如何证明cauchy数列是有界数列

怎么证明柯西数列有界~

柯西数列有极限，所以有界。

证明：
只要证明两个定理是等价的即可。
必要性，用那个文档中的方法就行。


下面看充分性。

1、首先证明Cauchy列有界
取e=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n>N时有c

|a(n)-a(N)|<e=1
由此得：
|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)|
(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为N前的N-1个项，有最大值，所以得出了有界).
令：
M=Max{|a(1)|,|a(2)|,……,|a(N)|,|a(N)|+1}
这样就证明了，对于任何n都有a(n)<=M。
所以Cauchy列有界。

2、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界，所以根据Bozlano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）
因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的e>0，都存在N,使得m、n>N时有
|a(m)-a(n)|<e/2
取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得
|aj(k)-A|<e/2
因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有
|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<e/2+e/2=e
这样就证明了Cauchy列收敛于A.
即得结果：Cauchy列收敛

不妨设数列单调增，因为有上界所以有上确界，设为A.则an<=A（an单调增）。对任意的§>0,存在aN>A-§,则由an单调增知，对任意的n,m>N，有A>an

不妨取ξ=1，则存在N，当n>N,m=N+1时有│xn-x(N+1)│<1
所以│xn│=│[xn-x(N+1)]+x(N+1)│<=│xn-x(N+1)│+│x(N+1)│<│x(N+1)│+1
令M=max{│x1│,│x2│,……,│xN│，│x(N+1)│+1}，则│xn│≤M对n=1,2,……恒成立。
证毕！

由实数定理可知柯西数列收敛
因为收敛数列必有界
显然可得柯西数列有界

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云岩区19715476758： 如何证明cauchy数列是有界数列 - ？
无胖舍兰：[答案] 由实数定理可知柯西数列收敛 因为收敛数列必有界 显然可得柯西数列有界

云岩区19715476758： 如何证明cauchy数列是有界数列 - ？
无胖舍兰： 由实数定理可知柯西数列收敛 因为收敛数列必有界 显然可得柯西数列有界

云岩区19715476758： 数学问题:如何证明距离空间中的每一个Cauchy列是有界集? - ？
无胖舍兰： 设Xn是cauchy列,由定义的必要性,对ε=1,存在N,当n>N时,有ρ(Xn,XN)<1, 根据三角不等式,有ρ(Xn,X1)<1+ρ(XN,X1), 取M=max{ρ(X2,X1), ρ(X3,X1), ρ(X4,X1), ..., ρ(XN,X1)+1 },则对一切Xn,有ρ(Xn,X1)<=M. 即该Cauchy列包含在以X1为中心,M为半径的“球”内,得证.

云岩区19715476758： 证明柯西点列是有界点列 - ？
无胖舍兰：[答案] 设{x_n}是Cauchy点列.则满足任取e > 0,存在N,使得m, n >= N时,有x_m和x_n距离小于e.取e = 1,设m, n >= N0时,x_m和x_n距离小于1.此时取m = N0,则x_N0和x_n的距离小于1.说明N0之后的点都在以x_N0为球心,半径为1的球之...

云岩区19715476758： 求柯西审敛原理的充分性证明 数学高手们进哈,最好过程清晰,谢谢哈 - ？
无胖舍兰： 1、首先证明Cauchy列有界取e=1,根据Cauchy列定义,取自然数N,当n>N时有c|a(n)-a(N)|<e=1 由此得:|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)|(通俗理解,a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1,显然根据经验这是有界...

云岩区19715476758： 如何用单调有界数列收敛定理证明柯西收敛定理? - ？
无胖舍兰： 单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论,而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论.本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的. 如果Xn∈R并且d(Xn,Xn+1)≤d(Xn-1,Xn)/2. 数列{xn}有极限的充要条件是:对任意...

云岩区19715476758： 柯西数列有界性的证明,类似收敛数列,谢 - ？
无胖舍兰：[答案] 柯西数列满足:对任意正数ε,存在正整数N,当n,m>N时,有|an-am|<ε.令ε=1,则存在正整数N,当m=N+1及n>N时,有|an-a(N+1)|<1.所以|an|≤|an-a(N+1)|+|a(N+1)|=|a(N+1)|+1 取M=max{|a1|,|a2|,……,|aN|,|a(N+1)|+1},...

云岩区19715476758： 请帮忙证明一般度量空间中柯西序列的极限一定存在 - ？
无胖舍兰：[答案] (1)、首先证明Cauchy列有界 取ε=1,根据Cauchy列定义,取自然数N,当n>N时有c |a(n)-a(N)|N时,我们有 |a(n)-A|

云岩区19715476758： 请教Cauchy收敛原理的证明中有一个步骤 - ？
无胖舍兰： |xn-h|<=a/2怎么得到的不清楚,至少从上面得不着不能直接推得.但是这一步可以这样做: |xn-h|<=|xn-xnk|+|xnk-h|<=a/2+|xnk-h|<=a/2+a/2=a 最后一个不等号是因为当k足够大时,|xnk-h|<=a/2 补充:严重怀疑书上写错了,<=a/2<a实在是多此一举.另外不等号严不严格不是问题吧

云岩区19715476758： 怎么证明柯西数列有界 - ？
无胖舍兰： 柯西数列有极限,所以有界.