一次函数

一次函数定义~

一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数（direct proportion function）。
“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….
接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量，就这样“函数”这词逐渐盛行。

扩展资料：
函数性质：
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。
即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。
2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。
当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。
3、k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°）。
4、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
5、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；
当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；
当k互为负倒数时，两直线垂直。
参考资料来源：百度百科——一次函数

【读音】yī cì hán shù 【解释】函数的基本概念：,在一个变化过程中,有两个变量x和y,并且对于x每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数,也可以说x是自变量,y是因变量.表示为y＝kx＋b（k≠0,k、b均为常数）,当b＝0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况.可表示为y=kx
[编辑本段]基本定义
变量：变化的量 常量：不变的量 自变量k和X的一次函数y有如下关系：y=kx+b （k为任意不为零常数,b为任意常数） 当x取一个值时,y有且只有一个值与x对应.如果有2个及以上个值与x对应时,就不是一次函数.x为自变量,y为因变量,k为常量,y是x的一次函数.特别的,当b=0时,y是x的正比例函数.即：y=kx （k为常量,但K≠0）正比例函数图像经过原点.定义域：自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合.相关性质
函数性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0,且k,b为常数） 2.当x=0时,b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°) 形、取、象、交、减.4.当b=0时(即 y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.5.当两直线中的k相同,b也相同时,两直线重合 当两直线中的k相同,b不相同时,两直线平行 当两直线中的k不相同,b不相同时,两直线相交 当两直线中的k不相同,b相同时,两直线交于y轴上的同一点（0,b）
图像性质
1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表 （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]； （3）连线,可以作出一次函数的图像——一条直线.因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可.（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b(k≠0).（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0,b),与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像都是过原点.3．函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.4．k,b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0,y与x成正比例)：当k＞0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大； 当k＜0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小.y=kx+b时：当 k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限.当 k>0,b

考点1：一次函数的意义及其图象和性质
一、考点讲解：
1．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．
2．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－bk ，0 ）的一条直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．

3．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．
4．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．
⑴ 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
⑵ 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
⑶ 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
⑷ 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；

二、经典考题剖析：
【考题1－1】（2004、贵阳，4分）已知一次函数y=kx+b的图象如图1－6－1所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ）
A．y＞0 B、y＜0
C、－2＜y＜0 D．y＜－2
解：D 点拨：由图象可知一次函数y=kx＋b过一、三、四象限，当x＜0时，y对应的值在－2的下方．故 选D
【考题1－2】（2004、宁安，3分）在函数y=2x+3中当自变量x满足______时，图象在第一象限．
解：0＜x＜32 点拨：由y=2x+3可知图象过一、二、
四象限，与x轴交于(32 ，0)，所以，当0＜x＜32 时，图象在第一象限．
三、针对性训练：( 30分钟) (答案：238 )
l．下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ）

2．如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0
C．k < 0，b＜0 D．k ＜0，b＞0
3、已知a、b、c均为正数，且 ，则下列四个点中，在正比例函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
A.(1, 12 ) B、（1，2）C、（1，－12 ）D、（1，－1）
4．若 ab＞0，bc<0，则直线y=－ab x－cb 不通过（）
A．第一象限B笛一线限C．第三象限D.第四象限
5．已知一次函数y= 32 x+m和y= －12 x+n的图象都经过点A（－2，0）且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．已知一次函数y=kx+2，请你补充一个条件______，使y随x的增大而减小．
7．已知一次函数y=(3a+2)x－(4－b),求字母a、b为何值时：（1）y随x的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点；（4）图象平行于直线y=－4x+3；（5）图象与y轴交点在x轴下方．
8．若正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2 ，则m的取值范围是（ ）
A、m<0 B.m>0 C.m＜12 D.m＞12
9．两个一次函数y1=mx+n．y2=nx+n，它们在同一坐标系中的图象可能是图l－6－2中的（ ）

10 小李以每千克0．8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0．4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图l－6－3所示，那么小李赚了（ ）
A．32元 B．36元
C．38元 D．44元
11 杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：
（1）买进每份0．2元，卖出每份0．3元；
（2）一个月内（以30天计）有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
（3）一个月内，每天从报社买进的报纸数必须相同,当天卖不掉的报纸，以每份0．1元退给报社．
①填下表：

