什么是不动点原理 还有 Brouwer 不动点定理，不动点法，不动点的运用，证明？
作者&投稿：谷曲 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
Heine-Borel定理：在 Rn 内，一个集合是紧集当且仅当它是闭且有界的
某度量空间（metric space）的一个子集S是紧集，如果对于任意由其元素组成的序列{X1,X2,…}，总能在该序列中抽取一个收敛于S中某元素的子序列
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关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成??(x)=x的形状，这里x
是某个适当的空间Χ中的点，??是从Χ到Χ的一个映射或运动，把每一点x移到点??(x)。方程??(x)=x的解恰好就是在??这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。研究方法主要是拓扑的和泛函分析的（见非线性算子）。
常见的不动点定理
压缩映射原理(C.(C.-)??.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：设X是一个完备的度量空间，映射??:Χ→Χ
把每两点的距离至少压缩λ倍，即d（??（x），??(y))≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么??必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列，这序列一定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础。由于分析学的需要，这定理已被推广到非扩展映射、概率度量空间、映射族、集值映射等许多方面。
布劳威尔不动点定理(1910):设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解。把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间，就是绍德尔不动点定理(1930)，常用于偏微分方程理论。这些定理可以从单值映射推广到集值映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学。
不动点指数
不动点的个数有两种数法。代数上通常说n次复多项式有n个复根，是把一个k重根算作k个根的;如果不把重数统计在内，根的个数就可以小于n。推广根的重数概念，可以定义不动点的指数，它是一个整数，可正可负可零，取决于映射在不动点附近的局部几何性质。一个映射的所有不动点的指数的总和，称为这映射的不动点代数个数，以别于不动点的实际个数。莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,??:Χ→Χ是映射,那么??的不动点代数个数等于??的莱夫谢茨数L(??)，它是一个容易计算的同伦不变量，可以利用同调群以简单的公式写出。当L(??)≠0时，与??同伦的每个映射都至少有一个不动点。这个定理既发展了布劳威尔定理，也发展了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加莱－霍普夫定理，把它进一步推广到泛函空间而得的勒雷－绍德尔参数延拓原理，早已成为偏微分方程理论的标准的工具。
J.尼尔斯1927年发现，一个映射??
的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量。指数和不为0的不动点类的个数,称为这映射的尼尔斯数N(??)。只要Χ是维数大于2的流形，N(??)恰是与
??同伦的映射的最少不动点数。这就提供了研究方程的解的实际个数（而不只是代数个数）的一种方法。
莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚－辛格指标定理与阿蒂亚-博特不动点定理。
不动点的计算
上述各种不动点定理，除压缩映射原理外，都未给出不动点的具体求法。由于应用上的需要，不动点算法的研究正在蓬勃发展，以求把拓扑的思路落实为快速、实用的计算方法。
网上是这么写的：
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
数列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括号代表下标）求An通项
这道体我当时记了个方法：原式变形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列
然后联立 解出来
上述方法，应该说是特征根法和不动点法。
特征根：
对于多个连续项的递推式（不含常数项），可化为X的(n-1)次方程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可写为：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然后求出根（实根虚根都可以），不同项写成C*x^(n-1),相同项写成关于n的整式，有多少同根，n的次数就是同根数减1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通项就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系数，要靠已知项联立方程求解。
不动点：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
{(an-2)/(an+1)}为等比数列
令(an-2)/(an+1)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]
(将a(n+1)用*式换成an)
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)
an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
注：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。让a(n+1)=an=x，代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出
