数列求和 1+1/2+1/3+1/4+1/5+……1/n=? 急~
Sn=1/2^2 - 1 + 1/3^2 - 1 + 1/4^2 - 1 +..... + 1/n^2 - 1
=1/(2 - 1)(2 + 1) + 1/(3 - 1)(3 + 1) + ...... + 1/(n - 1)(n + 1)
=1/(1 * 3) + 1/(2 * 4) + ...... + 1/(n - 1)(n + 1)
=1/2[1/1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + ...... + 1/(n - 1)(n + 1)]
=1/2[1 + 1/2 - 1/n - 1/(n + 1)]
=3/4 - 1/(2n) - 1/(2n + 2)
Sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
＝1+1/2+1/2+1/2+……
当然是发散级数.
利用“欧拉公式：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C,C为欧拉常数数值是0.5772……
则1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+C=8.1821（约）
就不出具体数字的，如果n=100 那还可以求的 。然而这个n趋近于无穷 ，所以算不出的。
它是实数，所以它不是有理数就是无理数，而上两层的人说“谈不上到底是无理数还是有理数”的说法显然是错误的。而根据种种依据可判断它是无理数。
具体证明过程如下：
首先我们可以知道实数包括有理数和无理数，而有理数又包括有限小数和无限循环小数，有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)不存在循环节，不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式。所以它终究是无理数。
这是有名的调和级数,是高数中的东西。这题目用n!
当n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是个发散级数
当n很大时，有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数,e=2.71828...）
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
扩展资料：
数列求和方法
1、倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)。
2、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
3、裂项相消法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)
0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数
to GXQ:
假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n
当 n很大时 sqrt(n+1)
= sqrt(n*(1+1/n))
= sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)
≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n))
= sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n))
设 s(n)=sqrt(n),
因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))
所以：
s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n))
即求得s(n)的上限
1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.
我不太清楚,但我尽量帮你提供资料
(一)分解法
问题二:求正整数N和M之间具有最多真因子的数.本题中的真因子是这
样定义的:如果R数1,我们认为1是1的真因子.
参数范围:1≤N时限:10s.
我们很容易得到下列两个方法:
顺序查找法.....:依次统计规定范围内的各整数的真因子个数,记录
最优解.
由于,分解质因数的算法时间复杂度为平方根级的,因此这个算法的时间
复杂度为O((m-n)*m0.5).
标号法...:枚举不同的因数,标记它们的倍数.
如果不仔细分析,会认为两种方法的算法时间复杂度一样,实际上后者的
时间复杂度是0((m-n)*(1+1/2+1/3…+1/[m0.5])),还不到O((m-n)*[log2m0.5])
{[x]表示[x,x+1)间的整数}.证明如下:
先用数学归纳法证明1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(2n-1)≤n.
当n=1时,左边=1,右边=n=1;1≤1,不等式成立.
假设当n=k时,不等式成立,则有
1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/2k-1≤k
现证明n=k+1时,不等式依然成立,
∵ 1/2k+1/(2k+1)+1/(2k+2)+…+1/(2k+1-1)＜1/2k+1/2k+…+1/2k
=(2k+1-1-2k+1)/2k
=1
∴ 1+1/2+1/3+…+1/2k-1+1/2k+1/(2k+1)+…+1/(2k+1-1)≤k+1
即 1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/2k+1-1≤k+1
故命题成立.
所以,1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n≤[log2n]
方法二之所以在时间复杂度上大有降低,是因为它采用了"空间换时间"
规模化问题的解题策略 长沙市一中●谢婧
的模式,由于在标号的全过程中必须保存当前各整数的真因子个数,因此空间
复杂度是0(m-n),从参数范围可知,实际情况下无法满足这一需求.它仅仅停
留在理论基础上,无法用程序实现.方法一虽然空间耗费小,具有可行性,但
时间耗费却难以满足要求.于是我们得到:
分段统计法.....:将给定区间分成不重复且不遗漏的若干个子区间,
然后按方法二统计.
由于方法一每次处理单一元素,因此时间耗费高,方法二将所有元素统一
处理,因此空间需求大,而方法三则综合前两种方法的优点,在充分利用空间
的情况下,得到较高的时间效率.
方法三实质就是分解法的应用,由此我们将"分解法"定义如下:
以一定的算法为原型,将大规模的问题分解成若干个不遗漏且尽量不重复
的相对独立的子问题,使得所有子问题解集的全集就是原问题的解集.
分解法的原理和适用范围:
解决某些纵向扩展问题的时候,常常会出现理论需求与实际承受能力之间
的"矛盾",它主要体现在时空需求互相制约的关系上.如本题中的时空关系可
以用下图所示的曲线(双曲线的某一支的一部分)来表示,其中曲线的两个端
点分别代表方法一与方法二的时空需求.这时若把问题分解成若干规模较小的
子问题,套用原有的算法解决,就能有效地中和时空需求的矛盾.通常,我们
以实际空间承受能力作为划分子问题的规模标准,这样才能令时间效率得到最
大提高.下图中,虚线位置表示实际空间承受能力的上限,它与曲线的交点就
是时空需求分配的最优方案.
