A和B是同阶非奇异矩阵，证明下列式子等价：
注意到A^(-1)B奇异，于是A^(-1)B必有零特征值，E-A^(-1)B必有1特征值，于是||E-A^(-1)B||>=1，故
1<=||E-A^(-1)B||=||A^(-1)(A-B)||<=||A^(-1)|| ||A-B||，两边同除以cond(A)，得结论。
等价的定义：A~B，A可以经若干次初等变换得到B
n阶奇异矩阵，就是行列式等于零的矩阵，而非奇异就是行列不为零（等价于可逆)
A为可逆矩阵的一个充要条件是A与E等价。
等价是等价关系，有自反性，对称性，和传递性
故两个n阶非奇异矩阵一定等价，因为他们都等价于E。
另外，于一个n阶非奇异矩阵一定等价的矩阵一定是一个可逆矩阵。
故，奇异矩阵B不可能行等价于非奇异矩阵A，因为B不能等价于E，而A可以等价于E。
(1)->(2):AB=BA等号两边左乘(B^-1)，右乘(B^-1)
(2)->(3):等号两边左乘(A^-1)B，右乘B(A^-1)
(3)->(4):等号两边左乘(B^-1)，右乘(B^-1)
(4)->(1):等号两边左乘BA,右乘AB
从而证明4式等价
AB BA等价:(A^-1)ABA=BA所以等价
后面的同理,不证明了
矩阵的相似是什么意思?
单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为n。2、相似的矩阵必有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。如果A相似B,则存在非奇异矩阵是P，有P^(-1)*A*P＝B。det(xI-B)=det(xI-...
非奇异矩阵与满秩矩阵的关系
非奇异矩阵与满秩矩阵二者的关系是：非奇异矩阵一定是行满秩矩阵；而行满秩矩阵未必是非奇异矩阵。非奇异矩阵是指可逆矩阵，前提条件为该矩阵是方阵。可逆矩阵是线性代数中的一个矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个 n 阶方阵A，若存在一n 阶方阵B， 使得AB=BA=In（或AB=In、BA=In 任满足...
如何判断某一行元素相同,那一行元素就相等?
行列式某一行元素相同，行列式可以为零，也可以不为零。行列式等于0的情况：1、有2行或2列数值相同的情况；2、有一行或一列全为0的情况；3、有两行或两列数值成比例的情况；4、行列式对应的矩阵的秩小于行列式的阶数的情况。若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。行列式可...
设A,B,C为同阶矩阵,且C非奇异,满足C-1AC=B,证明:C-1AmC=Bm(m是正整数...
好久没有接触过这些东西了，但是基本上是利用逆矩阵关系做了 方程两边，方程左乘以m-1个C-1AC，右乘以m-1个B 那么 (C-1AC)*(C-1AC)...*(C-1AC)=B*B*...*B 而C*C-1=E 于是中间的A累积起来 得到C-1AmC=Bm
正定矩阵 性质
当A和B都是n阶实对称或Hermitian（复共轭对称）的正定矩阵时，它们的乘积AB的特征值无疑会大于零。这种性质可以通过正定矩阵的定义来证明。正定矩阵意味着存在非奇异矩阵C，使得A等于C的转置C的乘积，即A=CC'。由于相似变换保持特征值，AB可以转化为C'BC，这个新的矩阵是C的转置与B的乘积，由于B也...
A非奇异是什么意思
同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。二、非奇异矩阵 1、n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 可逆，即可逆方阵就是非奇异方阵。2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =I（ ...
如果知道同阶矩阵A,B的特征值,A+B的特征值是A和B特征值的和吗?
定理2：共轭对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正.定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵.定理4：任意阵A为正定的充分必要条件是：A的逆阵也是正定矩阵.正定矩阵的性质：1.正定矩阵一定是非奇异的,即det(A)或记为|A|≠0.2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定...
秩是什么意思?
5、秩的性质与矩阵运算： 矩阵的加法、数乘、转置等运算并不改变其秩的性质，但矩阵乘法可能改变秩的大小。例如，如果矩阵A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))。6、奇异矩阵和非奇异矩阵： 若一个矩阵的秩小于其...
若同阶方阵A与B相似,下面正确的是() A.A与B有相同的特征值和特征向量...
D 正确.A不对, 相似则特征值相同, 但特征向量不一定相同 B不对, 两个矩阵不一定可对角化 C不对, 特征矩阵不一定相同 只有D对了, 若 P^-1AP=B, 则 P^-1(tE-A)P = tE-P^-1AP = tE-B.
