请教奥数题 最大公约数与最小公倍数
作者&投稿：郑饼 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
第一个列举法很容易得到，m=7时，m的三次方已经是343了，所以只有六个数，很好列举
第二个可以采取分解质因数法，2001的质因数分解，在考虑将任意一个质因数构造成一个25项数列是否满足和的条件，那么这个质因数即为所求的公约数，找出其中最大者即为最大公约数
第三个，有最下公倍数为72，有a或b中必有一数含有8这个质因数，且a，b必为2和3的整数次幂，剩下的做一下枚举，很容易得到
第四个，假设出x和y的质因数分解式，利用该式求最小公倍数与最大公约数，可得两个关于P，Q的式子，又有P=120Q，则构成一个不定方程组，解得全部整数解，再找差的最大值即可
这两个数分别为24，30 （方法如下：
解：设两个自然数为X和Y，则 X=ab，Y=cb，且由题可知a，b，c都是正整数，
则ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9，
abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19，
因为a，b，c都是正整数
所以b可能是2或3或6．
经检验，b为2或3 a，c都无正整数解．
所以b只能是6，由此可知，a=4，c=5．
所以 X=ab=24 Y=cb=30．
答：这两个数分别为24，30．
先求出12\18\24\42四个数的最小公倍数为504，那么在1500-8000之间能同时被12\18\24\42四个数整除的自然数必然为504的倍数，则可设符合条件的数字为504×N（N为整数），于是有：1500＜504×N＜8000；解此不等式得：2.98＜N＜15.87，所以N可取的值有：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15，共计13个。
（2）有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是（19 ）。
根据同余定理，这个数一定是38，57，95这3个数的公约数
（3）某数用3除余2，用7除余4，用11除余1，满足这些条件的最小自然数是（221 ）。
中国剩余定理（或者叫孙子点兵）问题
1）找到能被3,7整除，且除以11余1的最小数，为：
3×7×10=210
2）找到能被3,11整除，且除以7余4的最小数，为：
3×11×5=165
3）找到能被7,11整除，且除以3余2的最小数，为：
7×11=77
4）把找到的三个最小数求和，为：
210+165+77=452
5）求出3,7,11的最小公倍数，为：
3×7×11=231
6）把求出的和与最小公倍数比较，如果和大于最小公倍数，就减去最小公倍数
可以重复进行，直到结果小于最小公倍数
452-231=221＜231
221就是满足要求的最小数，所以=221
（4）某数去除74、109和165，所得的余数相同，139与5612的积除以这个数余（2 ）。
根据同余定理，这个数一定是35，56，91的公约数，所以这个数是7，139除以7余6，5612除以7余5，所以 139与5612的积除以这个数7余5x6=30. 除以7余2
（5）有一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12余（5 ）。
这个太简单了，你自己看吧
（6）乙数除甲数商3余8，若甲数扩大5倍，商正好是19，甲数是（38 ），乙数是（10 ）。
甲数是x,乙数是y
x=3y+8
5x=19y
解方程组得：
x=38
y=10
甲数是38,乙数是10
（7）一个三位数被37除余17，被36除余3，这个三位数是（831 ）。
37×a+17=36×b+3
37a+14=36b
尝试且a为偶数
所已a=22时，b=23
所以这三位数为831
（8）十个自然数之和等于1001，这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是（91 ）。
1001＝7×11×13＝91×11
这十个自然数的最大公约数的最大值是91.
（9）把 l，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，所有这些九位数的最大公约数是（9 ）。
1＋2＋…＋9＝45，根据被9整除特征判断，因而9是这些数的公约数。
（10）已知三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个数是（8，9，10 ）。
设3个连续自然数为 n-1 n, n+1
因为3个连续自然数的最小公倍数为360
当第一个数n-1为奇数时
(n-1)*n*(n+1)=360
n^3-n=360
n没整数解
当n-1为偶数时
因为n-1和n+1都是偶数最小公倍数约去了个2
所以最小公倍数为360×2=720
所以(n-1)*n*(n+1)=360*2
n^3-n=720
n=9
所以连续3个自然数为 8,9,10.
