可以了 2\ 是齐次方程 r^2+2r+1=0 则 r=-1. 通解项 y0=Ce^(-x) 另设y=c1sinx+c2cosx 得到 c1= 0.5, c2=0 特解项 y1= 0.5sinx 合起来的通解 y= 0.5sinx + Ce^(-x) C为任意常数.
茄子河区19694296431： 一道高数微分方程题,求详解. y''+2y'+5y=cosx - ？
洪黄速卡： y''+2y'+5y=0 r^2+2r+5=0 r1=-1-2i r2=-1+2i y=C1e^(-x)cos2x+C2e^(-x)sin2x 设y =acosx+bsinx 5y =5acosx+5bsinx 2y' =-2asinx+2bcosx y''=-acosx-bsinx y''+2y'+5y=(-a+2b+5a)cosx+(-b-2a+5b)sinx y''+2y'+5y=cosx4b-2a=0 a=2b 4a+2b=1 10b=1,b=1/10 a=1/5 y=cosx/5+sinx/10 y''+2y'+5y=cosx 通解y=C1e^(-x)cos2x+C2e^(-x)sin2x+cosx/5+sinx/10
茄子河区19694296431： 高数题一道求微分方程x^2y'+xy=y^2满足初始条件y(1)=1的特解. - ？
洪黄速卡：[答案] 同时除以x^2*y^2 1/y^2*y'+1/yx=1/x^2 令1/y=u 则d(1/y)/dx=du/dx 即1/y^2*y'=-du/dx 带入: -du/dx+u/x=1/x^2 一阶非齐次线性方程 使用公式可得: u=e^(∫1/xdx)(C-∫e^(∫-1/xdx)1/x^2dx) =x(C+1/2x^2) 带入x=1/y 得xy(C+1/2x^2)=1 y(1)=1 C+1/2=1 C=1/2 特解 ...
茄子河区19694296431： 请教一道高数的积分方程题 - ？
洪黄速卡： 设p=y'=dy/dx 则y＂=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy 方程化为:2ypdp/dy=1+p^22pdp/(1+p^2)=dy/y d(p^2+1)/(1+p^2)=dy/y ln(1+p^2)=lny+c11+p^2=cy p=±√(cy-1), 由p(1)=-1=-√(c-1), 得:c=2 因此dy/dx=-√(2y-1) dy/√(2y-1)=dx √(2y-1)=x+c y=[(x+c)^2+1]/2 由y(1)=1=[(1+c)^2+1]/2 得:c=0 因此y=(x^2+1)/2
茄子河区19694296431： 高数题,不难,简单的微分方程,求详解 - ？
洪黄速卡： 令p=y`,那么y``=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy,代入原式得到:p(dp/dy)+p²=p · exp(-2y)………………为便于书写,e的指数函数写成exp(dp/dy)+p=exp(-2y) 显然这是一阶线性微分方程,直接套公式得到:y`=p=C·exp(-y)-exp(-2y)………………...
茄子河区19694296431： 高数微分方程(x^2+2y')y''+2xy'=0,y(0)=1,y'(0)=0 求特解 - ？
洪黄速卡：[答案] 将原方程化为 (x^2y')'+(y'^2)'=0 即 x^2y'+y'^2=C 由y'(0)=0得C=0 所以 y'=0或 x^2+y'=0 解得 y=1或 y=-x^3/3+1
茄子河区19694296431： 高数题:求由方程x^2+2xy+2y^2=1所确定的y=y(x)的极值. - ？
洪黄速卡：[答案] 可以用主元法的思想来解这道题.把x作为主元,整理,得x²+2yx+2y²-1=0这个方程有实数根(否则x取不到值)Δ=4y²-4(2y²-1)=4y²-8y²+4=4-4y²≥0y²≤1所以-1≤y≤1y的极小值是-1,...
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