若无解，就只有再找其他方法了。
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。
当你打开地图，找到你所在的位置，也许你不知道，但是你验证了一个数学中重要的定理——“不动点原理”中的“压缩影像定理”。如果你的地图还很不规则，严重的变形，那么你还做了数学家认为很困难的事—在复杂的情况下，找到了不动点。
解方程无疑是数学中非常重要的问题，诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，这些方程都能改写成ƒ(x)=x形式，这就是不动点原理，数学家证明了很多不动点存在定理，但是具体找到不动点，除了特殊情况，依然是十分困难的事情。
不动点原理有很多种形式，涉及到很多数学分支，有关科普性的介绍可以参见【1】，【2】，在此我们不展开详细讨论。
不动点原理有着很直观的几何意义，本文我们通过几个例子，试图使大家对不动点原理抽象的概念有一个直观的理解。
不动点例子：
例一
假设你有一把精确的理想米尺A、将A缩小为B（不要求均匀按比例），再任意的放到A上，这时在相同的位置上，A与B刻度很可能不同，例如B的10cm也许在A的15cm上。但是，不动点原理告诉我们，B上必有一点，在A，B上有相同的刻度，即所谓的“不动点”。用数学语言描述这一过程：如果一条线段经过连续变换F，但其每个点仍然在这个线段上，也就是F(A)包含在A中，则必有一点位置c不变，即F(c)=c。
如果是按比例缩小，我们可以用几何方法很容易证明这一命题【3，p136】。对一般情况，我们可以这样直观的证明：
设A的参数是t，压缩变换F: A→B（A包含B），假设F可微分，v=dF/dt。想象两只蚂蚁a、b分别在A，B的起始端向终端爬行，a以速度1匀速运动，b以速度v（变速）运动，则a，b在相同的时刻分别在A，B的相同刻度上，直观的看，必有某个时刻T，a，b相遇，相遇的点就是“不动点”。
（但是要是具体找出这个点，随着F的复杂性会变得很困难。）
例二
我们再看二维的情景：将地图A，例如中国地图，缩小（不要求均匀按比例）后记为B，将B任意地放到原图A上，地图B的每一个点在A上都有了新的位置，也许B的北京在A的上海位置，南京在成都位置。但不动点原理告诉我们：B上必有一个点位置没有动，即该点在两张地图A、B上表示相同的位置。
如果按比例缩小，我们可以用平面几何（不很容易）证明【3，p138】。对一般情况，这个例子我们很难给出一个简单直观的证明（如果学过区间套定理，可以利用该定理证明，证明思路可参考后面列举的一段微博对话），但我们可以给出一个很直观的解释：
想象你有一台精确的理想GPS，但是屏幕严重变形，如此，屏幕上显示一个变形且缩小的中国地图。如果我们把中国国土看作一个大的地图A，GPS屏幕上的地图看作这个地图的缩小B，那么屏幕上显示你当前位置的点就是这个所谓的“不动点”。
事实上，当你用地图查找你所处的位置，就是寻找不动点（附近）的过程，假若你的地图又很不规则，那么你正在做一件数学上很困难的事情，找到不动点（附近）。
例三
再看三维的例子：我们把一块理想的蛋糕A从各个方向（不一定各向均匀）压缩成B，并在A内部任意移动，则不动点原理告诉我们：蛋糕中必有一个点没有位移，即不动点。
类似例二，直观上，我们可以这样理解：
把中国国土连同1000米上空看作一个大的蛋糕，假设你有一台未来的三维精确理想的GPS，而且假设你在空中悬浮（坐飞机，热气球？），你可以想象这个三维的GPS就是那个压缩后的蛋糕，这个GPS显示的你当前位置就是这个不动点。
看过上述3个例子，我们可以发现它们只是同一个问题在一、二、三维空间的直观描述。在这个过程中“图像压缩”了，因而，这一现象在数学中称作 “压缩影像定理”，它是诸多“不动点原理”中的一个，“压缩影像定理”有更一般的表述方式【1】，【2】。
微博上曾有一个关于压缩影像的有趣的对话：
实际上这段对话描述的就是压缩影像定理的证明思路。你可以类似的证明压缩影像定理，设压缩的函数表达为F，即F：A→A，B=B(1)=F(A)，B(n)=F(B(n-1))，如果F类似我们上述三个例子的条件，则B(n)收敛，其极限就是我们要求的不动点。
下面我们再看一个很不直观的例子，及一个有趣，但有些不可思议的推论。
例四
数学家总是充满好奇，总是试图讨论更广泛的问题。按照这个思维定势，下面很自然会问，球面上会如何？球面由于其空间的结构不同，问题要复杂得多，我们有如下结论：
Brouwer定理：设F是（2维）球面到球面自身的连续映射，则必有一个点c，使得F(c)=c 或者 –c。即F或者有一个不动点，或者有一个点映射到其对径点（过c的直径在球面上连接的另一个点）。
这个命题证明很复杂，需要用到代数拓扑理论，即使直观理解起来也很困难（至少我没有办法像前面的例子那样去直观的描述）。但是，利用这个命题，数学家（不是气象学家）可以得到一个很有趣，又很不直观的断言：任何时刻，地球上总有一点不刮风（水平方向风速为零）。
这个断言看起来与Brouwer定理风马牛不相干，但证明并不难。我们可以用反证法这样证明这个断言：
为了方便起见，不妨假设地球是单位球面（半径为1），球面上的点可以看作单位向量，而球面到球面的映射可以看作单位向量间的映射。假设在某一时刻，地球任何一点x的风速V(x)（水平方向向量）都不为零，那么向量V(x)与圆心o到点x的向量ox垂直，而V(x)/ |V(x)|，其中|V(x)|为向量V(x)的长度，可以看作（单位）球面上的点，且与ox垂直。于是我们可以构造一个（单位）球面到自身的映射F：ox→V(x)/ |V(x)|。不难看出该映射把向量ox映射到与其垂直的向量，所以既不是其自身，也不是其对径点-ox，而这与Brouwer定理矛盾。因而，假设不成立，所以在任一时刻地球上必有一点没有风。
更一般的，对所有偶数维球面上述Brouwer定理，及我们的断言仍然成立。
但是对奇数维球面上述命题并不成立，Brouwer定理有更为复杂的形式。
对奇数维球面，我们可以利用线性代数构造一个反例：
用一个偶数2n阶的没有实特征根的正交矩阵O，自然作用在2n维欧氏空间上，它将奇数2n-1维单位球面变换到自身，易证：不存在这样的点，在O的作用下，不动（特征根为1的特征向量），或者变为对径点（特征根为-1的特征向量）。
注： Brouwer定理在有些科普书以及网上（如：【1】、【3】）错误的表述为：设F是球面到球面自身的连续映射，则必有一个点使得F(x)=x，即有不动点。
注：作为惯例，一般中文数学教科书或数学论文为了避免混淆，句号不使用“。”，而是用英文句号“.”，本文作为科普文章，没有沿袭这个惯例。
比较乱，因为我也很无知....