（11）三个互不相同的自然数之和为370，它们的最小公倍数最小能够是（222 ）。
设3个数从小到大分别为AX,BX,CX,其中X是他们的最大公因数。
有AX+BX+CX=370
(A+B+C)*X=370
因A<B<C,A最小为1，所以A+B+C最小为1+2+3=6
又根据370的因数得知：
(A+B+C)*X=370=10*37=37*10=370*1
AX,BX,CX的最小公倍数=(A、B、C)的最小公倍数*X
当A+B+C=10，X=37时，
(A、B、C)的最小公倍数的最小值6，当A=1,B=3,C=6
AX,BX,CX的最小公倍数的最小值=6*37 = 222
当A+B+C=37，X=10时，
(A、B、C)的最小公倍数的最小值24，当A=1,B=12,C=24
AX,BX,CX的最小公倍数的最小值=24*10 =240
当A+B+C=370，X=1时，
(A、B、C)的最小公倍数的最小值246，当A=1,B=123,C=246
AX,BX,CX的最小公倍数的最小值246*1 =246
综上所述，当A=1,B=3,C=6，即三个自然数分别等于37、11、222时，
有最小的公倍数222。
（12）一个数减去1能被2整除，减去2能被5整除，减去3能被7整除，加上4能被9整除，这个数最小是（437 ）。
由一个数减去1能被2整除,可知此数为奇数
由减去2能被5整除可知，此数个位是7
减去3能被7整除,即加上4能被7整除
又加上4能被9整除
所以此数是7，9的倍数减4
即63n-4
63n-4的个位是7
所以这个数最小是63x7-4=437
（13）已知数A有12个约数，数B有10个约数，且A、B两数只含有质因数3和5，A、B的最大公约数是75，A是（675 ），B是（1875 ）。
根据约数个数定理，A=3³x5² B=3乘以5的4次方
（14）有四个不同的自然数，它们的和是1991。如果要求这四个数的最大公约数尽可能的大，这四个数中最大的那个数是（905 ）。
将1991进行分解,1991=11*181
1、先得出这四个数的最大公约数是181。为什么呢？假如还有更大的公约数k，那么必有 1991=ak+bk+ck+dk=(a+b+c+d)k (k>181，a,b,c,d为正整数且都不等), 由于1991=11*181，k>181，可以得到a+b+c+d<11,但在小于11的正整数中，除了1以外，没有数能整除1991。所以这四个数的最大公约数是181。
2、求出这四个不同的自然数中最大的为905。怎么求？把11分解成4个不相等的正整数的和，要使其中一个达到最大，则其它三个要尽可能的小。必须这样分：
11=1+2+3+5 则 1995=181+2*181+3*181+5*181
其中最大数就是5*181=905
（15）已知两个合数的最大公约数与最小公倍数的和是143，这两个合数是（33和44 ）或是（26和65 ）。
设这两个数的最大公约数为p。则这两个数分别是np和mp，由于这两个数都是合数，所以n与m互质且均大于1。他们的最小公倍数为nmp，最大公约数与最小公倍数的和p+nmp=p(1+nm)=143。由于143=11X13，所以最大公约数为11、13或1。
如果最大公约数为11，那么最小公倍数为143-11=132，nm=12=3X4
这两个数分别是3X11=33和4X11=44
如果最大公约数为13，那么最小公倍数为143-13=130，nm=10=2X5
这两个数分别是2X13=26和5X13=65
如果最大公约数为1，那么最小公倍数是143-1=142=2X71
这两个数分别是2和71。但由于他们均非合数，不符合题意，所以舍去。
(1)在1500至8000之间能同时被12，18，24，42四个数整除的自然数共有（13
）个。
先求出12\18\24\42四个数的最小公倍数为504，那么在1500-8000之间能同时被12\18\24\42四个数整除的自然数必然为504的倍数，则可设符合条件的数字为504×N（N为整数），于是有：1500＜504×N＜8000；解此不等式得：2.98＜N＜15.87，所以N可取的值有：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15，共计13个。
（2）有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是（19
）。
根据同余定理，这个数一定是38，57，95这3个数的公约数
（3）某数用3除余2，用7除余4，用11除余1，满足这些条件的最小自然数是（221
）。
中国剩余定理（或者叫孙子点兵）问题
1）找到能被3,7整除，且除以11余1的最小数，为：
3×7×10=210
2）找到能被3,11整除，且除以7余4的最小数，为：
3×11×5=165
3）找到能被7,11整除，且除以3余2的最小数，为：
7×11=77
4）把找到的三个最小数求和，为：
210+165+77=452
5）求出3,7,11的最小公倍数，为：
3×7×11=231
6）把求出的和与最小公倍数比较，如果和大于最小公倍数，就减去最小公倍数
可以重复进行，直到结果小于最小公倍数
452-231=221＜231
221就是满足要求的最小数，所以=221
（4）某数去除74、109和165，所得的余数相同，139与5612的积除以这个数余（2
）。
根据同余定理，这个数一定是35，56，91的公约数，所以这个数是7，139除以7余6，5612除以7余5，所以
139与5612的积除以这个数7余5x6=30.