令 S(n) = 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n，
则 S(∞) = 1 + (1/2+1/3) + (1/4+1/5+1/6+1/7) + ...
< 1 + (1/2+1/2) + (1/4+1/4+1/4+1/4) + ...
且 S(∞) = 1 + 1/2 +(1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + ...
> 1 + 1/2 +(1/4+1/4) + (1/8+1/8+1/8+1/8) + ...
可推证：1 + k/2 < S(n) < 1 + k，其中 k = log(ln)/log(2)，n>2
从上式，可看出S(n)不收敛。
我不知道楼主是如何得到 sqrt(n) 上限的，
但可以肯定上式在更接近S(n)上限（当n>40时）。
看到这个问题，首先想到是叫“欧拉常数”的东西，但在网上遍寻不到，
而后决定用不等式，但如果对整体处理，误差非常大，
所以，我决定分段处理，不想居然成功了！
当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n=0.57721566490153286060651209+ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)
0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数
toGXQ:
假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n
当n很大时sqrt(n+1)
=sqrt(n*(1+1/n))
=sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)
≈sqrt(n)*(1+1/(2n))
=sqrt(n)+1/(2*sqrt(n))
设s(n)=sqrt(n),
因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))
所以：
s(n+1)=s(n)+1/(n+1)<s(n)+1/(2*sqrt(n))
即求得s(n)的上限
1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.
昔峡杞明： 求和【1,+∞】∑(n+1)47;2ⁿ 解: S‹n›=2/2¹+3/2²+4/2³+5/2⁴+6/2⁵+.............+n/2ⁿ⁻¹+(n+1)/2ⁿ............(1)(1/2)S‹n›=2/2²+3/2³+4/2⁴+5/2⁵+6/2⁶+.........+n/2ⁿ + (n+1)/2ⁿ⁺¹..............(2) (1)-(2)【错项相减】得:(1/2)S‹n›=...
久治县13593433394： 数列求和:1+(1+2)/1+(1+2+3)/1...+(1+2+3+..+n)/1=? 求大师解答! - ？
昔峡杞明： 1+2+...+n=n(n+1)/2,1/(1+2+...+n) = 2/[n(n+1)] = 2/n - 2/(n+1),1 + 1/(1+2) + ... + 1/(1+2+...+(n-1)) + 1/(1+2+...+n)= 2/1 - 2/2 + 2/2-2/3 + ... + 2/(n-1)-2/n + 2/n-2/(n+1)=2/1 - 2/(n+1)=2n/(n+1)
久治县13593433394： 调和数列的求和公式1+1/2+1/3+1/4+.+1/n - ？
昔峡杞明：[答案] 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列,即:1/1+1/2+1/3+...+1/n这个数组是发散的,所以没有求和公式,只有一个近似的求解方法:1+1/2+1/3+.+1/n ≈ lnn+C(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)当n很大...
久治县13593433394： 数列求和的常用方法 - ？
昔峡杞明： (1)公式求和法:①等差数列、等比数列求和公式 ②重要公式:1+2+…+n=12 n(n+1);1 2 +2 2 +…+n 2 =16 n(n+1)(2n+1);1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 =14 n 2 (n+1) 2 ;(2)裂项求和法:将数列的通项分成两个式子的代数和,即a n =f(n+1)-f(...
久治县13593433394： 数学等差数列求和难题求和:1+(1/1+2)+(1/1+2+3)+······+(1/1+2+3+·····+n) - ？
昔峡杞明：[答案] 你求的是1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+······+1/(1+2+3+·····+n)吧 1+2+3+·····+n=n(n+1)/2 1/(1+2+3+···... (1+2+3+·····+n) =2(1/1-1/2)+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+……+2[1/n-1/(n+1)] =2[1/1-1/(n+1)] =2n/(n+1)
久治县13593433394： 数列求和1+1/2+1/3+……+1/n的和是多少? - ？
昔峡杞明：[答案] 此数列成为调和级数,调和级数是发散的,一般认为是无法求和. 但是中世纪后期的数学家欧拉,发现了求它得方法,公式是: 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r r为欧拉常数,约为0.577218.
久治县13593433394： 数列的求和 - ？
昔峡杞明： 学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下:由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞所以...
久治县13593433394： 数列求和 1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+......+1/(1+2+3+......+n) - ？
昔峡杞明： 1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1)
久治县13593433394： 分子为1分母递增数列求和方法有限数列,比如1/1+1/2+1/3+.+1/10=?怎样求和? - ？
昔峡杞明：[答案] 这是一个调和数列,没有公式.只能一项一项相加: 1/1+1/2+1/3+.+1/10=2.92896825396825.
久治县13593433394： 数列的求和1+1/2+1/3+……1/n= - ？
昔峡杞明：[答案] 自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 人们倾向于认为...