梅贡康士：[答案] 好像是满足f(x)=x的点,这个好像用于求近似解什么的.网上是这么写的:布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(英语:L. E. J. Brouwer).布劳威尔不动点定理说明:对于一个拓扑空间中满足一定条件的连...
文安县18618495423： 什么是不动点? - ？
梅贡康士：[答案] 动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”. 不动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或巴拿赫(Banach)不动点定理,完整的表达:完备的度量空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初...
文安县18618495423： 介绍函数不动点关于不动点 理论 原理 应用(只要数列就可以了) - ？
梅贡康士：[答案] 函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点 不动点原理 不动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或Banach不动点定理,完整的表达:完备的度量空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这...
文安县18618495423： 数学中的不动点理论是怎么回事? - ？
梅贡康士：[答案] 关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成ƒ(x)=x的形状,这里x 是某个适当的空间Χ中的点,ƒ是从Χ到Χ的一个映射或运动,把...
文安县18618495423： 什么情况下数列不能用不动点;用不动点法求数列通项的原理是什么? - ？
梅贡康士：[答案] 一个数列在极限不存在时,就不能用不动点解决!,用不动点求数列是牛顿发明的,其原理如下: 不动点是使 f(x) = x 的 x值 ,设不动点为x0,则 f(x0) - x0 =0 ,即 x是 f(x) - x0 =0 的根,所以 f(x)- x0 因式分解时有 x-x0 这个因子,对数列 有 a(n+1) = f(an...
文安县18618495423： 数学中的不动点理论是怎么回事? - ？
梅贡康士： 关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成ƒ(x)=x的形状,这里x 是某个适当的空间Χ中的点,ƒ是从Χ到Χ的一个映射或运动,把每一点x移到点ƒ(x).方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题.不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法.研究方法主要是拓扑的和泛函分析的(见非线性算子).http://baike.baidu.com/view/591450.htm 这里面很详细,可以看看
文安县18618495423： 不动点法解数列的原理是什么? - ？
梅贡康士： 递推式: a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D) (n∈N*,A,B,C,D为常数,C不为0,AD-BC不为0,a1与a2不等)其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)特征方程的根称为该数列的不动点这类递推式可转化为等差数列或等比数列1)若x=(A*x+B)/(C*x+B)有...
文安县18618495423： 谁能告诉我一些关于不动点的简单知识？
梅贡康士： 函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点. 不动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或巴拿赫(Banach)不动点定理,完整的表达:完备的度量空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这么理解:连续映射f的定义域包含值域,则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上. 假设X是拓扑空间, f:X→X是一个连续映射, 且存在x∈X, 使得f(x)=x, 就称x是不动点. 那啥昕X,我是复制党的.
文安县18618495423： 不动点定理的定理启示 - ？
梅贡康士： 建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献.这个定理表明:在二维球面上,任意映到自身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的.他把这一定理推广到高维球面.尤其是,在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点.在定理证明的过...
文安县18618495423： 有关不动点帮忙解释一下不动点的原理并举例说明它的运用,例如在数列和其他方面的应用 - ？
梅贡康士：[答案] 只能解这一类题,不过有的时候不一定要用不动点法,特殊的时候可以取倒数比如a(n+1)=an/(2an+1),a1=1,an=?取倒数1/a(n+1)=(an+1)/an=1+1/an,所以数列{1/an}是以公差为1的等差数列1/an=1+(n-1)=n,an=1/n可以用的情况,我...
