用Cauchy收敛原理证明交错级数的Leibniz判别法
布尼茨定理证明利用柯西收敛，S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+....+(u2n-1-u2n),中Un是单调的，不妨设下降u2n-1-u2n》=0，所以S2n是单调递增的。
这道题应该使用莱布尼茨收敛准则来证明，根据莱布尼茨收敛准则，如果式子中除去(-1)^(n-1)这一项，（也就是序列n^2/(2n^2+1)。
如果这个序列是一个单调递减的收敛序列，那么在这个序列乘以(-1)^n或者(-1)^(n+1)所形成新序列的级数也是收敛的。显然原式是一个收敛于1/2的单调递减序列，符合莱布尼茨收敛准则的前提条件。
交错级数
是正项和负项交替出现的级数，形式满足a1-a2+a3-a4+.......+(-1)^(n+1)an+......，或者-a1+a2-a3+a4-.......+(-1)^(n)an，其中an>0。在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。最典型的交错级数是交错调和级数。
cauchy收敛原理
Cauchy收敛原理：基本数列定义：如果数列{xn}具有以下特性：对于任意给定的ε＞0，存在正整数N，当n，m＞N时，有：|xn-xm|＜ε 则称数列{xn}是一个基本数列。Cauchy收敛原理：数列{xn}收敛的充分必要。条件是：{xn}是基本数列。Cauchy收敛原理表明，由实数构成的基本数列{xn}必存在实数极限，这一...
cauchy收敛原理是什么?
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。该准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。要应用在以下方面：（1）数列；（2）数项级数；（3）函数；（4）反常积分；（5）函数列和函数项级数；...
柯西原理是什么?
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。编辑本段定理叙述：数列有极限...
柯西收敛准则是什么?
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。...
Cauchy收敛准则,对所有n>N可否忽略?
" 实际上，答案是否定的，因为Cauchy准则强调的是序列在n趋近于无穷大时的局部稳定性和整体一致收敛性。当我们重新审视命题，正确的表述是这样的：如果一个序列 (a_n) 满足柯西收敛准则，即对于任意给定的正数ε，存在某个正整数N，使得当n、m均大于N时，有 |a_{n+p} - a_n| ≤ |a_n - ...
cauchy收敛准则
Cauchy 收敛准则（柯西收敛准则）是一个用来判断数列是否收敛的方法，同时也是实数完备性的一个等价定理，需要指出的是，它的条件更弱，需要加上阿基米德性才能和其它如确界定理等的定理等价。 扩展资料 柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的`充分必要条件。柯西极限存在准则，又称柯西收敛...
柯西准则是什么意思?
在大于某个特定的项数n之后，任选两个项的绝对值总会小于一个数（该数值不确定，但恒大于零），则这个数列就是基本数列（收敛数列）。“柯西准则”又称“柯西收敛原理”，是一个数列极限存在的充要条件。条件：对于任意小数ε＞0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有｜xn-xn'|<ε；结论：数列｛...
哥西收敛准则
将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立 此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。证明举例：证明：xn=1-1\/2+1\/3-1\/4+......
柯西收敛定理的证明
我只证充分性：Cauchy列（基本列）收敛 证明：1、首先证明Cauchy列有界 取e=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n>N时有c |a(n)-a(N)|<e=1 由此得：|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)| (通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，...
第五题先问下什么是CAUHTY数数列,然后帮我证明下这两题
5、Cauchy列也叫基本列，数列是Cauchy列的充分必要条件是这个数列是收敛列，这就是Cauchy收敛原理。证明：若f(x)将 Cauchy列映为Cauchy列，但f(x)不一致连续。由不一致连续的定义，存在e0>0，和【a，b】的两个点列{xn}和{yn}，尽管|xn－yn|<1\/n，但|f(xn)－f(yn)|>=e0。{xn}有界，...
汤凯可力： 若交错级数收敛但取绝对值后级数发散, 那么该交错级数就是条件收敛的. 条件收敛的定义就是收敛而不绝对收敛. 但是去掉原级数收敛的条件后结论不成立. 例如a(n) = (-1)^n, 取绝对值后发散但该交错级数不收敛. 即便要求a(n) → 0, 也可以有...
大同区15585633583： 无穷级数的收敛性与发散性证明怎么证? - ？
汤凯可力： 判断一个级数的收敛性时首先看它是否绝对收敛(特别是交错级数),你这个题就是交错级数.若绝对收敛则原级数收敛.判断绝对收敛的方法:将原级数加上绝对值,再根据其级数特点用相应的方法(如比较法,比值法,根值法,或调和级数…)判断其收敛性
大同区15585633583： 用Cauchy收敛原理证明下面数列收敛xn=sin2x2(2+sin2x)+sin3x3(3+sin3x)+…+sinnxn(n+sinnx). - ？
汤凯可力：[答案] 由题意,对任意的自然数n,和正整数p,有 |xn+p-xn|=| sin(n+1)x (n+1)(n+1+sin(n+1)x)+ sin(n+2)x (n+2)(n+2+sin(n+2)x)+…... 则对任意的整数n>N,以及正整数p,均有|xn-xn+p|< 1 n≤ɛ成立, 因此数列{xn}收敛.