②设每天从报社买进该种晚报x份(120≤x≤200 )时，月利润为y元，试求出y与x之间的函数表达式，并求月利润的最大值．

考点2：一次函数表达式的求法
一、考点讲解：
1、待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。
2、用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出
函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量 与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。
3、一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。
二、经典考题剖析：
【考题2－1】（2004、青岛）生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm时，蛇长为45.5㎝；当蛇的尾长为14cm时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm时，蛇长为_________㎝；
【考题2－2】（2004、开福四省区）在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系。下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀叫的次数 … 84 98 119 …
温度(ºC) … 15 17 20 …
(1)根据表中数据确定该一次函数的关系式；
(2)如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度
约为多少摄氏度？
解：⑴设蟋蟀1分钟叫了x次，则根据一次函数解析式可得y= 17 x+3
⑵当x=63时，y= 17 ×63+3=12
【考题2－3】（2004、宁安）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根。
⑴试求出 的值，并求出经过点A（0 ， ）和D（ ，0）的直线解析式；
⑵在线段AD上顺次取两点B、C，使AB=CD= ，试判断△OBC的形状；
⑶设直线 与直线AD交于点P，图中是否存在与△OAB相似的三角形？如果存在，请直接写出；如果不存在，请说明理由。

【回顾14】（2005、武汉，8分）某加工厂以每吨3000
元的价格购进50吨原料进行加工．若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需13 天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需12 天，每吨售价4500元。现将这50吨原料全部加工完。
⑴设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系或（不要求写自变量的范围）
⑵如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？
【回顾15】（2005、江西，8分）如图l－6－39，直线 1 、 2相交于点A， 1与x轴的交点坐标为（－1，0）， 2与y轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题：
⑴求出直线 2表示的一次函数的表达式；
⑵当x为何值时， 1 、 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？

【回顾16】（2005、自贡，8分）观察函数图象l－6－40，并根据所获得的信息回答问题：
⑴折线 OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；
⑵根据你所给出的应用题，分别指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A由两点的坐标；
⑶求出图象AB的函数表达式，并注明自变量x的取值范围.
【回顾17】（2005、临沂，8分）某家庭装饰厨房需用
480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20片，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？
【回顾18】（2005、河南，3分）函数y= 中，自变量x的取值范围为_________.
【回顾19】（2005、河南，3分）两个变量y与x之间的函数图象如图l－6－41所示，则y的取值 范围是________________.

★★★(III)2006年中考题预测★★★
( 110分 90分钟) 答案(242 )
一、基础经典题( 50分)
(一)选择题(每题2分，共28分)
【备考1】在下列函数中，满足x是自变量，y是因变
量，b是不等于0的常数，且是一次函数的是（ ）

【备考2】直线y=2x+6与x轴交点的坐标是（ ）
A．（0，－3）B．（0，3）C．（3，0）D.（－92 ,1）
【备考3】在下列函数中是一次函数且图象过原点的
是（ ）

【备考4】直线 y=43 x＋4与 x轴交于 A，与y轴交于B, O为原点，则△AOB的面积为（ ）
A．12 B．24 C．6 D．10
【备考5】已知函数：①y=－x，②y= 3x ，③y=3x－1
④y=3x2，⑤y= x3 ，⑥y=7－3x中，正比例函数有（ ）
A．①⑤ B．①④ C．①③ D．③⑥
【备考6】如果每盒圆珠笔有12支，售价6元，那么圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x(支）之间的关系式是（ ）
A．y= 12 B．y=2x C．y=6x D．y=12x
【备考7】一次函数y=3x－2的图象不经过的象限是（）
A．第一象限B第二象限C．第三象限D第四象限
【备考8】一次函数的图象如图l－6－42所示，那么这个一次函数的表达式是（ ）
A．y＝－2x＋2
B．y＝－2x－2
C．y＝ 2x＋2
D．y＝2x－2
【备考9】油箱中存油20升，油从
油箱中均匀流 出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0．2t B．Q＝20－2t
C．t=0．2Q D．t=20—0．2Q
【备考10】下列函数中，图象经过原点和二、四象限
的为（ ）
A．y＝5x B．y＝－x5 C．y＝5x+1 D. y＝－x5 +1
【备考11】次函数 y=kx＋b，当－3≤x≤1时，对应
的y值为1≤y≤9，则k•b的值为（）
A．14 B．－6 C．－4或 21 D．－6或 14
【备考12】幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图l－6－43所示，则该工厂对这种产品来说（ ）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减小
B．l月至3月生产总量逐月增
加，4、5两月生产总量与3月持平
C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
【备考13】已知方程组 的解为 ，则一次函数y=2x+3与y= 12 x+32 的交点坐标为（ ）
A．（l，5）B．（－1，1）C．（l，2）D．（4，l）
【备考14】一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图l－6－44中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．爸爸登山时，小军已走了
50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍
在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快
（二）填空题（每题2分，共12分）
【备考15】若函数 y=（m—2）x＋5－m是一次函数，
则m满足的条件是__________.
【备考16】函数y=2x—6中，y值随x值的增大而___
【备考17】若正比例函数的图象经过（－l，5）那么这个函数的表达式为__________，y的值随x 的减小而____________
【备考18】若一次函数y=kx—3经过点(3，0)，则k=__
该图象还经过点( 0， ）和（ ，－2）
【备考19】一次函数y=2x＋4的图象如图1－6－45所示，根据图象可知，当x_____时，y＞0；当y>0时，x=______．
【备考20】一某市市内出租车行程在 4km以内（含 4km）收起步费 8元，行驶超过4km时，每超过1 km，加收1．80元，当行程超出4km时收费y元与所行里程x(km）之间的函数关系式__________
(三)解答题：（10分）
【备考21】如图1－6－46所示，正比例函数的图象经过图中的点A
（1）求此函数的表达式；
（2）求当 y=1时，x的值
二、学科内综合题（每题7分，共14分）
【备考22】已知直线 y=x＋2与直线 y= 23 x＋2交于 C点，直线y= －x+2与x轴交点为A，直线y= 23 x+2与x轴交点为B。求△ABC的面积．
【备考23】如图1－6－47所示，求直线y=2x—l关于x轴成轴对称的图形的表达式．
三、跨学科渗透题(10分）
【备考24】声音在空气中传播的
速度x（米／秒）(简称音速）是
气温x（℃）的一次函数．下表
列出了一组不同气温时的音速：
⑴求 y与x之间的函数关系式；
⑵气温是 (22℃）时，某人看到烟
花燃放 5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？

