求线性方程的解(线性代数)
第一种 消元法 ,此法 最为简单,直接消掉只剩最后一个未知数,再回代求余下的未知数,但只适用于未知数个数等于方程的个数,且有解的情况。
第二种 克拉姆法则, 如果行列式不等于零,则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式,就是解;
第三种 逆矩阵法, 同样要求系数矩阵可逆,直接建立AX=b与线性方程组的关系,X=A^-1.*b就是解
第四种 增光矩阵法, 利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换,化为简约形式,确定自由变量,(各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量),对自由变量进行赋值,求出其它未知数,然后写成基础解析的形式,最后写出通解。
这种方法需要先判别: 增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩,相等且小于未知数个数,则无穷多解;等于未知数个数,唯一解。 秩不想等,无解。
第五种 计算机编程,随便用个软件,譬如Matlab,输入密令,直接求解。
目前这5中教为适用,适合一切齐次或者非齐次线性方程组。
非齐次线性方程组解的判定:当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,那么非齐次线性方程组有解。当r(A)=r(A|b)=n时有唯一解,当r(A)=r(A|b)<n时有无穷多解。当r(A)不等于r(A|b)时方程组无解。
题目中的线性方程组根据解的判定定理判定为:r(A)=r(A|b)=4。所以线性方程组有唯一解。
扩展资料:
解的存在性
非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即rank(A)=rank(A, b)(否则为无解)。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。(rank(A)表示A的秩)
非齐次线性方程组解的结构:
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*)。
齐次线性方程组解法:
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于c1、c2、c3……c(n-r),即可写出含n-r个参数的通解。
参考资料来源:百度百科-非齐次线性方程组
这个题可以用克莱姆法则来做,这里先介绍一下克莱姆法则。
若n*n阶线性方程组的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0,则线性方程组有唯一解,其解为
Xj = Dj/D
其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。
在这道题中,系数矩阵D=| A |很明显是一个四阶范德蒙德行列式,由结论可知|A|=(4-2)(4-3)(4+1)(-1-3)(-1-2)(3-2)=120
同理可知,D1=(4-5)(4-3)(4+1)(-1-3)(-1-5)(3-5)=240
D2=(4-2)(4-5)(4+1)(-1-5)(-1-2)(5-2)=-540
D3=(4-2)(4-3)(4-5)(5-3)(5-2)(3-2)=-12
D4=(5-2)(5-3)(5+1)(-1-3)(-1-2)(3-2)=432
所以x1=2,x2=-9/2,x3=-1/10,x4=18/5.
线性方程的“线性”是什么意思
线性指的是方程中函数的导数和函数本身都是一次的,但这里仅仅是对于y本身来说,对x没限制.也就是说y'+p(x)y+q(x)=0的形式.其中对于p(x)和q(x)并不做限制.形式如(y')²+p(x)y+q(x)=0, y'+p(x)y²+q(x)=0等形式的就不再是线性方程.为了更好的理解.可以这样打个...
线性方程组解的概念是什么意思?
通过分别令自由变量为1,解出其它变量,得到一个解向量。基础解系需要满足三个条件:1、基础解系中所有量均是方程组的解。2、基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示。3、方程组的任意解均可由基础解系线性表出,即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。值得注意的是...
什么是线性方程组的解
齐次线性方程组只有零说明只有唯一解且唯一解为零(因为零解必为其次线性方程组的解),即A的秩r(A)=未知数的个数n A为列满秩矩阵齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解A的秩 小于未知数的个数n
求解线性方程组的方法
解线性方程组的方法:①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组 有两个前提,一是方程的个数要等于未知量的个数,二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组,它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系,但由于求解时要计算n+1个n阶行列式,其...
线性方程组的基础解系是线性无关的吗?
例如,V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数(基数)相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数(基数),称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地,当S等于V且V是有限维线性空间时,S的秩就是V的维数。线性方程组解的结构 定...
求线性方程组的一般解
因为这里书写不便,故将我的答案做成图像贴于下方,谨供楼主参考(若图像显示过小,点击图片可放大)
齐次线性方程组怎么解?
关于齐次线性方程组怎么解如下:1、如果是齐次线性方程组Ax=0两个解,那么其线性组合仍然是该齐次线性方程组Ax=0的解。(线性组合:为相加相减的意思)2、如果是非齐次线性方程组Ax=b两个解,则-为齐次线性方程组Ax=0的解。3、如果是非齐次线性方程组Ax=b的解,是齐次线性方程组Ax=0的解,则+...
线性方程组解的判定
有无矛盾的判据是,将常数项系数替换线性方程组系数中的一列得到的行列式是否为0,如果都为0,则不矛盾;否则矛盾。克拉默法则对于线性方程组:若满足其其系数的行列式不等于零,即那么,原方程组有唯一解注:对于齐次线性方程组而言,若D≠0,则方程组没有非零解,即唯一解为X1=X2=···=Xn=0...
线性方程组的特解是什么?
线性方程组的特解是指该方程组的特定解,具体求法如下:1. 首先写出待求的线性方程组,设其为Ax=b。2. 判断该方程组是否有解。如果方程组无解,则不存在特解。3. 根据高斯-约旦消元法,将增广矩阵化为梯形矩阵。4. 判断最后一行是否为[0,...,0,1|c],其中c为任意实数。如果是,则该方程...
线性方程组只有有解吗?