设ABC为同阶矩阵,若AB=AC,则B= C对吗 急!!
“设ABC为同阶矩阵，若AB=AC,则B=C。”这句话是错误的。AB=AC可变形为A(B-C)=0, 即若A不为0，则肯定存在D时AD=0。例如下面的反例：1、A=[0，1；0，1]，B = [2，-3； 1，0]，C=[3，4；1，0]则 AB = AC 但 B != C 2、A= [ 2，4； -3，-6 ]，B=[ -2，4...
答侍欣匹：[答案] 由于A和B是同阶非奇异矩阵,即A和B均可逆 (1)->(2):AB=BA等号两边左乘(B^-1),右乘(B^-1) (2)->(3):等号两边左乘(A^-1)B,右乘B(A^-1) (3)->(4):等号两边左乘(B^-1),右乘(B^-1) (4)->(1):等号两边左乘BA,右乘AB 从而证明4式...
天长市17683236847： A和B是同阶非奇异矩阵,证明下列式子等价: - ？
答侍欣匹： ^^由于A和B是同阶非奇异矩阵,即A和B均可逆 (1)->(2):AB=BA等号两边左乘(B^-1),右乘(B^-1) (2)->(3):等号两边左乘(A^-1)B,右乘B(A^-1) (3)->(4):等号两边左乘(B^-1),右乘(B^-1) (4)->(1):等号两边左乘BA,右乘AB 从而证明4式等价
天长市17683236847： 设A,B为同阶非奇异阵,则下面命题必定成立的是a:A+B也是非奇异阵b:AB也是非奇异阵c:A+B不是非奇异阵d:AB不是非奇异阵 - ？
答侍欣匹：[答案] c
天长市17683236847： 设A,B为同阶非奇异阵,则下面命题必定成立的是a:A+B也是非奇异阵b:AB也是非奇异阵c:A+B不是非奇异阵 - ？
答侍欣匹： c
天长市17683236847： 矩阵求证A、B、C为同阶矩阵,且C为非奇异矩阵,满足C^( - 1)*A*C=B,求证:C^( - 1)*A^m*C=B 大侠的回答就是不一样,简短精悍,但本人才疏学浅,二... - ？
答侍欣匹：[答案] 已知:C^(-1)*A*C=B,B=E*B=C^-1*C*B 所以:C^(-1)*A*C=C^-1*C*B 两边同乘C得:C*C^(-1)*A*C=C*C^-1*C*B 即 A*C=C*B 需证: C^(-1)*A^m*C=C^-1*A*A……*A*A*A*C =C^-1*A*A……*A*A*C*B (A*C=C*B) =C^-1*A*A……*A*C*B*B =C^-1*C*B^...
天长市17683236847： 证明A为非奇异矩阵 - ？
答侍欣匹： 由AB=C,取行列式得det(A)*det(B)=det(C), 因此若det(C)不等于0(即C非奇异),则 det(A)和det(B)都不为0,故A和B都非奇异.
天长市17683236847： 已知A和B是同阶可逆矩阵,证明(AB)*=B*A* - ？
答侍欣匹： AA* = |A|E ; A* = |A|A-1(AB)* =|AB|(AB)-1 = |A||B|(B-1)(A-1) = {|B|B-1}{|A|A-1} = B*A*
天长市17683236847： 矩阵证明题证明:若B为与A同阶的方阵,则BA^ - 1=A^ - 1B当且仅当AB=BA. - ？
答侍欣匹：[答案] 首先证明AB=BA...(1)推出BA^-1=A^-1B 1式左右两边分别左乘A^-1 A^-1AB=A^-1BA 推出B=A^-1BA BA^-1=A^-1BAA^-1=A^-1B 而同时 若BA^-1=A^-1B成立 B=A^-1BA 则必然推出AB=BA 因此 BA^-1=A^-1B当且仅当AB=BA
天长市17683236847： 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA - ？
答侍欣匹： n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,不妨设A非奇异, 则BA=A^(-1)ABA 可见AB相似于BA
天长市17683236847： 设A,B.C为同阶方阵,且C非奇异,满足C^( - 1)AC=B,求证,C^( - 1)A^(m)C=B^(m) - ？
答侍欣匹： C^(-1)ACC^(-1)AC=C^(-1)A^(2)C(这是因为CC^(-1)=单位阵) 改成M的时候证明是类似的