四、实际应用题(10分）
【备考25】某车间有20名工人，每人每天加工甲种
零件5件或乙种零件4个，在这20名工人中，派x 人加工甲种零件，其余的加工乙种零件，已知加工一个甲种零件可获利润6元，加工一个乙种零件可获利润24元对我有帮助

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荷塘区19212742216： 一次函数 - 搜狗百科？
酉肤艾欣： 一次函数,也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示,当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值. 解析式为:y=kx+b(k≠0)

荷塘区19212742216： 什么是一次函数？
酉肤艾欣： 一次函数: 1、x和y的幂次都是1,也就是 y = kx + b 的形式; 2、在图形上,一次函数就是一条直线.所以,一次函数又叫线性函数; 3、k是直线的斜率,b是直线在纵轴(y轴)上的截距. 一次函数 = linear function 斜率 = gradient 截距 = intersection 正比例函数是一次函数的特例,就是b=0的特殊情况,也就是直线经过原点. B点(2,-1)在正比函数图像上, -1=k(2), k=-1/2, y = -x/2 A点(m, 3)也在正比函数图像上,3=-m/2, m=-6.

荷塘区19212742216： 一次函数的含义是什么?谁教教我? - ？
酉肤艾欣：[答案] 一次函数(linear function),也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示,当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值.函数的基本概念:在一个变化过程中,有两个变量x和y,并且对于x...

荷塘区19212742216： 什么是1次函数? - ？
酉肤艾欣： 形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数,且a≠0. 一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线. 正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数,且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线. 一次,就是指未知量的最高次数是一. 函数,就是指一个未知量可以由另一个或多个未知量表示.

荷塘区19212742216： 一次函数是什么 - ？
酉肤艾欣： 在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=kx+b(k为一次项系数,k≠0,b为常数),那么我们就说y是x的一次函数,其中x是自变量,y是因变量. 函数概念 在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=f(x),(即...

荷塘区19212742216： 一次函数的基本概念 - ？
酉肤艾欣：[答案] 在一个变化过程中,有两个变量x和y,并且对于x每一个确定的值,在y中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的... 表示为y=kx+b(k≠0,k、b均为常数),当b=0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况.可表示为y=kx

荷塘区19212742216： 什么是一次函数？
酉肤艾欣： y=kx+b

荷塘区19212742216： 什么是一次函数？
酉肤艾欣： 形如y=kx+b,其中k,b为常数且k不等于零,这样的函数叫做一次函数.

荷塘区19212742216： 一次函数是什么 - ？
酉肤艾欣： 一次函数就是y=kx+b(k≠0),指x的最高次幂不超过1次, 正比例函数就是一次函数y=kx+b(k≠0)中b=0的情况,也就是y=kx(k≠0)