大同区15585633583： 这个级数怎么证明收敛性? - ？
汤凯可力： 分享一种解法.∵级数∑1/(nln)与∫(2,∞)dx/(xlnx)有相同的敛散性,又,∫(2,∞)dx/(xlnx)=ln(lnx)丨(x=2,∞)→∞,发散.∴级数∑1/(nln)发散.供参考.
大同区15585633583： 利用柯西收敛原理证明 - ？
汤凯可力： un-an≤bn-an 因为级数∑an与∑bn都收敛 所以级数∑(bn-an)收敛 由柯西收敛原理得级数∑un也收敛我用的是比较原则,刚才写错了,柯西收敛好像证不出来,不好意思,我那些学得不好,只能用比较原则证明了,希望对你有帮助 bn-an和un-an都是正项级数,由比较原则知 ∑(bn-an)收敛可得∑(un-an)收敛 un=(un-an)+an 由∑an和∑(un-an)收敛可得∑un收敛
大同区15585633583： 利用cauchy收敛原理证明 单调有界数列必定收敛 - ？
汤凯可力： 首先,由x1=a>0及xn+1=1/2(xn+1/xn),得所有xn>0(n为自然数).(由这个公式,可知xn+1与xn符合相同,而x1大于0,因此所有{xn}中元素均大于0.这个是利用下面不等式的基础) 其次证明有界:xn+1=1/2(xn+1/xn)>=1/2*2*√(xn*1/xn)=1( 利用a+b>=2√ab).因此xn>=1(n>1) 最后证明单调性:xn+1-xn=1/2(1/xn-xn).因为xn>=1,因此1/xn<0.因此该数列单调递减. 由单调有输准则,数列{xn}收敛. 由上可知,其极限=1
大同区15585633583： 数列{xn}满足xn=sin2x2(2+cos2x)+sin3x3(3+cos3x)+…sinnxn(n+cosnx),用Cauchy收敛定理证明{xn}收敛. - ？
汤凯可力：[答案] 由题意,对任意的自然数n,和正整数p,有 |xn+p-xn|=| sin(n+1)x (n+1)(n+1+cos(n+1)x)+ sin(n+2)x (n+2)(n+2+cos(n+2)x)+... n+p< 1 n 任取ɛ>0,取自然数N=[ 1 ɛ],则对任意的整数n>N,以及正整数p,均有|xn-xn+p|< 1 n≤ɛ成立, 因此数列{xn}收敛....
大同区15585633583： 如何证明级数∑(1/n2)收敛? - ？
汤凯可力： 因为1/(n^2)<积分1/x^2 (n-1,n)所以Sn=1+1/(2^2)+1/(3^2)+...+1/(n^2)<1+Sn=1+积分1/x^2 (1,2) +... +积分1/x^2 (n-1,n) =1+...
大同区15585633583： 高数交错级数问题 为什么是收敛的啊 - ？
汤凯可力： 对于无穷级数来说,判断敛散性有以下几种方法:非正项级数:1、交错级数的Leibniz判别法.2、Dirchlet判别法.3、Abel判别法.上面我所陈述的狄利克雷和阿贝尔判别法互不兼容,一个的条件比另一个强,一个条件比另一个弱.4、如果你非想要找出对所有级数都可以适用的判别法,那就是Cauchy收敛原理.但是,越通用的判别法对于大部分级数来说越不容易使用,就像用极限的定义去求某个函数的极限一样,请问有几个人会去用定义证明?由于楼主没有给出具体的题目,这里就没办法具体解答了,以上是近期学级数的个人感悟.有疑问请追问.
大同区15585633583： 用柯西收敛准则怎么判断这个级数敛散性啊? - ？
汤凯可力： 这道题应该使用莱布尼茨收敛准则来证明,根据莱布尼茨收敛准则,如果式子中除去(-1)^(n-1)这一项,(也就是序列n^2/(2n^2+1)),如果这个序列是一个单调递减的收敛序列,那么在这个序列乘以(-1)^n或者(-1)^(n+1)所形成新序列的级数也是收敛的.显然原式是一个收敛于1/2的单调递减序列,符合莱布尼茨收敛准则的前提条件.如果一定要用柯西收敛准则来证明,那么窃以为可以先证明一下莱布尼茨收敛准则,会复杂一些,但是这个证明在网上很容易找到.
