线性代数 二次型化为标准型时候求出来的基础解系怎么判断用不用正交化 还有怎么看哪几个基础解系需要
作者&投稿：笃艺 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交啊，不需要正交化了～
我们以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。
注意：正交矩阵不同列内积均为0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均为1，也就是单位化，矩阵列向量正交不代表矩阵就是正交矩阵！
分两种情况：
二次型矩阵A是实对称矩阵(必可对角化)，如果其特征值λ互异，那么对应特征向量必正交(对角称矩阵的性质)，由其构成的矩阵只需单位化(列向量分别除以模)，就可得到正交变换矩阵；
否则，二次型矩阵A相同特征值对应的特征向量，取基础解系构成矩阵，需要施密特正交变换(正交化)，然后单位化(勿忘！)。
变换的结果是特征值λ为系数的标准型。
求特征值，特征向量过程如上
我们以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。
注意：正交矩阵不同列内积均为0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均为1，也就是单位化，矩阵列向量正交不代表矩阵就是正交矩阵！
分两种情况：
二次型矩阵A是实对称矩阵(必可对角化)，如果其特征值λ互异，那么对应特征向量必正交(对角称矩阵的性质)，由其构成的矩阵只需单位化(列向量分别除以模)，就可得到正交变换矩阵；
否则，二次型矩阵A相同特征值对应的特征向量，取基础解系构成矩阵，需要施密特正交变换(正交化)，然后单位化(勿忘！)。
变换的结果是特征值λ为系数的标准型。
两向量正交，即对应元素相乘后乘积只和为0，则正交。不同特征值的特征向量需正交，同一特征值的不同特征向量需正交。该题需正交化。
这实际上就是说用正交对角化的方法求标准型
实对称矩阵要正交化，不是实对称矩阵就不用了
塔翔达芙：[答案] 1,如果题目是用正交矩阵化为对角阵,矩阵p都要单位化,如果题目只要求可逆矩阵P的时候就不需要. 2,如果矩阵特征值不同,不需要正交化;特征值有重根,看解向量是不是正交,不是还需要正交化.
临城县17060006675： 线性代数 二次型正交化为标准型必须求特征向量么?只求特征值直接写出标准型会扣分么?如果必须求出特征值对应的特征向量,有什么必要么? - ？
塔翔达芙：[答案] 若让用正交变换化二次型,一般会让求出相应的正交变换 X=PY,P为正交矩阵 由于正交矩阵由A的n个正交的特征向量构成 所以求特征值和特征向量是必要的
临城县17060006675： 线性代数:利用正交变换法将二次型化为标准型的问题利用正交变换法将二次型化为标准型时,求出所有特征值以后,就已经能得出标准型的式子了了,为何... - ？
塔翔达芙：[答案] 因为标准型依赖的是变换矩阵也就是Q,标准型对应的矩阵不是唯一的,元素的位置可以互换,但是对应的Q就不一样了,所以再写出标准型时,是需要求出Q的 若你还有不会的,我十分愿意和你探讨,
临城县17060006675： 线性代数,二次型化为标准型时,有顺序吗.比如答案是f(x1,x 2,x3)=5y22+6y32 而我线性代数,二次型化为标准型时,有顺序吗.比如答案是f(x1,x 2,x3)=5y22+6... - ？
塔翔达芙：[答案] 答案的顺序是 0,5,6 你写的顺序是 5,6,0 这没问题 但若题目让写出所用变换,则需注意. 配方法或特征值法都要注意所对应的变换
临城县17060006675： 线代里怎么把二次型用配方法变换成标准形?应该怎么配,总不会每次都要算一下过度矩阵是不是可逆吧 - ？
塔翔达芙：[答案] 一般来讲配成第k项含有x_k但不含x_1,...,x_{k-1}的形式,换句话说就是每配一项就要消去一个变量(本质上就是Gauss消去法),这样自动满足可逆的要求
临城县17060006675： 线性代数中,化二次型为标准型时,求所用的正交变换,有的题直接算出来的特征向量就是一个正交矩阵,有的 - ？
塔翔达芙： 1,如果题目是用正交矩阵化为对角阵,矩阵p都要单位化,如果题目只要求可逆矩阵P的时候就不需要. 2,如果矩阵特征值不同,不需要正交化;特征值有重根,看解向量是不是正交,不是还需要正交化.
临城县17060006675： 线性代数中,二次型化成标准型的过程中,求完正交矩阵P了,令x=Py写出标准型这一步是怎么算的? - ？
塔翔达芙： PTAP=diag(λ1,λ2,...,λn) λ1,λ2,...,λn是与正交矩阵P中的特征向量对应的特征值.
临城县17060006675： 线性代数,正交变换化二次型为标准型 - ？
塔翔达芙： 二次型的对称矩阵A = 2 0 0 0 3 20 2 3 特征根为:1, 2,5 求出对应的特征向量,经过正交化、法化,得正交变换: [ 0 1 0] [ -√2/2 0 √2/2] [ √2/2 0 √2/2] 标准型: [ 1 0 0 ] [ 0 2 0 ] [ 0 0 5 ]
临城县17060006675： 线性代数(二次型化为规范型问题) - ？
塔翔达芙： 配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值. 例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1; 所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负). 有的二次型可以直接化为规范形,可省去化标准形的过程,比如f(x,y,z)=5x...
临城县17060006675： 线性代数中,二次型化为标准型的结果是唯一的吗? - ？
塔翔达芙：[答案] 当然不唯一. 化二次型为标准型,有两种方法 1.配方,配方只是用了某种坐标变换,得到标准型的系数,不一定是特征值 2.正交变换,得到的标准型系数一定是特征值. 况且,你可以随意的调换这些系数的位置,只要和你使用的变换矩阵的向量对应就...