除以7余2
（5）有一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12余（5
）。
这个太简单了，你自己看吧
（6）乙数除甲数商3余8，若甲数扩大5倍，商正好是19，甲数是（38
），乙数是（10
）。
甲数是x,乙数是y
x=3y+8
5x=19y
解方程组得：
x=38
y=10
甲数是38,乙数是10
（7）一个三位数被37除余17，被36除余3，这个三位数是（831
）。
37×a+17=36×b+3
37a+14=36b
尝试且a为偶数
所已a=22时，b=23
所以这三位数为831
（8）十个自然数之和等于1001，这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是（91
）。
1001＝7×11×13＝91×11
这十个自然数的最大公约数的最大值是91.
（9）把
l，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，所有这些九位数的最大公约数是（9
）。
1＋2＋…＋9＝45，根据被9整除特征判断，因而9是这些数的公约数。
（10）已知三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个数是（8，9，10
）。
设3个连续自然数为
n-1
n,
n+1
因为3个连续自然数的最小公倍数为360
当第一个数n-1为奇数时
(n-1)*n*(n+1)=360
n^3-n=360
n没整数解
当n-1为偶数时
因为n-1和n+1都是偶数最小公倍数约去了个2
所以最小公倍数为360×2=720
所以(n-1)*n*(n+1)=360*2
n^3-n=720
n=9
所以连续3个自然数为
8,9,10.
（11）三个互不相同的自然数之和为370，它们的最小公倍数最小能够是（222
）。
设3个数从小到大分别为AX,BX,CX,其中X是他们的最大公因数。
有AX+BX+CX=370
(A+B+C)*X=370
因A<B<C,A最小为1，所以A+B+C最小为1+2+3=6
又根据370的因数得知：
(A+B+C)*X=370=10*37=37*10=370*1
AX,BX,CX的最小公倍数=(A、B、C)的最小公倍数*X
当A+B+C=10，X=37时，
(A、B、C)的最小公倍数的最小值6，当A=1,B=3,C=6
AX,BX,CX的最小公倍数的最小值=6*37
=
222
当A+B+C=37，X=10时，
(A、B、C)的最小公倍数的最小值24，当A=1,B=12,C=24
AX,BX,CX的最小公倍数的最小值=24*10
=240
当A+B+C=370，X=1时，
(A、B、C)的最小公倍数的最小值246，当A=1,B=123,C=246
AX,BX,CX的最小公倍数的最小值246*1
=246
综上所述，当A=1,B=3,C=6，即三个自然数分别等于37、11、222时，
有最小的公倍数222。
（12）一个数减去1能被2整除，减去2能被5整除，减去3能被7整除，加上4能被9整除，这个数最小是（437
）。
由一个数减去1能被2整除,可知此数为奇数
由减去2能被5整除可知，此数个位是7
减去3能被7整除,即加上4能被7整除
又加上4能被9整除
所以此数是7，9的倍数减4
即63n-4
63n-4的个位是7
所以这个数最小是63x7-4=437
（13）已知数A有12个约数，数B有10个约数，且A、B两数只含有质因数3和5，A、B的最大公约数是75，A是（675
），B是（1875
）。
根据约数个数定理，A=3³x5²
B=3乘以5的4次方
（14）有四个不同的自然数，它们的和是1991。如果要求这四个数的最大公约数尽可能的大，这四个数中最大的那个数是（905
）。
将1991进行分解,1991=11*181
1、先得出这四个数的最大公约数是181。为什么呢？假如还有更大的公约数k，那么必有
1991=ak+bk+ck+dk=(a+b+c+d)k
(k>181，a,b,c,d为正整数且都不等),
由于1991=11*181，k>181，可以得到a+b+c+d<11,但在小于11的正整数中，除了1以外，没有数能整除1991。所以这四个数的最大公约数是181。
2、求出这四个不同的自然数中最大的为905。怎么求？把11分解成4个不相等的正整数的和，要使其中一个达到最大，则其它三个要尽可能的小。必须这样分：
11=1+2+3+5
则
1995=181+2*181+3*181+5*181
其中最大数就是5*181=905
（15）已知两个合数的最大公约数与最小公倍数的和是143，这两个合数是（33和44
）或是（26和65
）。
设这两个数的最大公约数为p。则这两个数分别是np和mp，由于这两个数都是合数，所以n与m互质且均大于1。他们的最小公倍数为nmp，最大公约数与最小公倍数的和p+nmp=p(1+nm)=143。由于143=11X13，所以最大公约数为11、13或1。
如果最大公约数为11，那么最小公倍数为143-11=132，nm=12=3X4
这两个数分别是3X11=33和4X11=44
如果最大公约数为13，那么最小公倍数为143-13=130，nm=10=2X5
这两个数分别是2X13=26和5X13=65
如果最大公约数为1，那么最小公倍数是143-1=142=2X71
这两个数分别是2和71。但由于他们均非合数，不符合题意，所以舍去。
题太多，你又不给分。很少有人答的。
雕差甘油：[答案] 27=3*3*3,24=2*2*2*3; 27和24的最大公约数是3;最小公倍数是2*2*2*3*3*3=216; 故答案依次为:27,24,3,216.