齐次方程组解不唯一,而非齐次方程组解可能不唯一,也可能无解。例如:1、齐次线性方程组增广矩阵是 1 2 0 1 2 0 时,方程组有解,但不唯一 2、非齐次线性方程组增广矩阵是 1 2 1 1 2 1 时,方程组有解,但不唯一 3、非齐次线性方程组增广矩阵是 1 2 1 1 2 0 时,方程组无解 ...
厨人狐小儿: 第一种 消元法 ,此法 最为简单,直接消掉只剩最后一个未知数,再回代求余下的未知数,但只适用于未知数个数等于方程的个数,且有解的情况. 第二种 克拉姆法则, 如果行列式不等于零,则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系...
汾阳市18911343429: 线性代数线性方程求解 - ?
厨人狐小儿: 楼主的问题是,要求非齐次线性方程AX=D的通解吧? 选择A,首先要理解非齐次线性解的构成,是齐次方程的通解加非齐次的特解,采用排除法,B、D中将X用1/2(b1-b2)代替结果为零了,排除,C中不能保证a1与b1-b2线性无关,则a1、b1-b2不能作为基础解系,而A中可改写为(K1-K2)*a1+K2*a2,因为a1与a2是基础解系,所以先线性无关,故选A.
汾阳市18911343429: 线性代数方程求解 - ?
厨人狐小儿: 把方程系数及最右的值写在一起构成一个增广矩阵,通过初等行变换,得到一个阶梯形矩阵,即可求解方程,首非零元所在行最右边的数即为方程的解,首非零元所在列为第i列,即为Xi的根.
汾阳市18911343429: 线性代数 求线性方程组x1+x2 - x3=0, - x1 - x2+x3=0的通解 - ?
厨人狐小儿: 解: 系数矩阵=1 -1 -1 11 -1 1 -31 -1 -2 3 r2-r1,r3-r11 -1 -1 10 0 2 -40 0 -1 2 r2*(1/2),r1+r2,r3+r21 -1 0 -10 0 1 -20 0 0 0 方程组的通解为: c1(1,1,0,0)'+c2(1,2,0,1)'.
汾阳市18911343429: .求解下列线性方程组的一个解及对应其次方程组的基础解系,线性代数的 - ?
厨人狐小儿: 解: 设系数矩阵为A,增广矩阵B=(A,b) 则增广矩阵B 1 1 0 0 5 2 1 1 2 1 5 3 2 6 7 r2-2r1,r3-5r1得 1 1 0 0 5 0 -1 1 2 -9 0 -2 2 6 -18 r3-2r1得 1 1 0 0 5 0 -1 1 2 -9 0 0 0 2 0 -r2,r3 /2得 1 1 0 0 5 0 1 -1 -2 9 0 0 0 1 0 所以解为:x1=5-...
汾阳市18911343429: 大学线性代数,求解一道齐次线性方程组的详细解法 - ?
厨人狐小儿: 系数矩阵 A = [1 2 1 -1] [3 6 -1 -3] [5 10 1 -5] 行初等变换为 [1 2 1 -1] [0 0 -4 0] [0 0 -4 0] 行初等变换为 [1 2 0 -1] [0 0 1 0] [0 0 0 0] 方程组同解变形为 x1+2x2-x4=0x3=0 即 x1=-2x2+x4x3=0 取 x2=-1,得基础解系 (2, -1, 0, 0)^T; 取 x2=0, x4=1, 得基础解系 (1, 0, 0, 1)^T. 则方程组通解为 x=k(2, -1, 0, 0)^T+c(1, 0, 0, 1)^T, 其中 k,c 为任意常数.
汾阳市18911343429: 线性代数,矩阵解方程 - ?
厨人狐小儿: 解:方程为AX=B A=[1 1 1;2 -1 1; 3 2 -1],B=[6;3;4] 故X=A^-1 *B =[ -1/11 3/11 2/11 5/11 -4/11 1/11 7/11 1/11 -3/11 ] *[ 6 3 4] =[1 2 3]
汾阳市18911343429: 线性代数求解 - ?
厨人狐小儿: r(A)+基础解系个数=n,由于r(A)=n-1,所以Ax=0的基础解系个数为1,由于每行元素之和为0,则A*(1,1,……1)(注:列向量)=0,则(1,1,……1)(注:列向量)为方程的解,又Ax=0基础解系个数为1,则通解为k(1,1,……1)(注:列向量)
汾阳市18911343429: 线性代数,解方程 - ?
厨人狐小儿: 增广矩阵11-3 -1 13-1 -3 4415-9 -8 0 作行初等变换(#是主元)1# 1-3 -1 1*主行不变0-4 671这行-第1行*304-6 -7 -1这行-第1行 ————10-3/23/4 5/4 这行-第3行*1/400000这行+...
汾阳市18911343429: 线性代数矩阵方程怎么解啊. - ?
厨人狐小儿: 对增广矩阵作行初等变换,把系数矩阵变成单位矩阵,常数列就是解: 如:X+Y=3X-Y =1 增广矩阵: 【1 1 3】 第一行乘以(-1)加到第二行上:【1 1 3 】 【1 1 3】 【1 -1 1】 【0 -2 - 2 】第二行除以(-2) 【0 1 1】 把第二行乘以(-1)加到第一行:【1 0 2】【0 1 1】 此时系数矩阵变成单位矩阵,常数列变成:2 和 1了.即:X = 2,Y = 1. 复杂的线性方程组也是这样解! 请采纳呦.