滨海县15085037872： 数42和105的最大公约数是______,最小公倍数是______. - ？
雕差甘油：[答案] 42=2*3*7, 105=3*5*7, 所以42、105的最大公约数是3*7=21; 最小公倍数是2*3*5*7=210; 故答案为:21,105.
滨海县15085037872： 请教一道有关最小公倍数和最大公约数的应用题有甲乙丙三人同时同向从同一地点出发,沿着周长为900米的环行跑道跑步,甲每分钟跑360米,乙每分钟跑... - ？
雕差甘油：[答案] 360,300,210的最小公倍数是360*35=12600 12600=300*42=210*60 所以,他们至少各自跑了35圈,42圈,60圈后再次相遇
滨海县15085037872： 一道数学求最大公约数和最小公倍数16和28(最大公约数和最小公倍数)16、36和24(最小公倍数) - ？
雕差甘油：[答案] 16和28最大公约数是4 最小公倍数是112 16、36和24最小公倍数是144
滨海县15085037872： 一个数的最大公约数就是它的最小公倍数.______. - ？
雕差甘油：[答案] 因为一个数是没有最大公约数与最小公倍数的; 所以一个数的最大公约数就是它的最小公倍数,这种说法是错误的; 故判断:*.
滨海县15085037872： 谁会知道最大公约数数和最小公倍数的区别啊 谁会知道最大公约数数和最小公倍数的区别啊,谢谢 - ？
雕差甘油：[答案] 1)最大公约数(最大公因数)就是几个数公有的因数中最大的一个.例12与18 2)最小公倍数就是几个数公有的倍数中最小的一个. 最大公约数是最小公倍数的约数 且:最小公倍数与最大公约数的商等于两个数分别与最大公约数的商的积 即:若X、Y...
滨海县15085037872： 小学奥数题求最大公因数和最小公倍数的)具体过程告诉我. - ？
雕差甘油： 54和72的最小公倍数是[54,72]=216,就是指每过216cm,两人的脚印就有重合;在216cm中,婷婷走的脚印有216÷54=4(个),爸爸走的脚印有216÷72=3(个),一共留下的脚印有4+3-1=6个;以这样的6个为一组,一圈共有60÷6=10(组),也就是说花圃的周长就有10个216cm,所以花圃的周长是216x10=2160(cm).具体的算式整理如下:[54,72]=216,216÷54=4(个),216÷72=3(个),4+3-1=6个,60÷6=10(组),216x10=2160(cm).
滨海县15085037872： 甲乙两数之比是5:3,它们的最大公约数与最小公倍数之和为1040,求甲乙两数 - ？
雕差甘油：[答案] 甲乙两数的比是 5:3 ,他们就是 5y 和 3y, 最大公约数就是 y,最小公倍数就是 15y, 最大公约数与最小公倍数,和为 1040,就是 16y = 1040 2y = 130 y = 65 3y = 195 5y = 325 甲数就是 325,乙数就是 195 .
滨海县15085037872： 甲、乙两数的比是5:3,它们的最大公约数与最小公倍数的和是240,它们的差是______. - ？
雕差甘油：[答案] 假设最大公约数是a,则甲是5a,乙是3a,最小公倍数是15a,由已知得: a+15a=240, a=240÷16=15, 5a-3a=2a=15*2=30; 即它们的差是30. 故答案为:30.
滨海县15085037872： 甲数是乙数的3/5,他们的最大公约数与最小公倍数的和为1040,求甲和乙的和? - ？
雕差甘油：[答案] 同学,听你同学的没错的! 设甲为3a,则乙为5a 他们共有a,所以最小公倍数是3*5*a=15a 最大公约数则为a了 15a+a=1040 16a=1040 a=65 3a+5a=8a=8*65=520 ∴甲和乙的和为520.
